第三章泛函分析初步

《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》1第三章：泛函分析初步(参阅教材Ch6)(Fundamentalsoniii)30∈W,使0+X=X注：1)加法封闭+数乘封闭⇔VX,eW,Va,EC,有3)span{X,X₂……×,}为由X,,X…×,张成(生成)的线性空间。《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》2子空间⇔对VX,Y∈MVa,β∈C,有aX+βYeV。4定义(距离空间，Metricspace):设W≠②,称W为距离空间，指在W中定义了映射：p(X.Y)W×W→R,(含0正实数),i)p(X,Y)≥0,且p(X,Y)=0⇔X=Y(正定性)4定义(柯西序列Cauchy《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》第二.度量空间(W.p)不要求W是线性空间!ii)|laX||=|a||X|VaeC(正齐性)《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》44范数举例：(长度概念的推广——广义长度)(为2范数，称为欧氏范数。◆例2:离散时间(信号)序列空间1,无穷维向量特别地，定义无穷范数：特别地，定义无穷范数：《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》54离散序列空间的Minkovski不等式：等号成立条件为：4连续函数空间的Minkovski不等式：则不等成苏i(D≤:p<x4定理(I”空间包含定理):低次方可和的离散序列必高次方可和，即Icl²c.cF《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》6重重其中rū.Ispsa.Norm)。4定义(弱收敛，如第一章的广义极限):依泛函收敛。注：强收敛→弱收敛。C[a,b]上的函数x(1),其p次方[R]不可积，如p=I的情况。方[L]可积。则4Banach空间包含定理：若1≤p≤q≤o,则7L[a,b]gL'[a,b]VX,Y,Z∈W,λ∈C(数域),均有一个实数或复数与之对应，记为84定义(内积空间):定义了内积的空间为内积空间。H表示共轭转置。◆n维平方可积复连续函数空间《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》9分子≥0积空间称为Hilbert空间。换言之：若内积空间作为导出范数下的一个4Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间，VX,Y∈W,有取说明：1)在Holder不等式中，取p=q=2,就成为Cauchy-Schwarz不等式。2)在U”空间中，有Cauchy-Schwarz不等式：《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》3.线性泛函：4定义(算子——Operator):X1Y为线性空间，算子：图3-1算子的映射作用4定义(数域——NumberField):包括0、1且对四则运算封闭的集合。4定义(泛函——Functional):值域是实/复数域的算子称为泛函。注：定积分，距离，范数，内积，δ函数(第三种定义),(普通)函数均为泛函。4定义(线性算子):X,Y为线性空间，T:X→Y,若对则T为线性算子。4定义(线性泛函):线性算子T的值域为实/复数集。注：1)距离、范数是泛函，但非线性泛函；2)连续线性算子：T|x₄-x₀→0,n→m→|Tx,-Tx₀→0,n《信号与系统》第三章：泛函分析初步《信号与系统》图3-2连续线性泛函的映射作用3)对线性算子：有界连续；定义(有界线性算子):设算子T:X→Y(L,S)3M>0,使ITX|y≤M||X|l.成立，则称T为有界线性算子。4)内积为连续线性泛函；,$3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开4定义(集合正交):若X,YcW,对VX∈X,VYεY,有X⊥Y,则称集合X与集合Y正交，记为：X⊥Y。4定义(正交补):VcW,V的正交补v+={X∈W|X⊥V},显然：4定义(规范正交完备集V):即正交集中每个元的范数均为1。2.正交投影——OrthogonalProjection:4定义(正交投影):W是Hilbert空间，V