第2章 点、线和面的投影

第二章点、线和面的投影学习目标1.掌握投影的概念和种类，学会用正投影法绘制物体的三视图，并理解三视图的对应关系；2.掌握点、线、面的投影规律和各种特殊位置直线和平面的投影特性，理解点、线、面之间的相对位置、投影关系。2.1投影的基本知识2.3点的投影

2.4直线的投影2.5平面的投影学习内容2.6直线与平面的投影2.7换面法2.2常见的几种投影图第一节投影法的基本概念投影法—用投射线通过物体，向选定平面投射，在该平面上得到图形的方法。投影现象→投影法投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图

画标高图及正轴测图单面投影多面投影画工程图样一、投影法分类投影面投影面中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。投影特性投射中心投影体ACB投影abc投射线CABabc物体位置改变，投影大小也改变度量性较差，作图复杂。1.中心投影法投射线从投影中心发出

中心投影应用—电冰箱两点透视图

能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。投影特性投影体ACB投影面

立体感较差。投影体ACB投影面abc斜投影投射线倾斜于投影面abc正投影正投影法

投射线互相平行且垂直于投影面斜投影法

投射线互相平行且倾斜于投影面投射线垂直于投影面2.平行投影法投影法小结1.中心投影法2.平行投影法正投影法

斜投影法正投影

中心投影显实性(全等性)

当空间直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影性质称为全等性。二、正投影的基本性质积聚性

当直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一条直线，这种投影性质称为积聚性。

类似性

当空间直线或平面倾斜于投影面时，其投影仍为直线或与之类似的平面图形，其投影的长度变短或面积变小，这种投影性质称为类似性。

正投影应用—正等测图第二节工程上常见的几种投影斜投影应用—斜二测图多面正投影应用—组合体多面正投影应用—零件图一面投影二面投影三面投影

点的三面投影

特殊位置点的投影

两点的相对位置

第三节点的投影面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素BCDA线点

的

投

影点P

采用多面投影。

过空间点A,向投影面P作正投影，在P面上得唯一的投影。a

A

反之，点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。Pb

BB2B1解决办法一、点的三面投影HWVOOX轴—

V面与H面的交线OZ轴—

V面与W面的交线OY轴—

H面与W面的交线YXZ投影面与投影轴

V面:正投影面（简称正面）

H面:水平投影面（简称水平面）W面:侧投影面（简称侧面）a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。WHVoXa

●a●a

●A●ZY投影符号标记WXVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋转90°HW面向右旋转90°OXZYHaxaza

ayHayWaa″V面不动投影面展开点的三面投影规律

aax=a

az=YA——A点到V面的距离(Aa′)

a

ax=a

ay=ZA——A点到H面的距离(Aa)

aay=a

az=

XA——A点到W面的距离(Aa″)

XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAAa

a⊥OX轴;

a

a

⊥OZ轴;投影连线垂直投影轴XVYOWZHaZa″a′aYaXaA点的投影与直角坐标

空间点可用直角坐标来表示，书写形式：A(x,y,z)。

点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z

。XA=点到W面的距离=

aayH=a

azYA=点到V面的距离=aax=a

azZA=点到H面的距离=a

ax=a

ayWH面投影a反映X、YV面投影a'反映X、ZW面投影a"反映Y、Z。YW

:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的三面投影图。

1)作投影轴；2)量取：X=12、Z=15、Y=10；步骤:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123)作投影连线，交点a、a′、a″既为所求。例1●●a

aax

:已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通过作45°线使a

az=aax用圆规直接量取a

az=aax例2一般位置点：

在空间（X，Y，Z）XVYOWZH

X，Y，Z均不为零，点的三个投影无一在投影轴上。aZa″a′aYaXaA二、特殊位置点的投影

投影面上的点

结论：点在投影面上，在该投影面上的投影与空间点重合，另两个投影分别在投影轴上。

在H面上（X，Y，0）XVYOWZH

在V面上（X，0，Z）

在W面上（0，Y，Z）bBb″b′dd″Dd′CC″C′C

指两点在空间的左右、上下、前后位置关系。X坐标大的在左；

Y坐标大的在前；Z坐标大的在上。判断方法：B点在A点的左、下、前方。上下后左右前三、两点的相对位置

已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985例3▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影点。▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示区别。

两点重影()H面重影，被挡住的投影加()A在B的正上方重影点及可见性判别结论：

●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。正上（下）方●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。正前（后）方●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。正左（右）方

各种位置直线的投影

直线上点的投影

两直线的相对位置

第四节直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB真实性直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0积聚性a≡b≡mBAM●●●●作直线的投影即作点的投影AB●●ab●●abAB●●●●一、

直线的投影直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab＜AB

类似性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面直线三类位置1、投影面平行线1.H面投影反映实长。即：ab=AB;V、W面投影分别平行于H面的两根轴。即a′b′∥OX轴，a″b″∥OYW轴；3.H面投影与OX轴夹角反映直线对V面的倾角β；

与OYH轴的夹角，反映直线对W面的倾角γ。水平线的投影特征：正平线和侧平线可得出类似的投影特征（水平线、正平线、侧平线）b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行线1.在其平行的投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

2、投影面垂直线H面投影积聚成一点；V、W面投影反映实长，a′b′=a″b″=AB；

V、W面投影，分别垂直于H面的两根轴即：a′b′⊥OX轴a″b″⊥OYW轴。正垂线和侧垂线可得出类似的投影特征铅垂线投影特征:（铅垂线、正垂线、侧垂线）投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线2.另外两个投影面上的投影反映实长。且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上的投影积聚成点。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)积聚为点积聚为点积聚为点投影特性：

三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。3、一般位置直线例1：判断下列直线的空间位置d′C′dddCAB为水平线CD为侧平线

点在直线上，其投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。

不垂直于投影面的直线上点，将线段分割成比例，投影后仍成同比例。即具有定比性（定比分割）。

AC/CB=ac/cb=ac/cb

若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：ABVHCbcac

b

a

d

d在不在C点直线AB上D点直线AB上D二、直线上点的投影

：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法是因a

k:kb

≠ak:kb

故点K不在AB上。例2

已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV例3O⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，其同面投影必相互平行，反之亦然。空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。三、两直线的相对位置abcda

b

c

d

：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CD①X例1cbadd

b

a

c

b

d

c

a

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。应看反映实长的投影是否平行。结论:AB与CD不平行

：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断例2HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

判别方法：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合点的投影规律。kk

交点是两直线的共有点k

kK2.两直线相交●●cabb

a

c

d

k

kd

：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影例312●●d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)◆同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。◆“交点”是两直线上的一对重影点的投影。●●Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面重影，

Ⅲ、Ⅳ在H面重影。3

4

●●AB与CD两直线相交吗投影特性：结论：AB与CD两直线不相交3.两直线交叉

判断两直线的相对位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1例4

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。已知BC//H面,BC⊥AB。又因BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面结论:直线在H面上的投影互相垂直因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.证明：4.两直线垂直相交：直角的投影d

abca

b

c

●●d

：过C点作直线与AB垂直相交。.AB为正平线,正面投影反映直角。例5eee'e'c'c'

已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。

cbab'a'OX例6作线段AB、CD的公垂线EF。例7

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO

1）求直线的实长及夹角

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab四、求一般位置直线实长ABbb

aa

CXO

2）求直线的实长及夹角

|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

XZYO

3）求直线的实长及夹角

ABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|b

Xa

bAB例1

bb

Xa

aBC

已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC

的实长等于已知长度L。cLABzA-zBc

ab例2

平面的表示法

各种位置平面的投影

平面上的直线和点

第五节平面的投影s●a●b●a●b●s●a●b●一、平面的表示法●a●a

●b●b

●s●s不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形s●a●b●s●a●b●●a●a

●b

●b●s●sc●d●●a●a

●b

●b●s●s●a●a

●b

●bc●●c●d●d●a●a

●b

●b●s●s（1、用几何元素表示）二、各种位置平面的投影平行垂直倾斜投影特性

平面平行投影面-----投影反映实形

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

平面倾斜投影面-----投影类似原平面显实性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面平面对投影面的位置：分为三类1、一般位置平面投影特性1、

三面投影均为

ABC的类似形，面积缩小；

2、

不反映

、

、

的真实角度。a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB一般位置平面VWHPPH铅垂面

投影特性：1、H面投影积聚成一条直线，与OX、OY的夹角反映

、

；

2、V、W面投影为原形的类似形。ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

2、投影面垂直面VWHQQV

投影特性：1、Ｖ面投影积聚成一条直线，与OX、OZ的夹角反映α、

；

2、H、W面的投影为原形的类似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面VWHSWS

投影特性：1、W面投影积聚成一条直线，与OZ、OY的夹角反映α、β；

2、V、H面投影为原形的类似形。

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

侧垂面abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影面垂直面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成倾斜的线，与投影轴的夹角反映平面与另外两投影面的夹角。

在另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？小结VWH水平面投影特性：

1、H面投影反映实形；

2、V、W面投影积聚成直线，且平行于H面的投影轴。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

3、投影面平行面VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA正平面投影特性：

1、V面投影反映实形；

2、H、W面投影积聚成直线，且平行于V面的投影轴。VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

侧平面投影特性：

1、W面投影反映实形；

2、V、H面投影积聚成直线，且平行于W面的投影轴。a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影面平行面投影特性：

在它所平行的投影面上的投影反映实形;

另两个投影面上的投影分别积聚成直线,并与相应的投影轴平行。小结是什么位置的平面？平面的表示法（2、用迹线表示平面）迹线----平面与投影面的交线一般位置平面迹线投影面垂直面迹线投影面平行面迹线VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ三、平面上的直线和点判断直线在平面上的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

1、平面上取直线

直线在平面上:则该直线必通过这个平面上的两点。或

通过这个平面上的一点，且平行于平面上的另一直线。有无数解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d

：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：根据定理一有多少解根据定理二例1

：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解例2⒉平面上取点

点在平面上，则该点必在这个平面的一条直线上。

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc

：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二例3

：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。例4四、圆的投影投影面平行圆投影面垂直圆●在与它垂直的投影面上积聚成直线=直径●在与它倾斜的投影面上的投影是椭圆，圆的一对相互垂直的直径，投影成椭圆的一对长短轴，长轴=直径特殊位置点第六节直线与平面及平面与平面之间的相对位置

一、平行问题

1.直线与平面平行

定理：直线平行于平面上的某一条直线。

即：如果直线平行于平面，则直线的各面投

影必与平面上一直线的同面投影平行。例1：过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'无数解例2：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcmm'a'b'c'因为△ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。n'n有唯一解有多少解？2.平面与平面平行几何条件：1）若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3：过点K作平面平行于△ABC。解：••a'ab'bc'ck'k分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'1.一般位置直线与特殊位置平面相交

交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。

二、相交问题a'ab'bd'de'ef'f例1：求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。kk'1'1(2')2由于ak在平面的前方，故正面投影a

k

可见，k

b

被平面遮住的部分为不可见。

例2：求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。aa'bb'k'k由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。•2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交(e)d•aa'bb'cc'd'e'(k)借助于辅助线的方法求出交点。nn'•判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k'可见，k'e'被遮住部分不可见。k'1'(2')12例3：求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。例4：求直线MN与平面△ABC的交点。aa'bb'cc'n'•m(m')nk'd'dk•作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求出d，连cd交mn于k。k为所求。判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H面的重影点，求出1'、2'；因1'的Z坐标大，所以kn可见。11'(2)2'

两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A.求两平面的交线（方法）

1）确定两平面的两个共有点；

2）确定一个共有点及交线的方向。

B.判别可见性。3.一般位置平面与特殊位置平面相交分析：∵△ABC与△DEF交线的正面投影m'n'为△DEF的DE、EF的正面投影d'f'、e'f'与△ABC的正面投影的交点，由m'n'求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。判别可见性：∵V面m'n'f'在△a'b'c'的上方，∴mnf

可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见。m'n'例5：平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相

交，求交线并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'mn例6：求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'kl分析：∵△DEF是铅垂面，∴其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k'、l'，交线是可见与不可见的分界线。k'l'三、垂直问题1.直线与平面垂直

定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直线，则直线必垂直于该平面。PABCDLG例：过已知点D作平面△ABC的垂线。kXOacbda'b'c'd'k'1'2'12分析：为了使过点D所作的直线垂直于△ABC，可在平面内作一水平线和正平线，然后过点D作直线垂直于平面内的水平线和正平线。过点A作AⅠ∥H面，即过a'作a'1'∥OX轴，并求出水平投影a1；过C作CⅡ∥V面，即过c作c2∥OX轴，并求出c'2'。过D作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作dk⊥a1，d'k'⊥c'2'

投影特性：如果一直线垂直于某一平面，则该直线的水平投影必定垂直于该平面内水平线的水平投影；直线的正面投影必定垂直于该平面内的正平线的正面投影。例10：求点D到正垂面△ABC的距离。因为△ABC的正面投影有积聚性，平面内的正平线的投影与a'b'c'重合，与△ABC垂直的直线的正面投影必垂直于a'b'c'。正垂面内与水平面平行的直线，只有正垂线，可求出k'。正垂线的水平投影与OX轴垂直，因此过点D所作正垂面垂线的水平投影必平行于OX轴，即与正垂面垂直的直线是正平线，根据点的投影规律可求出k。k'kabcda'b'c'd'XO结论：如直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线。2.两平面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么该两个平面垂直；反之，如果两平面垂直，那么经过第一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。pqABCDK例11：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。XOdabcc'b'a'd'e'k'ke

分析：过已知点D作直线DK垂直于平面△ABC，然后包含直线DK作平面（可作无穷多个），图中任取一点E，则平面DEK垂直于△ABC。1、换面法的基本概念2、点的投影变换规律3、直线的换面4、平面的换面第七节换面法

换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。主要内容是：VAHCBc

b

Xa

abc1、换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

2.新投影面的选择原则2、点的投影变换规律1.点的一次变换VHXHX1V1a1

a

Aaa1

a

XVHaVHXX1V1a1

V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图2.点的投影变换规律a1

X1HV1a

XVHa（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。VHXH1X1点在V/H1体系中的投影

X