2023版大一轮数学人教A版 第五章 § 5 .3 平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积

【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向

量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量a，b,。是平面上的任意一点，作5X=a,OB=b,则

叫做向量a与b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为6,我们把数量⑷制cos3叫做向量a与。的数量积,

记作a*b.

3.平面向量数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是ae与方是方向相同的单位向量，泰=a,CD=b,

国的起点4和终点B,分别作而所在直线的垂线，垂足分别为Ai，By,得到海i，我们

称上述变换为向量a向向量1投影,彳商叫做向量a在向量b上的投影向量.记为⑷cosOe.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)(4。)•力=2(4,b)=d,(劝).

(3)(a+b>c=ac+"c.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量Q=(X1，yi)，b=(X2,>2)，a与》的夹角为，.

几何表示坐标表示

数量积

a-b=\a\\b\cos0a-b=x]x2+yty2

模\a\=y[a^a|a|=5孑+夕

_abXiX2+yty2

夹角cos0—IHIIcos

⑷依4京+京N启+反

a-Lb的充要条件ab=0为犬2+川，'2=0

a〃b的充要条件a=Ab(A^R)和12一检丁=0

|a砂与⑷回的关系田及+〉1〉2%4(6+)彳)3+通

(当且仅当时等号成立)

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+b)(a—5)=/一52；

(2)(。±))2=/±2。/>+52.

2.有关向量夹角的两个结论

已知向量a,b.

(1)若a与办的夹角为锐角，则a-Z»O；若“山>0,则a与占的夹角为锐角或0.

⑵若a与》的夹角为钝角，则a协<0；若a协<0,则a与方的夹角为钝角或兀

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

7T

⑴两个向量的夹角的范围是［0,冰X)

(2)若。b>0,则a和6的夹角为锐角.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(V)

(4)(a-b)-c—a-(b-c).(X)

【教材改编题】

1.(多选)(2022•海南省临高二中模拟)设a,"c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()

A.Oa=O

B.ab=bc,则a=c

C.ab=O=>al.h

D.(a+Z»>(af)=|a|2一步F

答案CD

2.已知向量a,5的夹角为60。，\a\=2,\b\=l,则|a+2“=.

答案2小

3.已知向量a,6满足31al=2步|=6,且(a-2b)J_(2a+力，则a,夹角的余弦值为.

答案得

解析设“，6的夹角为0,

依题意，(。-2b>(2a+b)=0,

贝U2/一3。6—2浜=0,

故2X4-3X2X3-cos。-2X32=0,

则cos0=一1

•探究核心题型

题型一平面向量数量积的基本运算

例1⑴(2021•北京)a=(2,l)"=(2,—1),c=(0,l),贝U(a+8>c=；a-b=.

答案03

解析,.”=(2,1),b=(2,-1),c=(0,l),

/.a+ft=(4,0),

...(a+b)-c=4XO+OXl=0,

a力=2X2+1X(-l)=3.

(2)(2022•广州模拟)在平面四边形ABC。中，已知矗=比，P为CD上一点、,&=3PD,\AB\

=4,|AD|=3,俞与覆)的夹角为仇且cos0=1,则Q•两=.

答案一2

解析如图所示，

"：AB=DC,

四边形48CD为平行四边形，

:苏=3而，

—►—►—►1—►—►

:.AP=AD+DP=^AB+AD9

-►—►-►3-A-►

PB=AB-AP=^AB-AD9

又・・,|赢1=4,\AD\=3,

2

cose=g,

则筋.Q)=4X3X|=8,

：.AP-PB=(AD+^AB)-(^AB-AD^

=\赢.Ab—AB2+白油2

2Io

13

=ZX8-9+T7X42=-2.

216

【教师备选】

1.(2019•全国H)已知赢=(2,3),/=(3,°,|正|=1,则嘉•波等于()

A.-3B.—2C.2D.3

答案c

解析因为诙=病一赢=(1,7—3),

所以的=N12+(L3)2=1,

解得，=3,

所以贷=(1,0),

所以嘉•正=2Xl+3X0=2.

2.在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，。是线段4M的中点.①若砺=x就+

yBC,则x+尸；②砺励=.

答案3:1

解析①:•何是8c的中点，

•.•。是AM的中点，

②•.•△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，

：.AM1BC,且BM=1,

BD-BM^\BD\\BM\cosZDBM=\BM\2=1.

思维升华计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：fl-fe=|a||Z||cos〈a,b〉.

(2)利用坐标运算，若0=3,>,|),6=(x2,竺)，则a山=》附+)例.

(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

跟踪训练1(1)(2021・新高考全国II)已知向量a+5+c=0,|a|=l,|6|=|c|=2,ab+bc+ca

9

答案一]

解析由已知可得(4+力+。)2

=a1+b2+c2+2(ab+bc+ca)

=9+2(。)+)。+。。)=0,

9

因此ab+bc+ca=—^.

(2)(2020•北京)已知正方形ABC。的边长为2,点P满足成斗赢+病)，则的=

PBPD^=.

答案于-1

解析建立如图所示的平面直角坐标系，

VAP=1(AB+AC))

尸为BC的中点.

.♦.点P的坐标为(2,1),点。的坐标为(0,2),点B的坐标为(2,0),

：.\PD\=y[5,丽=(0,-1),历=(一2,1),

：.PBPD=-\.

题型二平面向量数量积的应用

命题点I向量的模

例2已知向量a,5满足|a|=6,网=4,且a与5的夹角为60。，则心+臼=

\a-3b\=.

答案2标6^3

解析因为|a|=6,网=4,a与b的夹角为60。，

所以a-》=|a|步|cos(a,b)=6X4xg=12,

(a+))2=°2+2。〃+62=36+24+16—76,

(a-3i)2=a2-6a-*+9*2=36-72+144

=108,

所以|a+%|=2标，|a—3例=W§.

命题点2向量的夹角

例3(2020・全国HI)已知向量a,8满足|a|=5,|b|=6,ab——6,则cos〈a,a+力〉等于(

311917r19

A.B.D

35353535

答案D

解析:|a+5F=(a+b)2=〃2+2aI+b2

=25—12+36=49,

：.\a+b\=l9

。（。+4）/+a.力

cos(a,a+b)

|。||。+旷|a||a+加

25-619

=5X7=35,

命题点3向量的垂直

例4(2021•全国乙卷)已知向量〃=(1,3),5=(3,4),若(。一劝)1.力，则2=

3

答案5

解析方法一。一历=(1一3九3—42),

"."(a—Xb).Lb,/.(a—Ab)-b=0,

即(If,3-42)-(3,4)=0,

3

.,.3-92+12-161=0,解得2=亍

方法二由(a一劝)J_力可知，(a-Ab)b=0,即a功一功2=0,

,,而,ab(1,3)-(3,4)153

从瓶/一/—-再不―—芯―亍

【教师备选】

1.已知非零向量a,b满足|a|=2步且(a—b)_LZ),则。与b的夹角为()

R4r2n5n

入6D,3。36

答案B

解析设。与b的夹角为a,

=

(a—b)b09

:・ab=E,

,⑷・|b|cosa=|bF，又⑷=2夙

.'.cos2»[0,n],

.兀

・・a=§.

2.已知ei,改是两个单位向量，且|ei+e2|=，5,则|6一02|=.

答案1

解析由©+«2|=小，两边平方,

得山+2白・02+a=3.又61,C2是单位向量,

所以2ev€2=l,

所以a—匐2=屏一26「。2+区=1,

所以电—C2|=l.

思维升华(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=/^及3±8)2=|02±2。•)+|)F,把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出

所求向量，再利用余弦定理等方法求解.

(2)求平面向量的夹角的方法

n*h

①定义法：＜?(拈。=而词，求解时应求出a1,⑷，步।的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

•力=0。|〃一"=|。+例(其中a#0,力W0).

跟踪训练2(1)已知单位向量a,h满足ab=O,若向量。=巾〃+地4则sin〈0,c)等于()

A.坐B当吗D当

答案B

解析方法一设a=(l,O),》=(0,1),

则c=(巾，巾),

•/\oc币

..cos＜a,c〉-|a||c|-3'

.・/、巫

•.sm\a,c)=亍.

方法二a-c=a-(y[7a+y[2b)

=市层+也。＞=正，

|c|川（木4+也口=y/7a2+2b2+2yfl4a-b=y[l+2=3,

acV?V?

⑷I「1X3-3'

Asin〈a,c〉=坐

⑵(多选)(2021・新高考全国I)已知。为坐标原点，点尸i(cosa,sina),P2(cosp,-sinfi),

P3(cos(a+份，sin(ct+/?)),4(1,0),则()

A.而|=|哂

B.丽=硒

C.OAOP3=OPVOP2

D.OAOPi=OP2-OP3

答案AC

解析由题意可知，

\OP\\—ylcos2a+sin2a—1,

|OP2|=、cos2,+(—sin]>=1,

所以|函|=|0月I，故A正确；

取a=^,贝!1尸1(坐用，

取夕寸,

则小笔喻

则|布|¥|旗故B错误；

因为OAOP3=cos(a+4),

OP「OP2=cosacos^—sinasin4=cos(a+£),

所以6芭=0号配，故C正确；

因为0Aopi=cosa,

OP2,OP3=COS£cos(a+为-sin4sin(a+£)

=cos(a+2/0，

取a=%片;，

则出.丽邛,尾旗=cos*-察

所以万1•丽片加.阮，故D错误.

题型三平面向量的实际应用

例5(多选)(2022•东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图

所示).假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为凡，Fi,若巧|=|f2|,且为与

尸2的夹角为仇则以下结论正确的是()

A.啊|的最小值为||G|

B.。的范围为[0,it]

c.当话时，周=坐a

D.当，=用时，|Ft|=|G|

答案ACD

解析由题意知，为+尸2+G=0,

可得尸|+尸2=-G,两边同时平方得

|GF=|*F+|尸2F+2IBI尸21cose

22

=2|F1|+2|F1|cos6,

所以的F;谭湎•

当6=0时，|B|min=3lG|；

当时，|Fi|=2lGl;

2兀

当。=于时，|B|=|G|,故A,C,D正确；

当时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以6»G[0,it),故B错误.

【教师备选】

若平面上的三个力矽，F2,入作用于一点，且处于平衡状态，已知周=1N,眄尸逅乎N,

Q与尸2的夹角为45。，求：

(1)尸3的大小;

⑵尸3与B夹角的大小.

解(I)二•三个力平衡，

，尸1+尸2+/3=0,

|尸3|=IB22

+F2|=A/|FI|+2F1-F2+|F2|

=41+2x1x**江8$45。+四芈)

=、4+2小=1+4.

(2)方法一设户3与人的夹角为仇

则I尸2|="|尸。+|尸3|2+2|尸|||尸|3COS。,

即2^^=、12+（］+S）2+2x1X（1+小）COSJ,

解得cos。=一乎，

•・•go,兀］,

.715兀

••r

方法二设尸3与尸I的夹角为仇

由余弦定理得

口+（1+小—

C°S（L6）=—2X1X（1+V3）—=2，

•.,问0,7T］,普.

思维升华用向量方法解决实际问题的步骤

跟踪训练3（2022.沈阳二中模拟）渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A

出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|m=10km/h,水流速度的大小为网

=6km/h.设vi与电的夹角为120。，北岸的点A'在码头A的正北方向，那么该游船航行到

北岸的位置应（）

A'北

+东

Av2

A.在A'东侧B.在A'西侧

C.恰好与A'重合D.无法确定

答案A

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可得力=(-5,5小)，暝=(6,0),

所以也+-2=(1,55),

说明游船有1轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A'东侧.

极化恒等式

极化恒等式：设°,〃为两个平面向量，则有恒等式〃巧=不[(。+力>—(G—力)2].

如图所示.

—►—►1—►—►

(1)在平行四边形ABOC中，AB=a,AC=b,则a协=7|A£>F-|BC|2).

(2)在△ABC中，AB=a,AC^b,AW为中线，则a山=|前2—；|的2

例1在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,8c=10,则赢,

答案一16

解析如图所示，由极化恒等式，易得ABACnAM2—用#=32—5?=—16.

BMC

例2已知AB为圆/+炉=1的一条直径，点尸为直线x-y+2=0上任意一点，则两•丽的

最小值是.

答案1

解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x—y+2=0时，滴・丽有最小值，

即

两.两=赤一5^=（啦）2-q2=[

例3已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a—c>3—c）=0,则|c|的

最大值是（）

A.1B.2C.6D除

答案C

解析如图所示，

设宓_Ldk

记04=a,OB=b,OC=c,

M为AB的中点，

由极化恒等式有

（。一c）-（b—c）=CA-CB

=|而-序=0,

.•M序号,

可知而是有固定起点，固定模长的动向量.

点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上,

所以|c|的最大值为圆的直径长，即为“1

课时精练

应基础保分练

I.(2020.全国H)已知单位向量a,〜的夹角为60。，则在下列向量中，与b垂直的是()

A.a~\-2bB.2a+bC.a~2bD.2a—b

答案D

解析由题意得|a|=|〃=l,

设a,5的夹角为。=60。，

故a-b=\a\\b\cos0=^.

对A项，(a+2b)b=ab+2b2

=^+2=|:#:0；

对B项，(2a+b)b=2ab+b2

=2X^+l=2W0；

对C项，(a—2b)b=ab—2b2

13

亍2=一尹0；

对D项，(2a—b)-b=2a-b—Z>2=2X^—1=0.

2.(2022•石家庄模拟)已知向量a=(2,-2),*=(2,1),b//c,ac=4,则同等于()

A.2小B.4

C.5^2D.4y[2

答案A

解析因为力〃C,

所以。=劝=(22,2)(2eR),

又ac=4l—22=22=4,

所以2=2,c=(4,2),\c\=y/42+22=2y/5.

3.(2022・沈阳模拟)若两个非零向量a,b满足|@+"=|〃一A|=2|a|,则a~b与b的夹角为()

A▲兀6B-兀3C一T2兀-DT5兀

答案D

解析\a+b\=\a-b\=2\a\,等号左右同时平方，

得|。+砰=|。一那=4|砰,即|aF+l》F+2a力=|4|2+也|2—2“力=4|砰，

所以a力=0且步F=3|a|2,

所以|a一

=yl\a\2+\b\2—2a-b网，

所以cos…b)=第舒

_-\b?__V3

手加b|2

5IT

因为(a—b9b)£[0,兀],所以Q一方，b)=不.

4.已知。=(—2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a-2b)J_c,则与b共线的单位向量为()

A管省或(昔明

B(-乎哆或管期

答案A

解析由题意得。-2b=(-2—2匕7),

*.*(a-2Z>)_Lc,

/.(a—2b>c=0,

即(一2—2匕7>(1,2)=0,—2—2左+14=0,

解得％=6,

:.b=(6,—3),

…土形:―3广士(唔司

5.(多选)(2022♦盐城模拟)下列关于向量a,b,c的运算，一定成立的有()

A.(a-\-b)c=ac+bc

B.(ab)c=a(bc)

C.a-b^\a[\b\

D.\a-b\^\a\+\b\

答案ACD

解析根据数量积的分配律可知A正确；

选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；

根据数量积的定义，可知。小=|。烟cos〈a,b)W|a|•步I，故C正确；

|a-*|2=|a|2+|t|2-2a-*=|a|2+16|2-2|a||&|-cos(a,b><|a|2+|6|2+2|a||6|=(|a|+|ft|)2,

故|a一方|W|a|+网,故D正确.

6.(多选)已知向量“=(2,1),6=(1,—1),c=(m-2,一〃)，其中m,n均为正数，且(a—Z>)〃c,

则下列说法正确的是()

A.a与b的夹角为钝角

B.向量。在人上的投影向量为坐，

C.2m+n=4

D.相〃的最大值为2

答案CD

解析对于A,向量。=(2/)，6=(1,-1),

则。山=2—1=1>0,

又〃，力不共线，

所以〃，〃的夹角为锐角，故A错误；

对于B,向量。在力上的投影向量为

符D，B错误;

对于C,a—b=(l,2),若(。-b)//c,

则一n=2(tn—2),变形可得2"?+〃=4,C正确；

对于D,由2m+〃=4,且〃2,〃均为正数，

得加〃=：(2%〃)WT停空>=2,当且仅当m=1,〃=2时，等号成立，即加〃的最大值为2,

D正确.

7.(2021•全国甲卷)已知向量a=(3/)，Z>=(l,0),c=a+协.若a_Lc,则％=.

答案T

解析c=(3,l)+(k,O)=(3+k,l),a-c=3(3+A)+lX1=10+3&=0,得及=一岑.

8.(2020•全国I)设a,6为单位向量，且|a+A|=l,则|a—加=.

答案小

解析将上+力|=1两边平方，得a?+2a•)+办2=1.

Va2=ft2=l,

1+2a-6+1—1)即2。〃=-1.

\a-b\="(a—bp=yla2—2ab+b2

=^/l—(―1)+1=^3.

9.(2022・长沙模拟)在△ABC中，8C的中点为。，设向量赢=a,AC=b.

(1)用a,〜表示向量屐);

(2)若向量ab满足⑷=3,步|=2,〈。,b)=60°,求ABAD的值.

―►1—►—►

解(\)AD=^(AB+AC)

=2a+2b'

所以

(2)病屐

+协

=；X32+^X3X2XCOS600=6,

所以ABA£>=6.

10.(2022•湛江模拟)已知向量加=(小sinx,cosx—1),n=(cosx,cosx+1),J(x)=m-n.

⑴求函数7U)的单调递增区间；

(2)在RlZxABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/A=90。，式。=0,c=小，CD

为/BCA的角平分线，E为CO的中点，求BE的长.

解(\)fix)=m-n

=/sinx-cosx+cos2x—1

小.」1c1

=2sin2x+/cos2x—2

71

=sin2X+T6,—2o.,

7171

令〃+色［2航苫,2&兀+小0,

6

则XJE-E+,(MZ).

所以函数人x)的单调递增区间为

r,兀,,7t-i

心兀一,，"兀+^(%Gz).

(2次C)=sin(2C+g-/=0,

2

sinl2C+6j=2,又。£(0,习,

2

所以c=?

在△AC。中，C£）=¥，

在△8CE中，

BE=\!22+净-2X2X当冶雪.

以技能提升练

11.（2022・黄冈质检）圆内接四边形A3CZ）中，AD=2,CD=4,8。是圆的直径，则启•丽等

于（）

A.12B.-12

C.20D.-20

答案B

解析如图所示，由题知/R4O=/8CZ）=90。，AO=2,CD=4,

：.ACBD=（AD+DC）Bb

=ADBb+DCBD

=\ADWBD\CQSZBDA-|DC||Bb|cosZBDC

=丽|2一|比F=4—16=-12.

'-►-►、-A»

12.在△ABC中，已知丝+空•诙=0,且空.空•=；,则△43（7为（）

W|\AC\）|Afi||iq

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.三边均不相等的三角形

答案A

获ACf_>ARAC

解析出,仁分别为与AB,AC方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量”+冬

\AB\|AC|\AB\|AC|

所在的直线为NBAC的平分线.

/——\

E“AB,AC-

因为——+——•BC=O,

W|\AC\J

所以/BAC的平分线垂直于BC,

所以AB=AC.

AC

又圆■.竺=4•cos/BAC

\AB\\AC\\AB\\AC\

所以COSN8AC=T，NBAC=60°.

所以△ABC为等边三角形.

13.（2022・潍坊模拟）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳

上的拉力分别是外，F2,且F”尸2与水平夹角均为45。，1^1=1^21=1072N,则物体的重

力大小为N.

答案20

解析如图所示，：|人|=|尸2|=1即N,

/.|F1+F2|=1（）V2XV2=2ON,

J.物体的重力大小为20N.

14.（2021•天津）在边长为1的等边三角形A3C中，。为线段BC上的动点，DELABAB

于点E,。尸〃AB且交4c于点F,则|2诙+为的值为；（无+丽・应的最小值为

答案155

解析设8E=x,xd（0,0，

:△ABC为边长为1的等边三角形，DEVAB,

；.NBDE=30。,BD=2x,DE=G，

DC