2022年普通高等学校招生全国统一考试天津卷模拟试题（一）数学

2022年普通高等学校招生全国统一考试天津卷模拟试题(一)

数学

本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试

用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题

卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号。

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

如果事件A与事件B互斥，那么尸(AU8)=P(A)+P(B).

如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).

球的表面积公式S=4TTR2,其中R表示球的半径.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={0,-1,2,-3,4},B={X[/<12},则AAB=()

A.{4}B.{-1,2,-3}

C.{0,—1,2,—3}D.{-3,—2,—1.0,1,293}

2.设x£R,则“|x-2|>2”是》2-4x+3>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知{an}为等差数列，其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，neN*,则

S10的值为()

A.-110B.-90C.90D.110

4.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a#),xGR)在x=；处取得最小值，则函数丫=(‘"一

x)是()

B.偶函数且它的图象关于点(当,0)对称

A.偶函数且它的图象关于点(7T,0)对称

C.奇函数且它的图象关于点(称,0)对称

D.奇函数且它的图象关于点(小0)对称

5.函数y=Asin(cox+(p)(A>0,|(p|V兀，>0)的部分图象如图所示,则(

A.y=2sin{2x-

6

7T

B.y=2sin(2x——)

o

7T

C.y=2sin(x+-)

6

7T

D.n=2sin(x+-)

6.设偶函数f(x)的定义域为R,当xe]0,+oo)时，f(x)是增函数，则f(-1),f(兀)，f(-3)的大

小关系是()

A./(7T)>/(-I)>/(-3)B./(7T)>/(-3)>/(-I)

C./(7T)</(-3)</(-I)D./(7T)</(-I)</(-3)

在平面直角坐标系xOy中，若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距

7.京-庐

离为¥c，则其离心率的值为()

C；

A.4B.2D.摩

已知函数〃")=2而(“+⑼W>0，M<3的图象过点且在脸，颗上单调，把f(x)

的图象向右平移兀个单位之后与原来的图象重合，当?)且xl户x2时，f(xl)=f(x2),

则f(xl+x2)=()

A._瓜B.瓜C.-1D.1

21

9.已知函数f(x)=4(LJ'"—T——4—<I是R上的单调函数，则实数a的取值范围为()

A.层)B.昌C.(0,1]D,[1,1)

424222

第n卷

注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答

对的给5分.

10.i是虚数单位，则I的值为

H.若棱长为2/i的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

7T

12.将函数f(x)=2sin(3x+(p)(|<p|<.,)的图象向右平移1个单位长度，得到的函数g(x)的图象关于

点(-坐，0)对称，则(p=；若g(x)在区间(,，-')(meR)上单调递减，则实数m

18----------1HIII

的取值范围是.

13.已知a>0,b>0,a+2b=l,贝ij—t'的最小值为.

(W

14.如图，在已知的四边形ABCD中，AD_LCD,AD=3,.AB/13,ZBDA=60°,

NBCD=135。，点E为AD边上的动点，则露.戏的最小值为.

15.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名

同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学

进行支教.选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为；设X为选出的3名同学中女同学的

人数，则X的数学期望为.

三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分14分)

a

已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足己知ccosB+bcosC=2m\A.

(1)求角A的大小；

瓜

(2)若cosB=*,求sin(2B+A)的值；

4y/3

(3)若AABC的面积为3,a=3,求AABC的周长.

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB_LAD,BC〃AD,

BE=X

BC=4,点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且EC

(I)求证：DM〃平面PAB；

(II)求证：平面ADM_L平面PBC；

2

(III)是否存在实数入，使得二面角P-DE-B的余弦值为3?若存在,

试求出实数入的值；若不存在，说明理由.

18.(本小题满分15分)

已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,an>0且0^3=36,a3+a4=9(a1+a2).

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(II)若S"+1=3”,求数列｛bn｝及数列｛a”4｝的前n项和Tn

19.(本小题满分15分)

已知椭圆=l(a>b>0)过点(2.1),且离心率为殍

(I)求椭圆。的方程；

(II)若过原点的直线八与椭圆「交于P.Q两点，且在直线为：/-1/+2遍=()上存在点A/,使得

△A/PQ为等边三角形，求直线八的方程

20.(本小题满分16分)

T2

设f(x)=cosx+_-l.

9

(I)求证：当XK)时,f(x)>0；

(II)若不等式eax?sinx-cosx+2对任意的x>0恒成立，求实数a的取值范围.

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）天津卷

数学参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5CADDA6-9BBBB

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的

给3分，全部答对的给5分.

n9

10.v与11.36K12.2(-00,.2]13.2\旬+6

496

14.11-4415.仪）5

三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.解：(1):ccosB+bcosC=-------r

IconA

由正弦定理得力〃+sinBcosC

2cosA

siiiAsinA

从而有sin{13+(')二

2cosA2cosA

VsinA^O,

/.cos.

1-2,

V0<A<n,

(2)由已知得，sinB=\-co已B=-y,

2\/2.1

**•sin2B2.57；/B(os13=—；—，cos2B='Zco^B—1=

***sin[213+A)=sin\2B4-)=sin2B(()s+1”」・〃?

•J3J

(3)*/S=-besinA=-b('•

922

…史

3

由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,

即9=(b+c)2—3x管，解得b+c=5,

J

.,.△ABC的周长为a+b+c=8.

17.证明：（I）以A为原点，以AB,AD,AP所在直线

分别为x轴，v轴，z轴建立空间直角坐标系，…（1

分)

由题意得，D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1),A(0,0,0),B(2,

0,0),

DA/=(1,o,1),平面PAB的法向量亓=(0,1,0),

DHI-77=0，DMd平面PAB,

；.DM〃平面PAB........(4分)

解：(II)设平面ADM的一个法向量示=(x,y,z),

=(0，2,0),4A/=(L2,1),

f7ii-Al5='2y=(}

则<一.,取x=l,得示=(1,0,-1),

[nl-AM=x+2y+z=0

设平面PBC的一个法向量»=(x,y,z),

P^=(2,0,0),(2,4,0),

(了•巴=2H-2Z=Q

取x=l,得万=(1,0,1),

(JTk=21+的一2z=()

沆亍=0,

...平面ADM_L平面PBC....(8分)

(III)存在符合条件的人.

设E(2,t,0),P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0)

/.(0,-2,2),(2,t-2,0),

设平面PDE的法向量为0=(a,b,c),

7-PD=-2b+2c=0

取b=2,得至=(2-t,2,2),

©・屁=2a+(f-2)b=<)

又平面DEB即为xAy平面，其法向量下=(0,0,1),

9

则：二面角P-DE-B的余弦值为~,

不下22

二|cos<5>1=1|=/2-。+8=5'

解得t=3或t=l,进而入=3或入=:....(13分)

«)

18.解：(I)由题意得：a3+a4=9(al+a2),可得(川+仰)/9(内+。2)，q2=9,

由an>0,可f?q=3,由ala3=36»可得36,可得al=2,

可得俑=2x3"Td€N’)；

(II)由册=2x3"T,可得S“="1-=3'*-1,

1—<71—3

由S„+1=:卢，可得3"-1+1=:卢，可得bn=n,

可得｛anbn｝的通项公式：anbn=2nx3n-l,

11-1

可得：Tn2(1x30+2x3+...+nx3')(1)

3K=2(1x3*+2x32+...+nx3n)②

1_*>u—1*・《

①-②得：-27；,=2(3°+31+...4-3"-l-nx3n)=2x(^----------nx3")，

1—<3

可得T“=(1)3"+l

19.解：(I)依题意得，\+™=1,e=--,又a2=b2+c2,

22

aba9

解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为1，

(II)显然直线11的斜率k存在，设P(xO,yO),则Q(-xO,-yO),

(1)当k=0时，PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线L的交点为M(0,24)，

因为PO=2榨，MO所以/MPO=60。，则△MPQ为等边三角形,

此时直线II的方程为y=o；

y=kx

—4--=1

{82

消去y整理得(l+4k2)x2=8,

设P(HO,而,则Q(-xo,-yo),

所以BpwrviF-

所以|PO|=vW+城=J：:,,

V14-4和

又PQ的垂直平分线为V：：一

k

x—y+2\/6=0

由《1，

y=~kX

舟2>/fi\/24(fc2+1)

Hirrn)所以阳0=匕修

因为aMPQ为等边三角形，所以"O|v句P。，

解得k=0（舍去）或k=£,

9

此时直线11的方程为y=x,

综上所述，直线I的方程为y=0或y；上.

f(T)=CQSN+———1

20.(I)证明：,-(x>0),则f'(x)=x-sinx,

设e(x)=x-sinx,则力,(x)=1-cosx,...(2分)

当xNO时,4)'(x)=l-cosx>0,即f'(x)=x・sinx为增函数,

所以f(x)>f'(0)=0,

即f(x)在时为增函数，所以f(X)>f(0)=0....(4分)

9

JT

COST>———4-1

(II)解法一：由(I)知X20时，sinx<x,-2,

2

+1+1>sinH—ccs1+2

所以2一，…(6分)

9

、Cf(x)=一一X—1

设-，则G'(x)=ex-x-l,

设g(x)=ex-x-l,则g‘(x)=ex-l,

当xNO时g'(x)=ex-l>0,所以g(x)=ex・x-l为增函数，

所以g(x)>g(0)=0,所以G(x)为增函数，所以G(x)>G(0)=0,

所以ex>sinx-cosx+2对任意的x20