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文档简介
2022年普通高等学校招生全国统一考试天津卷模拟试题(一)
数学
本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试
用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题
卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案标号。
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
如果事件A与事件B互斥,那么尸(AU8)=P(A)+P(B).
如果事件A与事件B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).
球的表面积公式S=4TTR2,其中R表示球的半径.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={0,-1,2,-3,4},B={X[/<12},则AAB=()
A.{4}B.{-1,2,-3}
C.{0,—1,2,—3}D.{-3,—2,—1.0,1,293}
2.设x£R,则“|x-2|>2”是》2-4x+3>0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,neN*,则
S10的值为()
A.-110B.-90C.90D.110
4.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数,a#),xGR)在x=;处取得最小值,则函数丫=(‘"一
x)是()
B.偶函数且它的图象关于点(当,0)对称
A.偶函数且它的图象关于点(7T,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点(称,0)对称
D.奇函数且它的图象关于点(小0)对称
5.函数y=Asin(cox+(p)(A>0,|(p|V兀,>0)的部分图象如图所示,则(
A.y=2sin{2x-
6
7T
B.y=2sin(2x——)
o
7T
C.y=2sin(x+-)
6
7T
D.n=2sin(x+-)
6.设偶函数f(x)的定义域为R,当xe]0,+oo)时,f(x)是增函数,则f(-1),f(兀),f(-3)的大
小关系是()
A./(7T)>/(-I)>/(-3)B./(7T)>/(-3)>/(-I)
C./(7T)</(-3)</(-I)D./(7T)</(-I)</(-3)
在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距
7.京-庐
离为¥c,则其离心率的值为()
C;
A.4B.2D.摩
已知函数〃")=2而(“+⑼W>0,M<3的图象过点且在脸,颗上单调,把f(x)
的图象向右平移兀个单位之后与原来的图象重合,当?)且xl户x2时,f(xl)=f(x2),
则f(xl+x2)=()
A._瓜B.瓜C.-1D.1
21
9.已知函数f(x)=4(LJ'"—T——4—<I是R上的单调函数,则实数a的取值范围为()
A.层)B.昌C.(0,1]D,[1,1)
424222
第n卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题,共105分.
填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答
对的给5分.
10.i是虚数单位,则I的值为
H.若棱长为2/i的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.
7T
12.将函数f(x)=2sin(3x+(p)(|<p|<.,)的图象向右平移1个单位长度,得到的函数g(x)的图象关于
点(-坐,0)对称,则(p=;若g(x)在区间(,,-')(meR)上单调递减,则实数m
18----------1HIII
的取值范围是.
13.已知a>0,b>0,a+2b=l,贝ij—t'的最小值为.
(W
14.如图,在已知的四边形ABCD中,AD_LCD,AD=3,.AB/13,ZBDA=60°,
NBCD=135。,点E为AD边上的动点,则露.戏的最小值为.
15.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名
同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学
进行支教.选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为;设X为选出的3名同学中女同学的
人数,则X的数学期望为.
三.解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分14分)
a
已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足己知ccosB+bcosC=2m\A.
(1)求角A的大小;
瓜
(2)若cosB=*,求sin(2B+A)的值;
4y/3
(3)若AABC的面积为3,a=3,求AABC的周长.
17.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA_L平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB_LAD,BC〃AD,
BE=X
BC=4,点M为PC中点,点E为BC边上的动点,且EC
(I)求证:DM〃平面PAB;
(II)求证:平面ADM_L平面PBC;
2
(III)是否存在实数入,使得二面角P-DE-B的余弦值为3?若存在,
试求出实数入的值;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an>0且0^3=36,a3+a4=9(a1+a2).
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若S"+1=3”,求数列{bn}及数列{a”4}的前n项和Tn
19.(本小题满分15分)
已知椭圆=l(a>b>0)过点(2.1),且离心率为殍
(I)求椭圆。的方程;
(II)若过原点的直线八与椭圆「交于P.Q两点,且在直线为:/-1/+2遍=()上存在点A/,使得
△A/PQ为等边三角形,求直线八的方程
20.(本小题满分16分)
T2
设f(x)=cosx+_-l.
9
(I)求证:当XK)时,f(x)>0;
(II)若不等式eax?sinx-cosx+2对任意的x>0恒成立,求实数a的取值范围.
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一)天津卷
数学参考答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1-5CADDA6-9BBBB
填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的
给3分,全部答对的给5分.
n9
10.v与11.36K12.2(-00,.2]13.2\旬+6
496
14.11-4415.仪)5
三.解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:(1):ccosB+bcosC=-------r
IconA
由正弦定理得力〃+sinBcosC
2cosA
siiiAsinA
从而有sin{13+(')二
2cosA2cosA
VsinA^O,
/.cos.
1-2,
V0<A<n,
(2)由已知得,sinB=\-co已B=-y,
2\/2.1
**•sin2B2.57;/B(os13=—;—,cos2B='Zco^B—1=
***sin[213+A)=sin\2B4-)=sin2B(()s+1”」・〃?
•J3J
(3)*/S=-besinA=-b('•
922
…史
3
由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,
即9=(b+c)2—3x管,解得b+c=5,
J
.,.△ABC的周长为a+b+c=8.
17.证明:(I)以A为原点,以AB,AD,AP所在直线
分别为x轴,v轴,z轴建立空间直角坐标系,…(1
分)
由题意得,D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1),A(0,0,0),B(2,
0,0),
DA/=(1,o,1),平面PAB的法向量亓=(0,1,0),
DHI-77=0,DMd平面PAB,
;.DM〃平面PAB........(4分)
解:(II)设平面ADM的一个法向量示=(x,y,z),
=(0,2,0),4A/=(L2,1),
f7ii-Al5='2y=(}
则<一.,取x=l,得示=(1,0,-1),
[nl-AM=x+2y+z=0
设平面PBC的一个法向量»=(x,y,z),
P^=(2,0,0),(2,4,0),
(了•巴=2H-2Z=Q
取x=l,得万=(1,0,1),
(JTk=21+的一2z=()
沆亍=0,
...平面ADM_L平面PBC....(8分)
(III)存在符合条件的人.
设E(2,t,0),P(0,0,2),D(0,2,0),B(2,0,0)
/.(0,-2,2),(2,t-2,0),
设平面PDE的法向量为0=(a,b,c),
7-PD=-2b+2c=0
取b=2,得至=(2-t,2,2),
©・屁=2a+(f-2)b=<)
又平面DEB即为xAy平面,其法向量下=(0,0,1),
9
则:二面角P-DE-B的余弦值为~,
不下22
二|cos<5>1=1|=/2-。+8=5'
解得t=3或t=l,进而入=3或入=:....(13分)
«)
18.解:(I)由题意得:a3+a4=9(al+a2),可得(川+仰)/9(内+。2),q2=9,
由an>0,可f?q=3,由ala3=36»可得36,可得al=2,
可得俑=2x3"Td€N’);
(II)由册=2x3"T,可得S“="1-=3'*-1,
1—<71—3
由S„+1=:卢,可得3"-1+1=:卢,可得bn=n,
可得{anbn}的通项公式:anbn=2nx3n-l,
11-1
可得:Tn2(1x30+2x3+...+nx3')(1)
3K=2(1x3*+2x32+...+nx3n)②
1_*>u—1*・《
①-②得:-27;,=2(3°+31+...4-3"-l-nx3n)=2x(^----------nx3"),
1—<3
可得T“=(1)3"+l
19.解:(I)依题意得,\+™=1,e=--,又a2=b2+c2,
22
aba9
解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为1,
(II)显然直线11的斜率k存在,设P(xO,yO),则Q(-xO,-yO),
(1)当k=0时,PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线L的交点为M(0,24),
因为PO=2榨,MO所以/MPO=60。,则△MPQ为等边三角形,
此时直线II的方程为y=o;
y=kx
—4--=1
{82
消去y整理得(l+4k2)x2=8,
设P(HO,而,则Q(-xo,-yo),
所以BpwrviF-
所以|PO|=vW+城=J::,,
V14-4和
又PQ的垂直平分线为V::一
k
x—y+2\/6=0
由《1,
y=~kX
舟2>/fi\/24(fc2+1)
Hirrn)所以阳0=匕修
因为aMPQ为等边三角形,所以"O|v句P。,
解得k=0(舍去)或k=£,
9
此时直线11的方程为y=x,
综上所述,直线I的方程为y=0或y;上.
f(T)=CQSN+———1
20.(I)证明:,-(x>0),则f'(x)=x-sinx,
设e(x)=x-sinx,则力,(x)=1-cosx,...(2分)
当xNO时,4)'(x)=l-cosx>0,即f'(x)=x・sinx为增函数,
所以f(x)>f'(0)=0,
即f(x)在时为增函数,所以f(X)>f(0)=0....(4分)
9
JT
COST>———4-1
(II)解法一:由(I)知X20时,sinx<x,-2,
2
+1+1>sinH—ccs1+2
所以2一,…(6分)
9
、Cf(x)=一一X—1
设-,则G'(x)=ex-x-l,
设g(x)=ex-x-l,则g‘(x)=ex-l,
当xNO时g'(x)=ex-l>0,所以g(x)=ex・x-l为增函数,
所以g(x)>g(0)=0,所以G(x)为增函数,所以G(x)>G(0)=0,
所以ex>sinx-cosx+2对任意的x20
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