2023年甘肃省嘉峪关市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年甘肃省嘉峪关市普通高校对口单招

数学自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

1.顶点坐标为(-2,-3),焦点为F(-4,3)的抛物线方程是()

A.(y-3)2=-4(x+2)

B.(y+3)2=4(x+2)

C.(y-3)2=8(x+2)

D.(y+3)2=8(x+2)

2.若是两条不重合的直线表示平面，给出下列正确的个数()

m(In

m±a

(1)mLn\

派任力

⑵f.

mLa

“，用J_h

(3)刑NaJ

mHa]

_La

(4)mLn\

A.lB.2C.3D.4

3.函数y=log2X的图象大致是()

A.

4.函数f(x)不二了的定义域是()

A.[-3,3]B.(-3,3)C.(-,-3][3,+)D.(-,-3)(3,+)

5.己知|x-3|<a的解集是{x卜3<x<9},则a=()

A.-6B.6C.±6D.O

6若a0.6<a<a0.4-则a的取值范围为<)</a

A.a>1B.O<a<1C.a>0D.无法确定

7.已知抛物线方程为y2=8x，则它的焦点到准线的距离是（）

A.8B.4C.2D.6

8.二项式(x-2)7展开式中含x5的系数等于()

A.-21B.21C.-84D.84

9.sin7500=()

A.-1/2

B.l/2

&

C.

DT

10已知角a的终边经过点p(2,-l),则(sina-cosa)/(sina+cosa)=()

A.3B.l/3C.-1/3D.-3

二、填空题(]0题)

11.函数f(x)=-X3+mx2+l(m/))在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是

方程、3一2=°的根斫在的区间是

12.

13.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为.

14.在P33)到直线4x-3y+l=0的距离是4，则a二.

15.若集合4=(1,3,“S=夕,】阻48={1.3.x}-则x=

i6，V(x-l)=?-2x+3.WW=

…若、inJ-----，tan0＜。厕•、、0=_

I/.c

18.右图是一个算法流程图.若输入x的值为1/16,则输出y的值是

19.不等式|x・3|＜］的解集是•

20.cos45°cos150+sin45°sin15°=_。

三、计算题(5题)

2].某小组有6名男生与4名女生，任选3个人去参观某展览，求

(1)3个人都是男生的概率；

(2)至少有两个男生的概率.

22.在等差数列口/中，前n项和为5口，旦$4-62,$6=75,求等差数列｛an)的通项公式a”,

23.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这些书随机排在书架上.

(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？

(2)求英语书不挨着排的概率p：

24.设函数f(x)既是R上的减函数，也是R上的奇函数，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值;

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范围.

25.己知｛a｝为等差数列，其前n项和为S，若％=6,S,=12,求公差d.

n1n33

四、简答题(io题)

26.在1，2,3三个数字组成无重复数字的所有三位数中，随机抽取一个数，求:

（1）此三位数是偶数的概率;

（2）此三位数中奇数相邻的概率.

27.若a，0是二次方程工2―++二二（J的两个实根，求当m取什么值时，^+尸取最小值，并求出此最小值

28.在三棱锥P-ABC中，已知PALBC，PA二a，EC=b，PAtBC的公垂线EF=h，求三棱锥的体积

29.化简1+2cos，-cos2a

30.已知平行四边形ABCD中，A（-P0）（B（-1，-4），C（3,-2），E是AD的中点，求比•近。

31.等比数列履｝的前n项和S，已知S，S，S成等差数列

in’n132

（1）求数列付｝的公比q

（2）当a-a=3时，求S

13n

32.三个数a，b-c成等差数列，公差为3,又a，b+Pc+6成等比数列，求a，b-c。

33.已知向量a=2），b=（X，1），p=a+2b,v=2a-b且出n：求实数x。

―痴/CO=log.—（a>0.a*0）

34.已知函数J、/o.[_x、，.

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（X）的奇偶性，并加以证明；

（3）a>l时，判断函数的单调性并加以证明。

35.如图，在直三棱柱ABC-A81cl中,已知4cl犯M5=2MC=CG=1

（1）证明：AC1BC;

（2）求三楂锥By-ABC的体积.

五、解答题(10题)

-sina-sinZ7

4Ttan^=----------------

36.口知sin(0+a)=sin(8+B>求证：cosa-cos/3

37.

已知角a的终边经过点丁飞「

(1)求$ina；

(2)根据上述条件，你能否确定sin；?+4；的值？若能，求出

sin：，的值；若不能，请说明理由.

38.设椭圆x2/a2+y2/b2的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为0)，点B的坐标为(0,b>点M在线段AB上，满足

y5

|BM|=2|MA|直线OM的斜率为|:।.

(1)求日的离心率©

(2)设点C的坐标为(0,-b>N为线段AC的中点，证明：MN1AB

39.已知直线2'一“3y+J3-0经过椭圆C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的一个顶点B和一个焦点F.

(])求椭圆的离心率：

(2)设P是椭网C上动点，求|PF|-|PB|的取值范围，并求|PF|-|PB||取最小值时点P的坐标.

+'T1后

求证：—O--------O

5///1O0CoslO0

40.

41.

设A是由〃个有序实数构成的一个数组，记作：，4=（如生其中q

（i=1.2.|||,〃）称为数组A的"元.，，称为生的下标.如果数组S中的每个"元”都

是来自数组A中不同下标的"元",则称S为A的子数组.定义两个数组

A=（”].生.”卜““）,B=（印也*|||也）的关系数为。（48）=,讷+«仇+1+。也.

〔I〕若A=（二匕），8=（_1.123），设S是8的含有两个"元"的子数组，求

C（4S）的最大值;

/J/JR

（H）若A=（鼻.宁.¥）,B=（O*abc）,且＜J+/J+J=1,S为8的含有三

个“元"的子数组，求C（A.S）的最大值.

已如多亲氯丹（%|港义：4=7.%+。7=26,｛4｝的前“项和若S“.求明及S”；

43.已知等差数列%的前72项和为S”a$=8,$3=6.

（]）求数列｛a｝的通项公式:

nJ

（2）若数列｛a｝的前k项和S,=72,求k的值.

nk

在（一，°）上是增函数

44.证明

45.

:

(।y4={.r16.r+inx-1=0}5={x13x‘+5x+〃=0},”

ADB-{-1),求人U6

六、单选题（0题）

46.'仅=-1"是'仅2-1=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

参考答案

LC

四个选项中，只有c的顶点坐标为（-2,3），焦点为（-4，3）。

2.B

若两条不重合的直线表示平面，由直线和平面之间的关系可知（1）、（4>正确。

3.C

对数函数的图象和基本性质.

4.B

由题可知，3-x2大于O所以定义域为（.3,3）

5.B

若aSO,则不等式忸一3|〈。的解集为0,不符

题意

若a>（）,由卜?;-3|<0可得一a<z-3<a

解得一a+3<z<a+3

由不等式的解集为口|一3<工<9｝可得

-a+3=-3

'a+3=9

解得。=6

6.B

已知函数是指数函数，当a在(0,1)范围内时函数单调递减，所以选B-

抛物线方程为y2=2px=2*4x，焦点坐标为(p/2,0)=(2,0)，准线，方程为x=.p/2=2则焦点到准线的距离为p/2-(-p/2)

=p=4°

8.D

7rr

由题意得：Tr+X=C,X--(-2)

令7—厂=5

.\r=2

9(2)2=；：；

义4=84

9.B

利用透导公式化简求值・・飞布。=5皿1^360。+0)(1<£2)入析750。=$1n(2x360°+30°)=sin30°=l/2.

10.D

三角函数的化简求值.三角函数的定义.因为角a终边经过点P(2,-l)，月斤以tana=-l/2,sina-cosa/sina+cosa=tana-l/tana+1=(-

l/2-l)f(-l/2+l)=-3

11.(0,3).利用导数求函数的极值，最值.f(x)=-3x2+2mx=x(-3x+2nn).令f(x)=0,得x=0或x=2m/3因为xe(0,2),所以0:

2m/3V2,0<01<3.答案：(0,3).

12.(1,2)

13.6兀圆柱的侧面积计算公式.利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为27X1X2=4TT一个底面圆的面积是7r所以该圆柱的

表面积为4兀+27兀=6兀.

14.-3或7,

4<7—9*1

---=4

#+(-3尸

则4Q-8=20或4Q-8=-20,解得Q=7或-3

15.

-

0,，AB为A和B的合集，因此有x2=3或x2=x旦x不等于1-所以x=0，V3

16.

/+2,

设N—1=%则7=£+1,

则/(/,)=«+])2—2(£+1)+3=*+2.

故/⑺="+2.

综上所述，答案：〃+2

17.-4/5

18.-2

算法流程图的运算,初始值x=l/16不满足x>l，所以y=2+log^l/16=2-log224=-2,故答案-2.

19.

不等式|工一同<1等价于一1<Z一3<1,解得

2<"4,.•.不等式忸-3|<1的解集是

{q2<”4}.

综上所述，答案：{同2<“<4}

20.

cos45°cos15°+sin15°sin45°

=cos(45°-15°)

=cos30°

正=迸

2.2

解：(1)3个人都是男生的选法：Cl

任意3个人的选法：C,Q

3个人都是男生的概率：P

/6

(2)两个男生一个女生的选法：C：C；

2

至少有两个男生的概率尸=

C,3o3

22.解：设首项为\、公差为d.依题意：4a坨d=-62：6aM5d：-75

解得a=-20,d=3,a=a+(nT)d=3n-23

1n1

23.

解：(1)利用捆绑法

先内部排：语文书、数学书、英语书排法分别为4：、4

再把语文书、数学书、英语书看成三类，排法为

排法为：耳彳工：团=103680

(2)利用插空法

全排列：『

语文书3本，数学书4本排法为：⑷

插空：英语书需要8个空中5个：4

英语书不挨着排的概率：尸=4津=2

有99

24.解：

(1)因为f(x)="R"是奇函数

所以f(-x)=-f(x),f(-1)=4(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因为f(x)，£R卜是减函数,t2-3t+1<-1

所以1vt<2

25.

,3(0+4)3(q+6)

解：因为^3=653=12,所以S3=12=——~

解得ai=2,a3=6=ai+2d=2+2d,解得d=2

26.］，2,3三个数字组成无重复数字的所有三位数共有其二6个

尸二」

(j)其中偶数有*2个,故所求概率为I・石一1

(2)其中奇数相邻的三位数有二4个

_4_2

故所求概率为「2=1=彳

27.

解：因为二次方程有两个根

.*.a4-b=2ni,AB=m+2

则az+b2=4(m——)2——

44

当血=一1时,最小值^+"=2

28.

解、连接BECE

VPA±BC,PA±EF

，PA_L平面BC£

则VpfMC=Vf-BEC+V1BEC~1sliBCE•PE+y-AE

又；PA=a,BC=b,EF=h：.V^=-abh

PABC6

29.1+2cos2a-cos2=l+2cos2a-(cos2a-sin2a)-1+cos2a+sin2a=2

30.平行四边形ABCD-CD为AB平移所得，从B点开始平移，于是C平移了(4,2)，

所以，DG1+D0+2)=(3'2)，E是AD中点，E[(-l+3)/2>(0+2)/2]=(b1)

向量EC=(3-1，・2・1)=(2,・3)，向量ED=(3・1，2-1)=(2-1)

向量ECx向量ED=2x2+(-3)xl=1。

31.

(1)由已知得

«i+(4+的)=2(q+qq+*)

a=b-3

，c=4+3

32.由已知得：[(6+l)a=a(c+6)

a=4

<b=7

由上可解得c=10

33.

4=a+2b=(L2)+(xJ)=(2x,l4)v=(2-x,3)

g//v

1

x=一

(2x+1.4)=(2-x，3)得2

34.<P-1<X<1

(2)奇函数

(3)单调递增函数

35.

(1)证明：•.•宜二棱柱从I平面工8C-舄EQ]eg_L平面ABC

又：BCU平面ABC，BC_1_CG

••・A」BC又，4ccq=c

Acct平面工cc;4

，BC_L平面"CGA

••,AC_L平面

(2)AB=2,AC=1,AC_LBC,.在=出

••・三棱港用"Cc的面只玛皿3皿】326

36.

证明：Vsin(9+a)=sin9cosa+cos9sina

sin(9+P)=sin9cos0+cos9sin0

,.,sin(6+a)=sin(9+0)

sin9cosa+cos°sina=sin°cos|3+cos°sinB

Sin9(cosa-cosP)=cos9(sin|3-sina)

sinZ?-sina

/.tan9;----------------

cosa-cos尸

37.

(1)由已知得，点P是角a的终边与单位图的交点,

丫=一.「・sina=\'=一

55

(2)能.

43

.V:一9>'■COSfjf=.V=—

55

•J7T、•7T江•

・・sin(——a)=sin-COSQ.+cos-sina

444

V23724

——x—4----X-

2525

38.

(D物।由题设条件知，点M的坐标为

(白。，：右)，乂Mz二条,从而在=今进而a—

33102a10

&b.c=\Za*—b:=2b•取c=J一竺^

u5

(2)证：由N是AC的中点知.点N的坐标为(].

一9.可得讨=(%当.又万S=(-a,6),从

Z66

而有A5•MN—-[a'IWb"-—a*).

566

由(I)的计算结果可知油/,所以而•访7

-0,故MN_AZL

39.

(1)依即意，8(0.1)加(一行.0).所以

b—\=6.o=Vb24-cl=2,所以椭圆的离心

加c73

率e=-=—.

aZ

(2)04||PF1-1PBIKIBF|,当且仅当

IPFI=1PBI时，取到。，当且仅当P是直线

BF与椭圆C的交点时，IPF|-|PBHIBFI，

IBF|=2，所以||PFITPB||的取值范围是

[0,2].

设由得IPF|=|PB|得-m+n+

—+n2=1m=0

1=0,由4解得或

n=-1

+〃+1=0

8四

m-...—

所求点/>为(0,-1)和/>(一等,

1113

W=13

40.

COJSIO0-V3SirtlO0

S/nlO6CavH)"

2(-；CoslO"*Si"IO")

S加1()“Cos1()"

_2(5//»3()<,Co,d00-CO.V3005//»10°)

S加10"Cosl0”

2s加20。

45加20"

-2SEI0"CoslO"

=4

=右边

41.

(I〕依据题意，当s=(—1.3)时，C(AS)取得最大值为2.

〔□〕①当()是S中的"元"时，由于八的三个"元”都相等，与3中。.Ac三个

"元"的对称性，可以只计算C(4S)=¥(“+/,)的最大值，其中，J+b-+c2=\.

由(a+b)：-a2Jrh1+2ab<2(a2^h2)<2(a2+/?-+cz)=2,

得一<tz+/?<.

当且仅当r=°,且a=〃=时ra+〃达到最大值)

于是C(A-S)=(〃+〃)=.

②当°不是S中的"元.时，计算C(A.S)=#(a+〃+C)的最大值，

由于=1,

所以(0+力+c)2=f/2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

<3(«；+/?；+c:)=3,

当且仅当"=