高中数学试题：三角函数单元基础题

三角函数单元复习题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知x∈(－eq\f(π,2)，0)，cosx＝eq\f(4,5)，则tan2x等于（）A.eq\f(7,24) B.－eq\f(7,24)C.eq\f(24,7) D.－eq\f(24,7)2．eq\r(3)coseq\f(π,12)－sineq\f(π,12)的值是（）A.0 B.－eq\r(2)C.eq\r(2) D.23．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，则α＋β的值为（）A.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)4．sin15°cos30°sin75°的值等于（）A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),8)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sineq\f(π,12))等于（）A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)6．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－eq\r(3)cos(120°－x)的值为（）A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.1 D.07．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为（）A.eq\f(8,9)，eq\f(\r(17),9) B.－eq\f(8,9)，eq\f(\r(17),9)C.－eq\f(8,9)，－eq\f(\r(17),9) D.－eq\f(8,9)，±eq\f(\r(17),9)8．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不能确定9．化简eq\f(cos（eq\f(π,4)＋α）－sin（eq\f(π,4)＋α）,cos（eq\f(π,4)－α）＋sin（eq\f(π,4)－α）)的结果为（）A.tanα B.－tanαC.cotα D.－cotα10．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为（）A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－1 D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．eq\f(sin70＋cos150sin80,cos70－sin150sin80)的值等于_____________.12．若eq\f(1－tanA,1＋tanA)＝4＋eq\r(5)，则cot(eq\f(π,4)＋A)＝_____________.13．已知tanx＝eq\f(4,3)(π＜x＜2π)，则cos(2x－eq\f(π,3))cos(eq\f(π,3)－x)－sin(2x－eq\f(π,3))sin(eq\f(π,3)－x)＝_____.14．sin(eq\f(π,4)－3x)cos(eq\f(π,3)－3x)－cos(eq\f(π,6)＋3x)sin(eq\f(π,4)＋3x)＝_____________.15．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，则sin(α＋eq\f(π,4))·sin(eq\f(π,4)－α)的值为____________.16．已知5cos(α－eq\f(β,2))＋7coseq\f(β,2)＝0，则taneq\f(α－β,2)taneq\f(α,2)＝_____________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知cos(α－eq\f(π,6))＝eq\f(12,13)，eq\f(π,6)＜α＜eq\f(π,2)，求cosα.18．（本小题满分14分）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，eq\f(π,2))，求sinα、tanα.19．（本小题满分14分）在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值.∴tan(eq\f(A,2)＋eq\f(C,2))＝eq\r(3)，由两角和的正切公式，得eq\f(taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2),1－taneq\f(A,2)taneq\f(C,2))＝eq\r(3)taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＝eq\r(3)－eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3).20．（本小题满分15分）已知cosα＝－eq\f(12,13)，cos(α＋β)＝eq\f(17\r(2),26)，且α∈(π，eq\f(3,2)π)，α＋β∈(eq\f(3,2)π，2π)，求β.【分析】要求β就必须先求β的某一个三角函数值，对照已知与欲求的目标，宜先求出cosβ的值，再由β的范围得出β.【解】∵π＜α＜eq\f(3,2)π，eq\f(3,2)π＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.又∵cosα＝－eq\f(12,13)，cos(α＋β)＝eq\f(17\r(2),26)，∴sinα＝－eq\f(5,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(7\r(2),26)故cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝eq\f(17\r(2),26)×（－eq\f(12,13)）＋（－eq\f(7\r(2),26)）（－eq\f(5,13)）＝－eq\f(\r(2),2).而0＜β＜π，∴β＝eq\f(3,4)π.【评注】本题中若求sinβ，则由sinβ＝eq\f(\r(2),2)及0＜β＜π不能直接推出β＝eq\f(3,4)π，因此本类问题如何选择三角函数值得考虑.21．（本小题满分15分）是否存在锐角α和β，使得（1）α＋2β＝eq\f(2,3)π，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.【分析】这是一道探索性问题的题目，要求根据（1）、（2）联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件（2）涉及到eq\f(α,2)与β的正切，所以需将条件（1）变成eq\f(α,2)＋β＝，然后取正切，再与（2）联立求解.【解】由（1）得：eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)∴tan(eq\f(α,2)＋β)＝eq\f(taneq\f(α,2)＋tanβ,1－taneq\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3)将（2）代入上式得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).因此，taneq\f(α,2)与tanβ是一元二次方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两根