数学建模手机“套餐”优惠几何

PAGEPAGE10手机“套餐”优惠几何摘要：近年来手机已经得到了很大的普及,因此手机资费问题已经引起了越来越多的人的注意;手机运营商也推出了很多种优惠的套餐.本文通过对北京和上海的两种套餐的研究的资费计算方法给出了各套餐方案的评价准则并提供了计算方法.针对问题一,我们给出了资费和各通话时间的函数关系,并据此说明了各种套餐适用于什么样的用户.针对问题二,我们确定了各种资费方案的评价准则.我们以主叫费用为例假定某地区手机的主叫时间服从正态分布,结合费用函数建立了一个主叫费用和主叫时间之间的模型。通过对结果的分析，我们得出，对于北京的移动用户，“畅听99套餐”方案比现行的全球通资费标准可以平均节省45.68%的费用，比神州行的资费标准可以平均节省62.51%的费用，比现行的动感地带资费标准平均要高出9.07%。而上海“全球通68套餐”方案则分别比这三种资费标准节省57.82%、24.71%和48.12%。针对问题三，我们通过建立模型比较，得出当每月通话时间大于139.4分钟时所花费用要大于现行的“畅听99套餐”方案，从而指出了“被叫全免计划”方案是一种变相的涨价，愚弄消费者的方案。针对问题四，我们主要通过从国内IP费用、国内直拨费用、国际直拨费用着手，并辅之以短信包月和增加本地主叫包月的时间，设计出了一种“优惠88套餐”方案，满足运营商收入降低不超过10%的条件。最后，我们还从不同时段手机资费标准不同等方面提出了模型进一步改进的方案。关键词：手机资费方案、套餐、正态分布问题的提出手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。 在全球通的各种“套餐”方案中，比较有代表性的是北京移动的“畅听99套餐”方案和上海移动的“全球通68套餐”方案，那么又该如何评价这两种方案？有没有一种对各种资费都可以评价的准则和方法呢？如何创建一种让消费者满意同时又使得运营商可以接受的自费方案呢？这些都是在手机普及之后消费者和运营商都在考虑的问题。手机“套餐”究竟优惠几何？1.2符号说明F（t）:资费函数S：每部手机一个月总资费f(t):表示密度函数Sij表示北京移动“畅听99套餐”下第i种业务在第j区段的所需费用Ai:表示北京移动“畅听99套餐”下全球通第i种业务的费用Bi:表示北京移动“畅听99套餐”下神州行第i种业务的费用Ci:表示北京移动“畅听99套餐”下动感地带第i种业务的费用Wij：表示上海“全球通68套餐”下第i种业务在第j区段的所需费用Xi：表示上海“全球通68套餐”下全球通第i种业务的费用Yi：表示上海“全球通68套餐”下全球通第i种业务的费用Zi：表示上海“全球通68套餐”下全球通第i种业务的费用1.3模型假设手机用户会根据自己每个月的平均通话时间选择费用最少的资费方案；不考虑到外地时换卡或者停机保号的情况；某一地区手机的本地主叫时间分布、本地被叫时间分布等都服从正态分布；北京、上海全球通用户平均每个月本地主叫和本地被叫的时间相同；1.4模型的分析、建立与求解问题一北京移动“畅听99套餐”方案资费计算方法由于拨打加IP的国内长途的资费为本地主叫资费与IP长途资费之和，故在计算费用时，可将它的本地主叫的时间与其他的本地主叫时间合并，设为一个总的本地主叫时间分钟，另外，设拨打加IP的国内的长途通话时间为分钟，对于本方案中没有涉及的其他费用，令其总和为，则若选择月基本费为99元的方案，其一个月所需的费用为：同理，对于选择月基本费用为139元的用户，其一个月所需费用为：对于选择月基本费用为199元的用户，其一个月所需费用为： 对于选择月基本费用为299元的用户，其一个月所需费用为： 由于所有的费用函数中都有这一项，所以我们在比较费用的大小时，可以省去这一项。作出省去这一项的费用函数图象如下：从图形上我们可以很容易的计算出当时，月基本费为99元的套餐所需费用是最少的；当时，月基本费为139元的套餐所需费用是最少的；当时，月基本费为199元的套餐所需费用是最少的；当时，月基本费为299元的套餐所需费用是最少的；而当每个月话费小于99元，即时，不用选择任何套餐。综上所述，“畅听99套餐”方案中月基本费为99元的套餐适应于月平均通话时间在（122.5,394.3）之间的用户，月基本费为139元的套餐适应于月平均通话时间在（394.3,800）之间的用户，月基本费为199元的套餐适应于月平均通话时间在（800,1500）之间的用户，而月基本费为299元的套餐适应于月平均通话时间在1500以上的用户。上海移动公司“全球通68套餐”方案计算方法:由于上海移动的“全球通68套餐”方案中包月的时间为本地通话时间，为了讨论的方便，我们假定对于包月的时间，其本地主叫时间和本地被叫时间之比为1：1，包月之后的时间，本地主叫时间和本地被叫时间之间没有确定的比例关系；并假设套餐方案中没有涉及到的通话总费用为B。与北京的套餐分析相类似，这里设t为本地主叫时间,对于不同的用户在选择不同的套餐的时候可以分别得到对应的函数。选择套餐68的表达式为：(1)选择套餐128的表达式为:(2)选择套餐188的表达式为:(3)容易计算出存在这两个临界点，分别是=513和=775,而当每月的通话时间不足45分钟时,所需费用不足68,不需要选任何方案。综上所述，上海“全球通68套餐”方案中的第一种套餐适用于通话时间大于45分钟,而且本地主叫时间小于513分钟的用户；第二种方案适用于每月主叫时间在(513,775)之内的用户；第三种方案适用于每月主叫时间多于775分钟的用户。问题二：1．评价准则现有的资费标准的组成部分包括：月租费、停机保号费、卡费、本地呼叫资费、本地接听资费、17951IP长途资费、直拨国内长途资费、直拨国际长途资费、短信资费、漫游资费和彩信/GPRS。对任何资费方案来说，月租费、停机保号费、卡费都是相同的；漫游部分的资费是国内长途资费与一个常数的和，可以通过长途的资费来反映它；而当前彩信/GPRS服务并不普及，所以对于资费方案的评价，我们主要考虑以下六项：（1）本地呼叫资费；（2）本地接听资费;(3)17951IP长途资费;（2）直拨国内长途资费;(5)直拨国际长途资费；（6）短信资费;每部手机一个月的总资费：2．评价方法假定每一地区手机的本地主叫时间、本地接听时间、IP长途时间、直拨国内长途时间、直拨国际长途时间和短信数量都服从正态分布。以本地主叫时间为例，假设服从分布。通话时间的期望值（即参数）为这一地区的每部手机的平均通话时间。在确定时，我们认为运营商给出的各项资费方案应该能满足绝大多数用户的需求，因此应该包含在方案的本地主叫分钟的最小值和最大值之间，这是我们直接取为每月本地主叫分钟的最小值（如“畅听99”套餐方案中，取），可以据此确定，进而确定出本地主叫时间的密度函数。本地接听时间、IP长途时间、直拨国内长途时间、直拨国际长途时间和短信数量的处理方法与此相同。对于某一种资费方案，假设它有m种可供选择的套餐，如北京移动公司全球通“畅听99”套餐方案中，有4种可选的套餐，分别是月基本费99、139、199和299的套餐，用户可以选择其中任何一种，或者不选，因此有m+1种选择，假设用户会根据自己每个月手机的平均话费，选择所需费用最省的资费套餐。在任何两个相邻套餐之间，都存在一个本地主叫/本地通话时间的临界值，如“畅听99”套餐是以本地主叫分钟数作为选择的依据，主叫分钟数小于394.3分钟时，选择99元的套餐，大于394.3分钟时选择139元的套餐。以本地主叫的费用为例，我们将本地主叫时间按照临界值分成m+1个区间段,对于每一个区间段,其资费函数是不同的,任取其中一段,位于其中的任一时刻t,对应的资费为;而主叫时间位于内的概率为;所以这段时间内的费用;本地主叫的费用为m+1个区间内费用的总和，所以。本地接听资费,17951IP长途资费,直拨国内长途资费,直拨国际长途资费,短信资费计算方法与此类似。所以，对于该资费方案，每部手机一个月总资费。3．北京“畅听99”套餐方案根据已有的统计资料显示,2006年北京平均每部手机的本地主叫时间为574.2分钟,国内长途通话时间为44.175分钟,IP国内通话时间为66.225分钟,IP国际通话时间为0.88分钟,短信量为156条,其中网内130条,网外26条..假定北京手机的本地主叫时间服从正态分布,本地主叫时长的期望=574,套餐中所给的包月的本地主叫时间应该包含了大部分人的需求,故取,可求出=98,故本地主叫时间满足的正态分布,其密度函数为..将本地主叫时间分成5个区间段:区间1为(0,114.3),所需费用为=;区间2为(114.3,394.3),所需费用为=44.20区间3为(394.3,800),所需费用为=143.8区间4为(800,1500),所需费用为=20.994;区间5为(1500,10000),所需费用.=9.125;故一部手机平均每个月所需的本地主叫费用=232.4468元,同理可求得本地被叫费用0元，IP国内长途费用14.9元，国内长途费用32.5933元，国际长途费用17.5元，短信费用16.9元。所以对于“畅听99”套餐方案，平均每部手机一个月所需资费为=314.3301元.如果按照现有的全球通资费标准进行计费，假设本地主叫和本地被叫的时间相同，本地主叫费用=0.4*t=229.68元，本地被叫费用0.4*t=229.68元，IP长途费用0.7*t1+1.9*t2+3.9*t3=51.0327元，国内长途费用1.1*t=48.5925元，国际长途费用8.4*t=2.688元，短信费用0.1*t1+0.15*t2=16.9元,所需的费用=578.6732元.因此，对于北京的移动用户来说，“畅听99”套餐方案可以比现行的全球通资费标准平均节省=45.68%的费用。如果按照现有的神州行资费标准进行计费，本地主叫费用=344.52元，本地被叫费用344.52元，IP长途费用64.5753元，国内长途费用57.4275元，国际长途费用2.752元，短信费用24.7元,所需的费用=838.5元。因此，对于北京的移动用户来说，“畅听99”套餐方案可以比现行的神州行资费标准平均节省=62.51%的费用。如果按照现有的动感地带资费标准进行计费，本地主叫费用=143.55元，本地被叫费用57.42元，IP长途费用26.57475元，国内长途费用41.97元，国际长途费用2.64元，短信费用16元,所需的费用=288.2元。因此，对于北京的移动用户来说，“畅听99”套餐方案比现行的动感地带资费平均高出=9.07%的费用。4．上海“全球通68套餐”方案分析根据已有的统计资料显示,2006年上海平均每部手机的本地主叫时间为574分钟,国内长途通话时间为25.4635分钟,IP国内通话时间为38.16分钟,IP国际通话时间为25.1分钟,短信量为156条,其中网内130条,网外26条.假定上海手机的本地主叫时间服从正态分布,本地主叫时长的期望=755,套餐中所给的包月的本地主叫时间应该包含了大部分人的需求,故取,可求出=125.,故本地主叫时间满足的正态分布,其密度函数为..将本地主叫时间分成4个区间段:区间1为(0,45),所需费用为=7.1217;区间2为(45,693),所需费用为=35.1816;区间3为(693,1175)所需费用为=93.1478元;区间4为(1175,10000),所需费用为=4.5378元;故一部手机平均每个月所需的本地主叫费用=139.98元,同理可求得本地被叫费用0元，IP国内长途费用14.9元，国内长途费用32.59元，国际长途费用17.5元，短信费用16.9元。所以对于“全球通68套餐”方案，平均每部手机一个月所需资费为=204.98元。如果按照现有的全球通资费标准进行计费，本地主叫费用=0.4*t=178元,本地被叫费用0.4*t=178元,IP长途费用0.7*t1+1.9*t2+3.9*t3=50.08元，国内长途费用1.1*t=48.59元，国际长途费用8.4*t=12.16元，短信费用0.1*t1+0.15*t2=16.9元,所需的费用=479.84元。因此，对于上海的移动用户来说，“全球通68套餐”可以比现行的全球通资费标准平均节省=57.28%的费用。如果按照现有的神州行资费标准进行计费，本地主叫费用=267元，本地被叫费用267元，IP长途费用63.5715元，国内长途费用57.4275元，国际长途费用12.064元.,短信费用24.7元,所需的费用=272.25元。因此，对于上海的移动用户来说，“全球通68套餐”可以比现行的神州行资费标准平均节省=24.71%的费用。如果按照现有的动感地带资费标准进行计费，本地主叫费用=111.25元，本地被叫费用44.5元，IP长途费用25.925元，国内长途费用41.966元，国际长途费用11.98元，短信费用16元,所需的费用=251.3元。因此，对于上海的移动用户来说，“全球通68套餐”可以比现行的动感地带资费标准平均节省=48.12%的费用。问题三考虑两年的费用,第一年使用全球通现行的资费标准,假设第一年本地主叫时间与问题二中所给时间相同,第二年本地主叫时间为t,两年的本地被叫时间,IP长途时间,国内长途直拨时间,国际长途直拨时间和短信数量都与问题二中所给数据相同。第一年所需费用为，第二年使用“被叫全免计划“方案，每个月所需费用h的计算方法与全球通现行的资费标准每月所需费用的计算方法相类似,,全年所需费用。我们将此方案与“畅听99套餐”方案相比较，“畅听99套餐”方案两年所需的费用,当，即时，两种资费方案花费相等，注意到是一个关于t的线性函数,当t增大时,随之增大,也就是说,当每月本地主叫时间t>139.5分钟时,此方案每月所需费用超过“畅听99套餐”方案的费用,而且打的时间越长,超出的费用就越多,这种方案实际上相当于是变相涨价。国家发改委宏观经济研究院市场与价格研究室主任王学庆5月23日下午向新浪科技表示，北京移动推出的这个新资费方案其实是一个涨价方案，是一个混淆视听的愚弄消费者的方案。我们得到的这个结论也印证了王学庆主任的话，当用户的的通话时长超过139.5分钟后，资费反而上升了，这些还不算“畅听99套餐”中附送的数据流量费。问题四 考虑到全球通用户多为白领商务人士，用于公事的话费比例较大，而且长途电话较多。所以我们在设计资费方案时，主要从国内IP长途资费、国内长途直拨资费和国际长途直拨资费方面进行设计，并辅之以短信包月和增加本地主叫包月的时间，至于本地被叫资费，根据国家发改委和信息产业部关于电信资费改革确定的原则（见附录），本地被叫免费。 我们设计的“优惠88套餐”方案如下一、基本资费月基本费（元/月）包含本地主叫分钟数超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）本地被叫资费（元/分钟）短信包月883000.25010元150条1486000.20010元150条20812000.15010元150条26824000.10010元150条二、长途直拨资费长途类型资费（同时收取区内通话费）优惠时间（22：00-7：00）国内IP长途0.1元/分钟/国内直拨长途0.06元/6秒0.04元/6秒港澳台直拨长途0.15元/6秒0.10元/6秒其他国家长途0.7元/6秒0.48元/6秒根据北京市2006年的数据，参照“畅听99套餐”方案资费的计算方法，我们得出“优惠88套餐”方案每个月所需的本地主叫费用G1==159.46，国