liessr方程的等斜线正交刻画

liessr方程的等斜线正交刻画

0系统e的性质==（x，y）、y=q（x，y）（1）x=p（x，y），y=q（x，y）（1）。的研究中,极限集的确定具有重要的作用.由于Liénard方程˙x=h(y)-F(x),˙y=-g(x)(E)x˙=h(y)−F(x),y˙=−g(x)(E)在物理、力学、生物和工程等领域具有广泛的应用,其解的有界性、零解的渐近稳定性和强弱吸引性等动力学行为的研究受到了大家的关注,并且得到了丰富的结果.在系统(E)极限行为的研究中,下面的性质起着关键的作用:(P1)系统(E)的正半轨是否与垂直等斜线相交;(P2)系统(E)的正半轨是否趋于原点.因此,文献详细地研究了使得系统˙x=m|y|psgny-F(x),˙y=-g(x),m>0,(2)x˙=m|y|psgny−F(x),y˙=−g(x),m>0,(2)当p≥1时具有性质(P1)和(P2)的条件,结果总结在文献中的定理4.1～4.12中.本文将研究使得系统(E)具有或者不具有性质(P1)、(P2)的条件.把所得结论应用到系统(2)时,我们发现不必限制p>1,而对一切p>0均适用,因此改进了文献的结论.另外本文采用的方法不同于文献,这里的研究方法适用于更广泛的非线性振荡方程˙x=1a(x)[h(y)-F(x)],˙y=-a(x)˜g(x),a(x)>0,(3)x˙=1a(x)[h(y)−F(x)],y˙=−a(x)g˜(x),a(x)>0,(3)相关性质的研究中.全文均设:1)F(x),g(x)连续,F(0)=g(0)=0,xg(x)>0(x≠0);2)h(y)在R/{0}上局部Lipschitz连续,严格递增,h(0)=0,h(±∞)=±∞.我们分别用O|+(E)(P)和O|-(E)−(E)(P)表示系统(E)从P点出发的正半轨和负半轨,并且记G(x)=∫x0g(s)ds,Γ+∶={(x,y):h(y)=F(x)(x>0)},Γ-∶={(x,y):h(y)=F(x)(x<0)}.(4)G(x)=∫x0g(s)ds,Γ+∶={(x,y):h(y)=F(x)(x>0)},Γ−∶={(x,y):h(y)=F(x)(x<0)}.(4)1[0,2,2以上的积分曲线定义11)称系统(E)具有性质(H+),若对任意P(x,y)(h(y)>F(x),x≥0),O+(P)一定与Γ+相交.称系统(E)具有性质(H-),若对任意P(x,y)(h(y)<F(x),x≤0),O+(P)一定与Γ-相交.2)称系统(E)具有性质(Z+1)(或(Z+3)),若存在P∈Γ+(或者Γ-),使得O+(P)仅通过第一象限(或者第三象限)趋于原点.3)称系统(E)具有性质(Z-2)(或者(Z-4)),若存在P∈Γ-(或者Γ+),使得O-(P)仅通过第二象限(或者第四象限)趋于原点.引理1对m,p>0,令μ0(m,p)=(p+1)[m(1+1p)p]1/(p+1).(*)μ0(m,p)=(p+1)[m(1+1p)p]1/(p+1).(*)考虑辅助方程dzdy=-λzp/(p+1)-m|y|psgny,z≥0;(5)dzdy=λzp/(p+1)-m|y|psgny,z≥0.(6)下列结论成立:1)对λ∈[0,μ0),方程(5)和(6)的任意积分曲线必然与y-轴相交于2点(0,y1)和(0,y2),且y1·y2<0.2)对λ=μ0,方程(5)从{m|y|psgny=-μ0zp/(p+1)}出发的积分曲线当y增加时沿特殊方向θ=arctan(-r*)趋于原点;方程(6)从{m|y|psgny=μ0zp/(p+1)}出发的积分曲线当y减少时沿特殊方向θ=arctanr*趋于原点,其中r*=[μ0m(p+1)]1/p.(7)证明我们仅证明方程(5)的结论,类似可证(6)的结论.令z=up+1,(5)化为(p+1)updu+[λup+m|y|psgny]dy=0,u≥0.用s参数化其积分曲线,可知上述方程的解是下面系统的轨线:duds=m|y|psgny+λup,dyds=-(p+1)up,u≥0.(8)令u=ρcosθ,y=ρsinθ,则式(8)化为dρds=ρpΖ(θ),ρdθds=ρpΝ(θ),(9)其中Ζ(θ)=m|sinθ|pcosθsgn(sinθ)-(p+1)cospθsinθ+λcosp+1θ,Ν(θ)=-m|sinθ|p+1-λcospθsinθ-(p+1)cosp+1θ.不失一般性,可设θ∈[-π/2,π/2].1)首先断言:对λ∈[0,μ0),有N(θ)<0(|θ|≤π/2).事实上,Ν(θ)=cosp+1θ[-m|tanθ|p+1-λtanθ-(p+1)],|θ|<π/2={cosp+1θf1(tanθ),θ∈[0,π2);cosp+1θf2(-tanθ),θ∈(-π/2,0];其中f1(r)=-mrp+1-λr-(p+1),f2(r)=-mrp+1+λr-(p+1),r∈[0,+∞).由于当r∈[0,+∞)时f1′(r)<0、f1(0)<0以及N(π/2)<0,我们可得当0≤θ≤π/2时有N(θ)<0.对于θ∈(-π/2,0],若λ=0,由于f2(r)≡f1(r),结论成立;若λ≠0,计算知f2(r*)是f2(r)的最大值,其中r*=[λm(p+1)]1/p.不难验证f2(r*)<0若λ∈(0,μ0);f2(r*)=0若λ=μ0.注意到N(-π/2)=-m<0,可得上述断言成立.因此,从(ρ0,θ0)≠(0,0)出发的积分曲线可表示为ρ=ρ(θ).令Μ=max|θ|≤π/2|Ζ(θ)|,Κ=min|θ|≤π2|Ν(θ)|>0.于是1ρ|dρdθ|≤ΜΚ,从而0<ρ0e-(Μ/Κ)|θ-θ0|≤ρ(θ)≤ρ0e(Μ/Κ)|θ-θ0|<+∞.(10)故ρ(θ)必然与y-轴交于2点(0,y1)和(0,y2),且y1·y2<0.2)当λ=μ0时,易知θ=arctan(-r*)是方程(5)唯一的特殊方向.考虑(5)的轨道等价系统dxdt=m|y|psgny+μ0G(x)p/(p+1),dydt=-g(x),x≥0.令h(y)=m|y|psgny,F(x)=-μ0G(x)p/(p+1),取ψ(x)=-[m1/p(1+1p)G(x)]p/(p+1),则F(x)<ψ(x)<0,且∫x0g(ξ)F(ξ)-ψ(ξ)dξ=-1p[m(1+1p)p]1/(p+1)∫x0G(ξ)-pp+1dG(ξ)=-(-ψ(x)m)1/p=h-1(ψ(x)m).由文献定理2.4知结论成立.先考虑右半平面的各条性质,结论如下.定理11)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤m|y|psgny,F(x)≥-λG(x)p/(1+p)(x≫1),则(E)具有性质(H+);2)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤-m|y|p,F(x)≥-λG(x)p/(1+p)(y<0,x≪1),则(E)不具有性质(Z-4);3)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥myp,F(x)≤λG(x)p/(1+p)(0<x,y≪1),则(E)不具有性质(Z+1);4)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥m|y|psgny,F(x)≤-μ0G(x)p/(1+p)(x≫1),则(E)不具有性质(H+);5)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥-m|y|p,F(x)≤-μ0G(x)p/(1+p)(y<0,x≪1),则(E)具有性质(Z-4);6)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤myp,F(x)≥μ0G(x)p/(1+p)(0<x,y≪1),则(E)具有性质(Z+1).证明作Filippov变换.令z=G(x)(x≥0),其反函数记为x=x1(z).于是系统(E)等价为dzdy=F1(z)-h(y),z∈(0,G(+∞)).(11)结论1)、2)的证明.引入如下的辅助方程和辅助曲线:dzdy=-λzp/(p+1)-m|y|psgny,(12)Γ+={(z,y):F1(z)=h(y)},Γ+1={(z,y):F1(z)=m|y|psgny},Γ2+={(z,y):-λzp/(p+1)=m|y|psgny}.在结论1)的假设下,存在z0≫1使得当z≥z0时有F1(z)≥-λzp/(p+1).于是在以z轴作为水平方向,y轴作为纵方向的坐标系下,当z≥z0时曲线Γ2+位于Γ1+的下方,进而Γ2+位于Γ+的下方.任取满足h(y)>F(x)(x>0)的点P(x,y),如果系统(E)从P点出发的正半轨O+(E)(P)不与直线z=z0相交,则由向量场知其必然与Γ+相交,从而结论成立.若O+(E)(P)与z=z0相交于点P1,则由引理1知方程(12)从P1出发的正半轨O+(12)(P1)必然经过Γ+后与Γ2+相交.因为当z≥z0时,有dzdy|(E)=F1(z)-h(y)≥-λG(x)p/(p+1)-m|y|psgny=dzdy|(12),由比较定理知O+(E)(P1)位于O+(12)(P1)的左侧,从而必然与Γ+相交,即结论1)成立.往证结论2).在结论2)的假设下,存在δ>0使得F1(z)≥-λzp/(p+1),z∈(0,δ),从而当z∈(0,δ)时Γ+位于Γ2+的上方.用反证法.若结论不成立,则存在P0(z0,y0)∈Γ+(z0∈(0,δ/2)),使得O-(E)(P0)仅通过第四象限趋于原点.注意到沿着轨道y严格递增,由比较定理知对于相同的y,O-(12)(P0)位于O-(E)(P0)的左边.故O-(12)(P0)仅通过第四象限趋于原点.另一方面,由引理1知O-(12)(P0)与正半y-轴相交.这个矛盾说明反证法的假设不成立,故结论2)成立.结论4)、5)的证明.考虑辅助方程和辅助曲线dzdy=-μ0zp/(p+1)-m|y|psgny,z∈(0,G(+∞)),(13)˜Γ+={(z,y):-μ0zp/(p+1)=m|y|psgny(y<0)}.在结论4)的假设下,存在z0≫1使得F1(z)≤-μ0zp/(p+1),z≥z0,从而当z≥z0时曲线˜Γ+位于Γ+的上方.由引理1的2)知方程(13)有一条永远位于˜Γ+上方的积分曲线.记此积分曲线与z=z0的交点为P(z0,y0).于是,当z>z0时,dzdy|(E)=F1(z)-h(y)≤-μ0G(x)p/(p+1)-m|y|psgny=dzdy|(13).从而由比较定理知O+(E)(P0)位于O+(13)(P0)的上方,当然不可能与Γ+相交,即系统(E)不具有性质(H+),结论4)成立.往证结论5).在结论5)的假设下,存在δ>0使得F1(z)≤-μ0zp/(p+1),z∈(0,δ),从而当z∈(0,δ)时˜Γ+位于Γ+的上方.由引理1的2)知,方程(13)从点Ρ(z0,y0)∈˜Γ+出发的正半轨仅通过第四象限趋于原点,其中z0=δ/2.因为当z∈(0,δ),有dzdy|(E)≤-μ0G(x)p/(p+1)-m|y|psgny=dzdy|(13).于是系统(E)从点P1(z0,y1)∈Γ+出发的正半轨O+(E)(P1)也仅通过第四象限趋于原点,即结论5)成立.对于结论3)、6),通过分别选取辅助方程dzdy=λzp/(p+1)-m|y|psgny以及dzdy=μ0zp/(p+1)-m|y|psgny,和应用比较定理类似可以证明,从略.类似于定理1,可以研究左半平面的各条性质,结论如下.定理21)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥m|y|psgny,F(x)≤λG(x)p/(1+p)((-x)≫1),则(E)具有性质(H-);2)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥m|y|psgny,F(x)≤λG(x)p/(1+p)(0<(-x)≪1),则(E)不具有(Z-2);3)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤m|y|psgny,F(x)≥-λG(x)p/(1+p)(0<(-x)≪1),则(E)不具有(Z+3);4)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤m|y|psgny,F(x)≥μ0G(x)p/(1+p)((-x)≫1),则(E)不具有(H-);5)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≤m|y|psgny,F(x)≥μ0G(x)p/(1+p)(0<(-x)≪1),则系统(E)具有性质(Z-2);6)若∃m,p>0及λ∈[0,μ0),使得h(y)≥m|y|psgny,F(x)≤-μ0G(x)p/(1+p)(0<(-x)≪1),则(E)具有(Z+3);其中μ0由(*)定义.例1考虑系统˙x=hi(y)+Η(x),˙y=-d|x|psgnx,i=1,2,(14)其中Η(x)={axp,若x≥0;-b|x|p,若x<0;a,b,c,d,p