2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-1直线与直线平行 学案

8.5.1直线与直线平行【学习目标】(1)理解并掌握基本事实4，并会应用其解决相关直线与直线平行问题．(2)理解等角定理，并会应用其解决有关问题．题型1基本事实4【问题探究1】动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系，并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立．例1如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.一题多变将本例的条件改为“若M，N分别是A′D′，C′D′的中点”，求证：四边形ACNM是梯形．学霸笔记：用基本事实4证明直线a∥c时，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，进而由基本事实4即可得到a∥c.跟踪训练1如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．题型2等角定理【问题探究2】观察长方体A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？再观察长方体A1B1C1D1-ABCD，∠D1A1B1与∠DAB的两边分别具有什么关系，两角大小关系如何？例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.学霸笔记：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．跟踪训练2如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.随堂练习1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．课堂小结1.基本事实4及其应用．2．等角定理及其应用．8．5.1直线与直线平行问题探究1提示：平行，成立．例1证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE＝B′E′.∵BE∥B′E′，∴四边形EBB′E′是平行四边形，∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.一题多变证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝12A′C′因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝12AC又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．跟踪训练1证明：(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝12AC所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形．(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝12BD因为EF＝12AC，AC＝BD，所以EH＝EF又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．问题探究2提示：∠D1A1B1与∠B1C1D1的两边分别平行，两角大小互补．∠D1A1B1与∠DAB的两边分别平行，两角大小相等．例2证明：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綉C1B1.而C1B1綉BC，∴F1M綉BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．∴BM∥CF1.又∵BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.跟踪训练2证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN綉C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP.又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.[随堂练习]1．解析：如图，当∠AOB＝∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行．故选D.答案：D2．解析：由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1.所以共有4条．故选B.答案：B3．解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，