马尔科夫链在舰艇生命评估中的应用

马尔科夫链在舰艇生命评估中的应用

0多次打击评估的意义“船生命力”是指船在受到武器袭击和事故破坏后受损后，能够继续履行其导航和作战任务的能力。对舰艇生命力进行评估就是在假定的作战环境中对舰艇承受打击的能力进行量化分析。目前,国内的生命力评估主要以一次打击为重点,多次打击评估尚处在摸索阶段。但是,由于高技术条件下的现代海战具有立体全方位特点,决定了舰艇在战争中受到的打击必然是持续多次的。一次打击评估虽然可以在一定程度上可以反映出舰艇的生命力水平,但是却反映不出舰艇生命力的全貌。因此,研究和开展多次打击评估具有十分重要的意义。依照常规的思路,多次打击评估可在一次打击评估的基础上进行,即:将每一次打击看作独立的过程,在一次打击后舰艇损伤的基础上,再进行一次打击评估,如此反复即可得出多次打击评估结果。但当打击次数增多时,使用这种方法计算量将呈指数增加,使评估变得难以进行。考虑到舰艇受到打击的时间是离散的,损伤情况也是离散的,且每次打击是独立的、无后效的过程,是一个马尔科夫链,故可用马尔科夫链的相关理论来解决多次打击问题。本文从尔科夫链的相关理论入手,详细阐明多次打击评估的理论依据,给出基本思路,并在结论部分以实例加以验证。1tm之际状态的时间码和tm之际的时间码无明确的关系马尔科夫过程是具有无后效性的随机过程。所谓无后效性是指:tm时刻的状态已知时,过程在大于tm的时刻t的状态只与tm时刻的状态有关,而与tm时刻以前的状态无关。马尔科夫链是时间离散、状态离散的马尔科夫过程,简称马氏链。1.1马尔科夫链lje定义:设随机序列{X(n),n=0,1,2,...}的离散状态空间为E(E={1,2,...}或{1,2,...N}),若对于任意m个非负整数n1,n2,...,nm(0≤n1<n2<...<nm)和任意个自然数k,以及任意i1,i2,...,im,j∈E,满足P{X(nm+k)=j|X(n1)=i1,X(n2)=i2,...,X(nm)=im}=P{X(nm+k)=j|X(nm)=im}(1)则称{X(n),n=0,1,2,...}为马尔科夫链。式(1)中,如果nm表示现在时刻,n1,n2...,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻,则此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im,而与过去m-1个时刻n1,n2,...nm-1所处的状态无关。1.2阶段状态转移概率式(1)右边的条件概率形式P{X(n+k)=j|X(n)=i},k≥1称为马氏链在n时刻的k步转移概率,记为pij(n,n+k)。转移概率表示已知n时刻处于状态i,经k个单位时间后过程处于状态j的概率。转移概率pij(n,n+k)是不依赖于n的马尔科夫链,称为时齐马尔科夫链。这种马尔科夫链的状态转移概率仅与转移出发状态i、转移步数k、转移到达状态j有关,而与转移的起始时刻n无关。此时,k步转移概率可记为pij(k),即Pij(k)=Pij(n,n+k)=P{X(n+k)=j|X(n)=i},k≥1(2)当k=1时,pij(1)称为一步转移概率,简记为pij。此时pij=p{X(n+1)=j|X(n)=i},显然一步转移概率具有下列两个性质:(1)0≤Pij≤1,i,j=1,2,...(有限个或无限个);(2)∑j(2)∑jPij=1,i=1,2,...。对有限状态空间E={1,2,...,N},有限状态空间的一步转移概率可写成矩阵形式如下:Ρ=[p11p12⋯p1Νp21p22⋯p2Ν⋮⋮⋮⋮pΝ1pΝ2⋯pΝΝ](3)P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢p11p21⋮pN1p12p22⋮pN2⋯⋯⋮⋯p1Np2N⋮pNN⎤⎦⎥⎥⎥⎥(3)式(3)称为一步转移概率矩阵。由一步转移概率性质可见,P中的所有元素都是非负的,且每一行元素之和等于1。1.3n步转移概率矩阵式(2)中,当k≥2时称为高阶转移概率,记为pij(n)。参照式(3),有限状态空间的高阶转移概率也可写成矩阵形式:Ρ(n)=[p11(n)p12(n)⋯p1Ν(n)p21(n)p22(n)⋯p2Ν(n)⋮⋮⋮⋮pΝ1(n)pΝ2(n)⋯pΝΝ(n)](4)P(n)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢p11(n)p21(n)⋮pN1(n)p12(n)p22(n)⋮pN2(n)⋯⋯⋮⋯p1N(n)p2N(n)⋮pNN(n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(4)P(n)称为n步转移概率矩阵。显然有0≤Pij(n)≤1,i,j=1,2,…(有限个或无限个)和∑j∑jPij(n)=1,i=1,2,…。1.4切普曼-柯尔莫哥掳函数方程ij=12马尔科夫链的转移概率之间有以下关系:设n=k+l,k≥1,l≥1,则Ρij(n)=Ρij(k+l)=∑rΡir(k)Ρrj(l)i‚j=1‚2‚⋯(5)Pij(n)=Pij(k+l)=∑rPir(k)Prj(l)i‚j=1‚2‚⋯(5)这就是切普曼-柯尔莫哥洛夫方程。这个方程的直观意义是:要想由i状态出发经k+l步到达j状态,必须先经k步到达任意状态r,然后再经l步转移到j状态。将(5)式表示成矩阵形式:P(k+l)=P(k)P(l)。当取k=1,l=1时,得P(2)=P(1)P(1)=[P(1)]2;当取k=2,l=1时,得P(3)=P(2)P(1)=[P(1)]3。一般地有:Ρ(n)=[Ρ(1)]n(6)P(n)=[P(1)]n(6)此式表明,n步转移概率矩阵等于n个一步转移概率矩阵的乘积。由此可见,n步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵获得。因此,在马尔科夫链中,一步转移概率矩阵是最基本的,它完全确定链的状态转移的统计规律。1.5初始概率分布c马尔科夫链在初始时刻(即零时刻)处于各种状态的概率分布:Ρi(0)=Ρ{X(0)=i}‚(i=1‚2‚...)Pi(0)=P{X(0)=i}‚(i=1‚2‚...)称作它的初始概率分布。显然有:Pi(0)≥0(i=1,2,...),∑i∑iPi(0)=1。特殊地,马尔科夫链在零时刻由确定的状态i0出发,此时有:Pi0(0)=1,Pj(0)=0(j≠i0)。马尔科夫链在第n(n≥0)时刻取各状态的概率分布Pi(n)=P{X(n)=i},i=1,2,…称为它在n时刻的绝对概率分布。当n=0时,绝对概率分布变为初始概率分布。显然有:Ρi(n)≥0(i=1‚2‚...)‚∑iΡi(n)=1Pi(n)≥0(i=1‚2‚...)‚∑iPi(n)=1利用全概率公式可得:Ρ{X(n)=j}=∑iΡ{X(0)=i}Ρ{X(n)=j|X(0)=i}P{X(n)=j}=∑iP{X(0)=i}P{X(n)=j|X(0)=i}即∶Ρ(n)j=∑iΡi(0)Ρij(n)(7)即∶P(n)j=∑iPi(0)Pij(n)(7)此式表明在n时刻绝对概率分布完全由初始概率分布和n步转移概率所确定。2多次打击的计算过程经以上理论分析,结合舰艇生命力评估可以发现:评估中,第n,(n>1)次打击后舰艇损伤情况只与第n-1次打击后舰艇的状态有关,而与以前的打击无关,故多次打击过程具有无后效性,是马尔科夫过程;同时,舰艇遭受打击的时间是离散的,舰艇的损伤情况也是离散的,故多次打击过程是一个马氏链。生命力评估时通常按《舰船生命力大纲》的要求,将舰艇遭受打击后的损伤划分为4个等级,即:A级:击毁损伤,完全丧失生命力;B级:严重损伤,基本丧失生命力;C级:中等损伤,部分丧失生命力;D级:轻微损伤,基本未丧失生命力。因此多次打击过程是一个有限状态(四状态)马尔科夫链。状态空间记为E,E={A,B,C,D}。当受到一次打击后,舰艇的损伤状态发生转移,损伤由状态i(i∈E)转向状态j(j∈E)的概率组成的矩阵P(1),我们称之为损伤一步转移概率矩阵。P(1)的形式如下:Ρ(1)=[pDDpDCpDBpDA0pCCpCBpCA00pBBpBA000pAA]P(1)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢pDD000pDCpCC00pDBpCBpBB0pDApCApBApAA⎤⎦⎥⎥⎥⎥除具备一步转移概率矩阵的两个性质外,P(1)还具有上三角阵的特点(因为不考虑战场抢修时,损伤转移具有由低到高的不可逆性)。舰艇受到n次打击后的损伤n步转移概率矩阵P(n)可写成如下形式:Ρ(1)=[pDD(n)pDC(n)pDB(n)pDA(n)0pCC(n)pCB(n)pCA(n)00pBB(n)pBA(n)000pAA(n)]P(1)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢pDD(n)000pDC(n)pCC(n)00pDB(n)pCB(n)pBB(n)0pDA(n)pCA(n)pBA(n)pAA(n)⎤⎦⎥⎥⎥⎥由切普曼-柯尔莫哥洛夫方程,P(n)=[P(1)]n,即损伤n步转移概率矩阵可由损伤一步转移概率矩阵获得。进行多次打击计算实际上就是要求我们计算出受到n次打击后舰艇处于某一损伤等级的概率Pj(n)(j∈E),由式(7)可知:Ρj(n)=∑iΡi(0)Ρij(n)‚(i‚j∈E)Pj(n)=∑iPi(0)Pij(n)‚(i‚j∈E)。这就意味着:在已知初始状态的情况下,要计算舰艇受到n次打击后处于某一损伤等级的概率必须要求出舰艇的n步转移概率矩阵P(n),而P(n)=[P(1)]n,至此,多次打击问题最后归结为求一步转移概率矩阵的问题。若要得到一步转移概率矩阵,必须求出矩阵中的每一个元素Pij,(i,j∈E)。在计算Pij时我们采用了统计试射法(即蒙特卡洛法)和数据库技术,思路是:已知预定武器的命中散布,采用蒙特卡洛法模拟二次打击(第二次打击的模拟建立在第一次打击后舰艇发生损伤的基础上)。首先,将第一次打击和第二次打击后舰艇的损伤情况分别存入数据库,并进行比对;然后,根据比对结果,将损伤由状态i(i∈E)转向状态j(j∈E)统计次数也存入数据库并累加;最后将状态i(i∈E)转向状态j(j∈E)累加次数除以模拟次数,即可得出损伤一步转移概率矩阵。作者以VisualC++6.0为开发平台,以某船电力系统为例,编制了导弹攻击仿真程序,得到舰艇的损伤一步转移概率矩阵如下:Ρ(1)=[0.4870.3720.1010.0400.4060.3850.209000.510.490001]P(1)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢0.4870000.3720.406000.1010.3850.5100.040.2090.491⎤⎦⎥⎥⎥⎥进而可计算出高阶转移概率矩阵P(n),取P(n)的第一行元素组成见表1。可以发现:随着打击次数的增多,作战