第一章 复变函数和解析函数

数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根12/15/20231教材及指导书

一、教材：

胡嗣柱等编著，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，2002年7月二、主要的参考书：于涛等编《数学物理方法知识要点与习题解析》，哈尔滨工程大学出版社，2007年6月成绩测定：作业20%＋上课出席参与10%＋考试70%联系方式：zyx@答疑教室：钱伟长楼220室12/15/20232课程讲授计划第一章复变函数和解析函数（4）第二章复变函数积分柯西定理和柯西公式（4）第三章复变函数级数泰勒维数和洛朗级数（6）第五章定积分的计算（2）第七章傅里叶变换（6）第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8）第九章数学物理方程的定解问题（4）第十章行波法和分离变量法本征值问题（8）第十一章积分变换法（4）第十二章球坐标下的分离变量法（6）第十三章柱坐标下的分离变量法Bessel函数（4）12/15/20233上篇复变函数论复变函数论（theoryofcomplexfunctions）的目的：

把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。12/15/20234主要内容:

1

复变函数和解析函数

2复变函数积分柯西定理和柯西公式

3

复变函数级数泰勒级数和洛朗级数等

4解析函数（自学）

5定积分的计算

6δ函数其余拉普拉斯变换的内容（自学）

7傅立叶变换和色散

8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数12/15/20235第一章复变函数和解析函数虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。12/15/20236目的与要求：掌握复变函数的基本概念和复函数可导必要条件、掌握解析函数的概念、函数解析的充要条件、复势的概念。教学重点：柯西-黎曼条件、复变函数解析的充要条件；教学难点：柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、复变函数解析的充要条件学习要求与内容提要12/15/20237莱昂哈德·保罗·欧拉（LeonhardPaulEuler，1707年4月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式，例如函数的记法"f(x)"，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”12/15/202381.0问题的提出负数有对数吗？Bernoulli：负数的对数是实数Leibniz：不可能有负数的对数只对正数成立Euler：

在1747年指出差一特殊的数1740年，Euler给Bernoulli的信中说：和是同一个微分方程的解，因此应该相等1743年，发表了Euler公式Euler把作为特殊的数ln(-x)与ln(x)间存在联系吗？12/15/20239

(1).复数的代数形式对虚数单位的规定:1.1复数的基本概念显然，此方程在实数集中是无解的。1。

2考虑解方程：-=x为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单位.1复数及其代数运算i2=–1欧拉公式方程的解:12/15/202310定义i-虚数单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=y实部记做：Rez=x{}

称为为复数集,,|RyxiyxzzCÎ+==.

,,

为复数称对于iyxzRyx+=Î"

;

,

0

,0

称为纯虚数时当iyzyx=¹=

.

,0

,

0

xixzy我们把它看作实数时当+==说明：12/15/202311

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.

复数

z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说:设：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!12/15/202312（2）复平面表示与复数三角式复数的矢量表示法

复数z=x+iy由一对有序实数（x,y）唯一确定。所以可以用平面上的一个点（x,y）或一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。oxyxyP(x,y)

由图：那么复数（复矢量）可以表示为复数的三角表示式12/15/202313显然由复数的复平面表示，有下列各式成立

复矢量的长度OP称为复数的模或绝对值如图：oxyP(x,y)xy

.

arg

,

,

,

0

=¹zzoPzz记作的幅角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在12/15/202314说明幅角不确定.,0有无穷多个幅角任何一个复数¹z

,是其中一个幅角如果的全部幅角为那么

z

).(

π2arg为任意整数kkz+=

,0

,

0

,==zz时当特殊地oxyP(x,y)xy

0幅角主值的定义:在z(≠0)的幅角中，把位于０<<2π的称为argz的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系

).(

π2arg为任意整数kkz+=12/15/202315由复数的三角函数表示式利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式(3)复数的指数函数表示ln(-x)与ln(x)间的联系12/15/202316设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减z1±

z2=(x1+iy1)

±

(x2+i

y2)

=(x1±

x2)+i(y1±

y2)（4）复数的运算规则(注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)乘法两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加12/15/202317除法两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减n次幂n次根幂逼近12/15/202318共轭共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例1.1解结论：两个共轭复数的积是实数.的积与计算共轭复数yixzyixz-=+=

,

的zz共轭复数记为.

,

iyxziyxz-=+=则若注意:12/15/202319共轭复数的性质:以上各式证明略.12/15/202320例1.2

某化工厂计划修建两个深度相同的方池，甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲池大1立方米。问方池的深度应为多少？解：设方池的深度为x。按设计要求有令代入上述方程有：其根为从而12/15/202321指数函数ex在实数域，我们已熟悉下列初等函数1.2

复变函数及其导数柯西—黎曼条件.,2cos.,2sin余弦函数正弦函数称为称为ixixixixeexieex--+=-=三角函数.cossintan正切函数称为xxx=

双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲正弦函数称为称为xxxxeexeex--+=-=12/15/202322(1)初等解析函数：指数函数这里的ex是实指数函数实的正、余弦函数.)sin(cos.的指数函数为称设zyiyeeiyxzxz+=+=定义

1

复变函数及其导数.,2cos.,2sin余弦函数正弦函数定义称为称为izizizizeezieez--+=-=三角函数12/15/202323.cossintan正切函数称为zzz=

例1.3

解方程解12/15/202324双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲正弦函数定义称为称为zzzzeezeez--+=-=有理整函数(多项式)有理分式函数在复平面内分母不为零的点是连续的.

,

)(

)(

都是多项式和其中zQzP

;

都是连续的对复平面内的所有点z12/15/202325对数函数称为对数函数lnz的主值。而.

,

,

的一个分支称为可确定一个单值函数对于每一个固定的zkln对数函数定义为：;ln

是一个无穷多值的复变函数z12/15/202326幂函数定义

设α是任意复数，z的幂函数定义为.0,0,==aazz时补充规定是正实数时当;,lnln.,

ln的主值称为幂函数时取主值当是一个无穷多值函数一般说来aaaazezzzzz=注意12/15/202327例1.4解由z的幂函数定义12/15/202328例1.5解12/15/202329

定义：当z=x+iy在复平面上变化时，如果对应于z的每一个值，都有一个或几个复数值w与之对应。则称w为z的复变函数,记作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)（2）复变量函数一个复变函数可以用两个二元实函数表示.12/15/202330(3)复数的导数定义记为：12/15/202331{})(

).()()]([)6(zgwzgwfzgf=¢¢=¢其中求导公式与法则:

.

,0)()1(为复常数其中cc=¢

.,)()2(1为正整数其中nnzznn-=¢

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.12/15/202332高等数学知道，函数可导的要求是沿任何方向的极限都存在并唯一。2.柯西—黎曼条件（复变函数可导必要条件）0实数如图实变函数可导要求：x沿实轴x的正负方向逼近x0零时，根限存在！回顾：实变函数可导定义：12/15/202333复变函数可导仍是：沿任何方向的极限都存在并唯一。复变函数f(z)：

z是沿任一曲线逼近零。然而复变函数f(z)的自变量不再仅沿某一直线变化而是在某一平面内变化，所以：因此，复变函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。是否存在复函数可导必须满足的基本条件？复数Δzz012/15/202334

z沿实轴→0,

y0

假设：f(z)在z点可导.

下面分析

z分别沿平行于实轴（

y0）和平行于虚轴（

x0）趋于零的特殊情况：柯西—黎曼条件z012/15/202335柯西—黎曼条件或C-R条件由于f(z)在z点可导，要求沿不同方向的极限相等可导必要条件

z沿虚轴→0,

x0z012/15/202336定理若存在且连续，则f(z

)可导的充要条件是f(z

)满足柯西—黎曼条件。证：由于偏导数连续，根据偏导数的定义,二元函数u

和υ的增量可分别写为随着则复变函数可导的充要条件12/15/202337柯西—黎曼条件这一极限是与的方式无关的有限值，所以f(z)可导。导数定义式注意:除zn,z1/n,lnz等多值函数外，单值初等函数在复平面上几乎处处可导.12/15/202338可导函数的复共轭函数不一定可导。例1.6

讨论复函数w=x+iy和其复共轭w'=x-iy的可导性解:不满足柯西—黎曼条件12/15/202339

1.复变函数可导必要条件：柯西—黎曼条件；

2.复变函数可导的充要条件：若存在且连续，则f(z

)可导的充要条件是f(z

)满足柯西—黎曼条件。本讲小结与思考

3.除zn,z1/n,lnz等多值函数外，单值初等函数在复平面上几乎处处可导,可导函数的复共轭函数不一定可导.12/15/2023401.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作业12/15/2023411区域

邻域定义：如图，由不等式(δ为任意的正数)所确定的平面点集(简称点集)，称为以z0为中心的δ邻域或邻域。

所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。类似于实变函数，下面介绍对应于复变函数的：邻域、内点，外点，边界点和开集等概念。

由实变函数的理论我们知道，函数的定义域是一个满足一定条件的平面点集，我们称之为区域D。邻域而称如图所示不等式1.3

解析函数12/15/202342z0设E为点集（如图），z0为E中的一点。则：内点：如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于点集E，则称z0为E的内点；外点：若点z0的某一个邻域内的点都不属于点集E，则称点z0为E的外点。边界点：若在点z0的任意一个邻域内，既有属于点集E

的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界点，点集E的全部边界点称为E的边界。

注意

区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。开集：

若点集E的点皆为内点，则称E为开集。内点外点PE12/15/202343区域定义：点集E称为一个区域D，如果它满足：

(1)E是一个开集；

(2)E是连通的，就是说E中任何两点z1和z2都可以用完全属于E的一条折线连接起来。

通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域D加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为.D-区域内点12/15/202344单连通域与多连通域设D为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于D

，则称D为单连通区域，否则称为多连通区域。单连通域多连通域12/15/2023452解析函数的概念

若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数说明：1.解析与可导不等价

函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然但是在区域D内解析的函数则其解析性与可导等价.

例：函数只在z=0点可导，在z=0的邻域内不可导，因而不解析12/15/2023462.称函数的不解析点为奇点f(z)在点z0

无定义或无确定值；f(z)在点z0

不连续；f(z)在点z0

不可导；f(z)在点z0

可导,但找不到在其内处处可导的邻域。3.解析函数的充分必要条件设函数f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

在区域D内解析当且仅当：(1)实部和虚部在D内每一点可导；(2)实部和虚部在D内每一点满足柯西—黎曼条件12/15/202347例1.7判断下列函数在何处可导,在何处解析:解（1）

因为u=excos

y,υ=exsin

y,柯西-黎曼条件成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有

f'(z)=exp(x)(cos

y+isin

y)=f(z)这个函数就是指数函数ez.12/15/202348(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,所以在复平面内任何地方都不解析.12/15/202349由上述讨论可知，既然f(z)在区域D内解析，则存在且连续，其实部和虚部皆可导。由此我们可以利用柯西－黎曼条件由解析函数的u或υ部分构建出一个解析函数。3解析函数的应用从区域内固定一点（x0,y0）到(x,y)积分上式有同理，C为任意常数

12/15/20235012/15/202351

根据C-R条件

积分路径选为，则得到

根据条件，故得..12/15/202352我们知道在区域D内，解析函数f(z)的实部u(x,y)和虚部υ(x,y)满足柯西－黎曼条件，即§1.6

解析函数的物理解释复势得出1调和函数上式左边分别对x和y求偏导数12/15/202353定义称方程为拉普拉斯方程.满足此拉普拉斯方程的函数称为调和函数.同理得无源、无旋标量场，例如，静电场、温度场和流场等，它们的势满足拉普拉斯方程。上面分析表示，解析函数的实部和虚部都是二维调和函数。我们称解析函数的实部和虚部为共轭调和函数12/15/2023542解析函数的实部和虚部的梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函数的实部和虚部之梯度是相互正交的。我们要问：解析函数的上述性质在物理学研究中有何应用价值？12/15/202355例１.９

解有12/15/20235612/15/202357

由电磁学可以知道：（1）静电场电势满足拉普拉斯方程

3平面静电场的复势（3）由图可知：静电场的等势线族（方向沿等势面切线方向）和电力线族（方向沿电场方向）是