2023年贵州省从江县高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=J5sin2x-2cos2x+l,将/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标保持不变;

再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x)g(w)=9,则归-到的值可能为()

57r3兀_7171

A.—B.—C.—D.一

4423

2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是().

A.收入最高值与收入最低值的比是3:1

B.结余最高的月份是7月份

C.1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为4()万元

3.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的

用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()

A.10B.50C.60D.140

4.已知集合时={*|-1VXV2},N={x\x(x+3)<0},则MCN=()

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

5.在三棱锥D—ABC中，AB=BC=CD^DA^1,且C£)的中点,

下面四个结论：

①ACLBO；

②MN//平面ABD；

③三棱锥A-CMN的体积的最大值为正；

12

④AO与8。一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

6.若tana='，则cos2a=（）

2

4343

A.一一B.--C.-

5555

7.函数y=cos2x—gsin2x%e0,1］）的单调递增区间是（）

8.函数/•（%）=皿+三咨'在［―2乃,0）u（0,2加上的图象大致为（）

x20

9.陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视

C.（10+40）兀D.（11+40）兀

22

10.若双曲线--二=1的焦距为4君，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

4m2

A.2B.4C.MD.2M

11.a?+/=I是asin8+Z?cos8W1恒成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2x+y—2<0

12.已知xj满足不等式组卜-2丁-140,则点P（x,y）所在区域的面积是（）

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若a+bwO,则/+从+厂一三的最小值为.

14.根据如图所示的伪代码，输出/的值为.

S-1

-I

WhileSW9

S-S♦/

/I+2

EndWhile

Print/

15.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线C4、C8围成一个三角形养殖区ACB.为了便于管理，在线段

之间有一观察站点用，M到直线8C,C4的距离分别为8百米、1百米，则观察点M到点A、3距离之和的

最小值为百米.

.......

J-------i—^4

16.在直三棱柱ABC-A4G内有一个与其各面都相切的球0“同时在三棱柱ABC-A4G外有一个外接球。2.若

AB±BC,AB=3,BC=4,则球。2的表面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列仅“｝,其前”项和为S“，满足q=2,其中〃..2,〃eN*，2,〃£艮

⑴若2=0,〃=4,b“=a”+「2a”（〃eN*），求证：数列他J是等比数列；

⑵若数列伍“｝是等比数列，求4,〃的值；

3

⑶若4=3,且2+〃=],求证：数列仅“｝是等差数列.

18.（12分）如图，焦点在x轴上的椭圆G与焦点在）’轴上的椭圆C?都过点"（0,1）,中心都在坐标原点，且椭圆a

与C,的离心率均为正.

2

（I）求椭圆G与椭圆G的标准方程；

（D）过点M的互相垂直的两直线分别与G，G交于点A，B（点4、8不同于点M）,当AM46的面积取最大值

时，求两直线MA,M3斜率的比值.

1

尤=aH-Z,

2

19.(12分)在直角坐标系X。)，中，点P的坐标为(a,6。)，直线/的参数方程为_「a为参数，a为

y=6a+1

常数，且。＞0).以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐

标系，圆C的极坐标方程为夕=2.设点p在圆外.

(1)求”的取值范围.

(2)设直线/与圆C相交于A,B两点，若|P4|=|A3|,求。的值.

37r

20.（12分）在平面四边形ABCD中，已知NA8C=——，ABLAD,AB=1.

4

(1)若AC=5,求AABC的面积；

n/c

(2)若克〃/。4。=望,4。=4,求。。的长.

21.(12分)如图所示，在四棱锥P-A3C。中，底面ABC。为正方形，PA1AB，P4=6,AB=S,PD=10,

N为尸C的中点，尸为棱3C上的一点.

(1)证明：面以面ABC。；

(2)当户为8C中点时，求二面角A—桥—C余弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=]x2-x(lnx-6-l),

(1)当人=-1时，讨论函数“X)的零点个数；

(2)若/(X)在(0,+纥)上单调递增，且ewe?"*"求c的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数v=/(x)的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数y=g(x)的解析式为

g(x)=2sin(4x-£j+l,可得函数y=g(x)的值域为,结合条件g(xj.g(x2)=9,可得出g(xj、g(x2)

均为函数y=g(x)的最大值，于是得出门一目为函数y=g(x)最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.

【详解】

函数"X)=V3sin2x-2cos2x+1=Gsin2x-cos2x=2sin(2x-^],

将函数y=的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的g倍，得y=2sin的图象；

再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g(x)=2sin(以-讣1的图象，易知函数y=g(x)的值域为.

若g(王)送(工2)=9,则g(玉)=3且g(%)=3,均为函数y=g(x)的最大值,

由4x-?=5+2%乃(左wZ),解得x=+g(攵eZ)；

其中王、z是三角函数y=g(x)最高点的横坐标，

・••归―々I的值为函数y=g(x)的最小正周期T的整数倍，且丁二号=].故选C.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定g(%)、g(±)均为

函数y=g(x)的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

2.D

【解析】

由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1,故A项正确；

结余最高为7月份，为80—20=60,故B项正确；

1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确；

前6个月的平均收入为-(40+60+30+30+50+60)=45万元，故D项错误.

6

综上，故选D.

3.C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为(0.05+001)x5=0.3,即分层抽样的50户中有0.3x50=15

户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为1|x200=60,故选C

4.C

【解析】

先化简N={x|x(x+3)<0}={x|-3^r<0},再根据M={x|-1VxV2},求两集合的交集.

【详解】

因为N={x|x(x+3)<0}={x|-3<x<0},

又因为M={K-1VXV2},

所以MCIN={M-1〈烂0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.D

【解析】

①通过证明AC，平面OB。，证得AC，60；②通过证明MN//6O,证得MN//平面加；③求得三棱锥

A-CMN体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得A£>与3c一定不垂直.

【详解】

设AC的中点为。，连接则ACLQB,AC1OD,又。80。。=。，所以AC_L平面O8D,所以

ACVBD,故①正确；因为MN/iBD,所以MN//平面的>,故②正确；当平面D4c与平面A8C垂直时，VA_CMN

最大，最大值为匕M匕，”=故③错误；若A。与垂直，又因为AB_L8C,所以BCL

A-“CMN=N-AI.M34448

平面河，所以XBD1AC,所以BOL平面ABC，所以即_LQB,因为OB=OD,所以显然BD

与08不可能垂直，故④正确.

故选：D

D

B

【点睛】

本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，

属于中档题.

6.D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.

【详解】

1

Vtana=—,

2

「I

ccos2a-sin2a1-tan2aA3

—=——y=一，

:.cos2a=——-----------—=---------

cosa+sin«1+tana|+£5

4

故选D

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化

能力，属于基础题型.

7.D

【解析】

利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.

【详解】

2

因为y=cos2x-V3sin2x-2sin(--2x)=-2sin(2x-—),由工+2Z/rW2x-工W3+2左肛ZGZ,解得

66262

TT57r7157r

一+k兀二+k兀，keZ,即函数的增区间为[一+攵匹一+br]McZ,所以当左=0时，增区间的一个子集为

3636

故选D.

【点睛】

本题考查了辅助角公式，考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使

问题化繁为简，难度较易.

8.A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，/(-X)=包(>)+(?>:一(二X)=蛔+正。吐=/•(%),故函数/(X)为偶函数，图象关于)‘轴

-%20x20

对称，排除C；

jr-jr-

而/(»)=一.<0,排除B；/(2%)=彳>0,排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

9.C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，

【详解】

由题意可知几何体的直观图如图：

/—、

上部是底面半径为1,高为3的圆柱，下部是底面半径为2,高为2的圆锥,

几何体的表面积为：4"+』x47x2血+2%x3=（10+4夜）％,

2

故选：C

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

10.B

【解析】

根据焦距即可求得参数〃?，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

22

因为双曲线c：工-匕=1的焦距为4vL

4nr

故可得4+/”2=（26），解得加2=16,不妨取zn=4；

又焦点产（2石,0）,其中一条渐近线为y=-2x,

由点到直线的距离公式即可求的d=Ml=4.

V5

故选：B.

【点睛】

本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

11.A

【解析】

a-cosa

设｛=z>asin0+Z?cos=sincosa+cos0sina=sin(0+a)<i成立；反之，a=〃=0满足

h=s\na

但/+〃。］,故选

asin0+bcos0<lf2A.

12.C

【解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图:

y

0(0,C(o,2),忸〃=白，|BC|=6所以阴影部分面积忸.忸:.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V2

【解析】

由基本不等式，可得到/+/=("—+价)+(。一+")e。一+"+2ab=(a+")-，然后利用

222

a2+b2+―二2段也+—二,可得到最小值，要注意等号取得的条件。

(a+b)22(a+b)2V2

【详解】

由题意，自+从=.(《+尸)+叵+•)»且+〃+2ab=("+")2,当且仅当a=/；时等号成立，

222

所以。2+从+—丝出+―J，2、［=血，当且仅当位答7v■时取等号,

(a+b)223+份2\22(a+b)-

所以当0=8=2^时，/+〃+而&取得最小值0,

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件。

14.7

【解析】

表示初值S=l,i=l,分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.

【详解】

5=1,1=1

第一次循环：5=1+1=2,/=1+2=3；

第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循环：5=5+5=10,1=5+2=7；

S=10>9,循环结束，输出：i=7.

故答案为：7

【点睛】

本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.

15.5亚

【解析】

建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段AB的长度，最后利用导数来求函数最小值.

【详解】

以C为原点，CA,CB所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则M(8,l).设直线-1=以%—8),即

y=Ax+l—83贝！］A—8%),

,1—8Z八

---------->0

所以jk,所以k<0,

1一84>0

4笈=(-r)+(1-弘)2=//)(%<0),

贝！（火）=（1一8Q2（1+，）（火＜0）,

贝！］/也）=2（1-8Qx（—8）x［1+.）+（1—8Z）2X（-2）X+

-2（1-8攵）（8K+1）—2（1—8左）（2%+1）（4公一2左+1）

一丞_P'

当xe1—8,-g）时，f'（x）＜0,则.f（x）单调递减，当xe（一；,o］时，/&）＞0,则f（x）单调递增，

所以当时，AB最短，此时48=5布.

故答案为：575

【点睛】

本题考查导数的实际应用，属于中档题.

16.29〃

【解析】

先求出球。I的半径，再求出球。2的半径，即得球。2的表面积.

【详解】

解：,/AB_LBC,AB=3,BC-4

・•.AC2=AB2+BC\

/.AC=5,

设球。1的半径为广，由题得L（3r+"+5r）='x3x4,「"=1

22

所以棱柱的侧棱为2r=2.

由题得棱柱外接球的直径为历手=烟，所以外接球的半径为;我，

所以球02的表面积为4万•（g回了=29».

故答案为：29〃

【点睛】

本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）见解析（2）A=L4=0（3）见解析

【解析】

试题分析：⑴S“=4a,i（〃22）,所以2=2%,故数列也｝是等比数列；（2）利用特殊值法，得4=1,4=1,

1*2、

故;1=1,〃=0；⑶得4=5，〃=1,所以Sa得（〃一1）4用一（〃一2）4一24_]=0,可证数列｛“"｝

是等差数列.

试题解析：

⑴证明:若『=0,〃=4,则当S“=4《I（〃22）,

所以a"+i=S*「S“=4（a„-«„_!）,

即a“+i-2a“=2（a”一2qi）,

所以=2b,i,

又由4=2,4+%=4%,

得%=3q=6,a2—2〃]=2w0,即2w0,

所以3=2,

故数列也｝是等比数列.

（2）若｛为｝是等比数列，设其公比为4（440）,

当〃=2时，S2=2Aa2+juc^,即4+。2=24g，得

1+q=2九q+〃，①

当〃=3时，S3=3Aa3+jLia2,即q+2+/=34%+〃2，得

]+g+q2=3丸,2，②

当〃=4时，54=4Aa4+,即4+%+/+%=42%+〃/，得

3

]+g+q2+g3=4/l^+pq2,③

②-①x。，得1=刖2,

③@*q,得1=沏3,

解得4=1,4=1.

代入①式，得〃=o.

此时S“=〃。“(〃22),

所以a“=q=2,｛凡｝是公比为1的等比数歹!J,

故丸=1,〃=0.

(3)证明：若出=3,由q+g=24。2+〃％，得5=62+2〃，

31

又％+〃=/,解得4=2，4=1.

由4=2,%=3,4=g，〃=1，代入S.=得a?=4,

所以4,%，生成等差数列，

,„n3门n+1

由S〃=5a„+a,i,得S„+1=an+l+an,

aa

两式相减得：an+l=f^\-W；+a,,—%

即(〃-l)a.+i-(〃一2)%-2%=。

所以〃a”+2一(〃-1)4+1-2q,=0

相减得：nan+2-2(/?-l)an+l+(/i-2)a/1-2an+2an_i=0

所以〃(为+2-2a,用+qj+2(%+|-2a„+。，一)=0

222

所以(4+2—2%+1+4)=——(—2a,+4_|)=—~-(«„-2%_|+4一2)

nnyn—\j

(-2)"一

=……=-7~—2%+%),

因为q_2a2+。=0,所以a„+2-2an+l+a„=0,

即数列｛风｝是等差数列.

2_

18.(1)—+/=],-V+Tx=1(2)9^^

448

【解析】

分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得

相应的参数，从而求得椭圆的方程；

(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S

表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.

详解：(I)依题意得对C"b=l,6=走=>02=3=竺3,得a：—+/=ls

24a14-

2

2X_

同理>+T=L

4

(II)设直线M4,MB的斜率分别为即k2,则MA：y=ktx+l,与椭圆方程联立得：

'2

—+y2=1―，8kl—4k}+1

4)0炉9+4(4/+1)2-4=0,得(4婷+D2+8^X=0,得,所以

,1X4kl+14kl+1

A(-禹,甯)

.所以砺=(-品，普)M=-2k-2k1

同理可得62

、4+&2，4+&2,

从而可以求得S=g防_2修—2七-8%;1161k2他-左）

-2（4婷+1“4+修）因为后/2=T，

4匕？+14+小4+e2%+1

8化+婷k+1（3一4jP一9小1

所以——!

‘不妨

4婷+1一

/化)=0,：.—4婷—9婷+1=0,婷二婀二9,所以当s最大时，)2=婀二9,此时两直线MA,MB斜率的比

88

值?=_好=吃咨.

点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点

即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在

研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.

19.(1)(1,+<»)(2)3

【解析】

(1)首先将曲线C化为直角坐标方程，由点在圆外，则/+(、&『>4解得即可；

(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程，设A、3对应的参数分别为小与，列出韦达定理，由;F4|=|A向及尸在

圆C的上方，得一4=4一。2,即。2=24即可解得；

【详解】

解：（1）曲线C的直角坐标方程为V+y2=4.

由点P在圆C外，得点P的坐标为/+（疯）＞4,结合。＞0,解得4＞1.

故”的取值范围是（1，+8）.

（2）由直线的参数方程，得直线/过点尸6。），倾斜角为2，

将直线/的参数方程代入/+丁=4,并整理得

/+4W+4a2-4=0，其中A=16＞0.

设A、B对应的参数分别为，"2，则4+/2=-4。，格=4/—4.

由|E4|=|AB|及P在圆C的上方，得乜=4-弓，即&=2八，代入①，得：=-f，d=2/_2,

C4/7V

消去4,得［一:J=2/一2,结合。＞1,解得a=3.

故”的值是3.

【点睛】

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程f的几何意义的应用，属于中档题.

20.（1）-；（2）713.

2

【解析】

（1）在三角形ABC中，利用余弦定理列方程，解方程求得8c的长，进而由三角形的面积公式求得三角形ABC的

面积.

（2）利用诱导公式求得cosN84C,进而求得sin/BAC,利用两角差的正弦公式，求得sin/BC4,在三角形ABC

中利用正弦定理求得AC,在三角形ACD中利用余弦定理求得CD的长.

【详解】

（1）在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

5=l+BC2+V2BC^BC2+V25C-4=0»

解得BC=五,

q-ABBCsinZABC=-xlxyf2x

22v-2

2R

(2)v/BAD=900,s%NG4。二手

cosNBAC=sinZCAD=^-,sinZBAC=—

55

sinZBCA=sin(--ZBAC号(cosABAC-sinZBAC)=[

14

ACAB

在△ABC中,

sinZABCsinZBCA，

…AB-sinZABCrz

・•・AC=------------=V5.

sinNBCA

：.CD2=AC2+AD2-2AC-ADcosZCAD=5+\6-2xy/5x4x—=13•

5

CD=V13

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

21.（1）证明见解析；（2）-上叵.

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【解析】

（1）要证明面%F_L面ABC。，只需证明PA_L面ABCD即可；

U

（2）以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为X,Z轴建系，分别计算出面AN产法向量勺，面PBC的法

UU

向量％,再利用公式计算即可.

【详解】

证明：（1）因为底面ABC。为正方形，所以A£>=AB=8

又因为24=6,P£>=10,满足P/f+Ao?=p02,

所以Q4LAD

又2_LA8,ADu面ABCD,ABIffiABCD,

ABcAD=A,

所以~4_1面438.

又因为PAu面%F，所以，面面ABCD.

(2)由(1)知AB，AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD,AP分别为',》，z轴建系如图所示,

则A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,£＞（0,8,0）则N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以通=（8,4,0）,丽=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

—,、n,•AF-08x,+4y,=0

设面ATVF法向量为勺=a，y,zj,则由〈一e八得/cc，

、7[/?,AN=0[4%+4y+34=0

33一（33、

令z=i得x=a，=--＞即〃।=丘，-5』）；

同理，设面P