第五章 测量误差的基本知识

工程测量学中国海洋大学2023/12/15第五章测量误差的基本知识§5.1观测误差概述§5.2衡量精度的标准§5.3算术平均值及观测值的中误差§5.4误差传播定律§5.1观测误差的分类S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m理论上：∠A+∠B+∠C=180

实测中：A+∠B+∠C≠180理论上：h1+h2+h3+h4=0实测中：h1+h2+h3+h4≠05.1.1观测误差观测误差指被观测对象的观测值与真实值或理论值间的差值。一般用符号△表示。即：

△=L观–X真（或X理）例如：

角度测量—

三角形的闭合差：

W=

∠A+∠B+∠C–180O

高程测量—

闭合水准线路的高差闭合差：

fh=Σhi5.1.2观测误差产生的原因观测条件

（1）测量仪器：水准仪、经纬仪等（2）观测者：人—

作业员（3）外界条件：风、温度、日照等

观测误差5.1.2观测误差产生的原因

仪器带来的钢尺量距——刻划线刻划不均匀水准测量——i角误差5.1.2观测误差产生的原因

观测人员水准测量

水准尺上读数

1591

?中丝读数：1592?1593?5.1.2观测误差产生的原因

环境的影响照准目标大气折光5.1.2观测误差产生的原因

产生的原因-----观测条件

测量仪器：仪器构造上无法达到理论上的要求；

观测者：人的感官上的局限性、操作技能等；

外界条件：观测时所处的外界环境；

如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等。测量中，我们将观测时的人、仪器和环境统称为观测条件；观测条件变了观测成果的质量也就不一样了。5.1.3观测误差的种类及其处理原则系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。

偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。

粗差：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。5.1.3观测误差的种类及其处理原则

钢尺量距

系统误差的特点及解决办法5.1.3观测误差的种类及其处理原则水准测量——i角误差

系统误差的特点及解决办法5.1.3观测误差的种类及其处理原则偶然误差水准读数

假若：此水准尺的中丝读数的真值：1592第一次估读：1591第二次：1591？

1592？

1593？第三次：？5.1.3观测误差的种类及其处理原则多余观测

测量中为防止错误出现和提高测量精度，一般需要对观测量（对象）采取多次（或重复）观测，或除观测必要的观测量外，还需观测与必要观测量有几何关系或函数关系的其他观测量，用作对观测量的检核。因此，把重复观测值或与必要观测量有几何关系或函数关系的其他观测量称之为多余观测。关于高斯的介绍高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)，德国数学家、天文学家、物理学家、大地测量学家。1787年高斯10岁解答了数学老师提出的级数问题。1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(LawofQuadraticReciprocity)、质数分布定理(primenumertheorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometricmean)。

1795年，他进入德国著名的哥丁根大学，1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克。名声从1802年起就已开始传遍欧洲，1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授。1807年，高斯赴哥丁根就职哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。“最伟大的三位（或四位）数学家之一”（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。

5.1.4偶然误差的特性例：在相同的观测条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角。△ｉ＝

∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180

误差分布表本课程假定：

含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正：

如：加改正数、采取适当的观测措施等。因此，在观测误差中，仅含偶然误差，或是偶然误差占主导地位5.1.4偶然误差的特性

通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数n足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;-----限值特性（2）绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大;-----小误差大概率特性（3）绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等;-----等值等概率特性

（4）当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零.-----均值零特性5.1.4偶然误差的特性直方图5.1.4偶然误差的特性误差分布曲线

观测次数n

→∞2）|Δ|

↘，f(Δ)↗；当Δ=0时；f(Δ)有最大值；

Δ→±∞

时，f(Δ)→0，1）f(Δ)是偶函数；f(-Δ)=f(Δ)§5.2衡量精度的标准5.2.1精度概念：是指一组观测值误差分布的密集或离散的程度。准确度：指观测值与真值的接近程度。

精度好，说明观测值误差分布得越密集,但这并不等价于观测值离真值就越接近只说明了观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。

同精度、不同精度：

观测条件是否相同

5.2.2衡量精度的指标方差

f(Δ)二阶导数等于零时，可求得曲线拐点Δ拐=±σ;

当

Δ拐=±σ愈大时，曲线愈平缓，小误差出现的个数较少且分布较分散；当Δ拐=±σ

愈小时，曲线愈陡峭，小误差出现的个数越多越集中。

可见，参数σ的值表征了误差扩散的特征,可衡量观测质量。5.2.2衡量精度的指标方差

观测次数n

→∞

方差↘，精度↗；方差↗，精度↘1、标准差

观测次数n

→∞

误差曲线的：±σ=Δ拐2、中误差

观测次数n

→

有限个数

标准差σ的估值m为中误差

在相同的观测条件下进行的一组观测称为等精度观测；等精度观测值具有相同的中误差。5.2.2衡量精度的指标

方差：标准差——中误差例1：对某三角形采用两种不同的精度分别进行了10次观测，三角形内角和的观测误差（闭合差）如下，求出两组三角形闭合差的中误差。第一组：+3，-2，-4，+2，0，

-4，+3，+2，-3，-1，第二组：0，-1，-7，+2，+1，

+1，-8，0，+3，-1

在计算中误差m时应取2-3位有效数字，并在数值前冠以"±"号，数值后写上“单位”。5.2.2衡量精度的指标

极限误差（限差）——容许误差

根据误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在以下区间的概率分别为：

P（-σ＜Δ＜+σ）≈68.3%

P（-2σ＜Δ＜+2σ）≈95.5%

P（-3σ＜Δ＜+3σ）≈99.7%

大于三倍标准差的观测误差Δ出现的概率只有0.3%，是小概率事件。通常将2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差，即：Δ限=2σ5.2.2衡量精度的指标

相对误差

例2：线段AB的长度为10m,线段CD的长度为100m，均丈量两次，两次丈量值的差值分别为：

ΔAB=10㎝；ΔCD=20㎝,那条线段丈量的精度好？

相对误差等于误差的绝对值与相应观测值之比。5.2.2衡量精度的指标

相对误差例3:丈量两段距离：L1=1000m；

L2=80m，中误差分别为:

m1=±20mm，

m2=±20mm，那条线段丈量的精度好？

相对中误差，它是中误差绝对值与观测值之比。§5.3算术平均值及观测值的中误差

5.3.1算术平均值及其中误差

算术平均值

设在相同的观测条件下，对未知量观测了n次，观测值为L1，L2，…Ln，求该未知量的最佳值？

Δi=Li－X；（i=1，2，3，…，n，

X为未知量的真值）令：

x称之为观测值Li的算术平均值，又称为最或然值。

5.3.1算术平均值及其中误差

算术平均值的中误差

同精度条件下，对观测值Li有：m1=m2=…=mn

=m,求mx

?算术平均值的中误差为观测值中误差的倍。5.3.2观测值的改正数改正数

算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数。一般用小写字母v表示。改正数的特性5.3.3由改正数计算中误差同精度条件下，计算中误差

5.3.3由改正数计算中误差

例4：对某段距离同精度测量了4次，四次丈量值分别为：

25.066m,25.068m,25.056m,25.062m；试求该段距离的最或然值、观测值中误差及最或然值中误差。次序观测值l/m改正数v/mmvv/mm计算:m,mx125.066-39225.068-525325.056+749425.062+11∑x=25.0630.084§5.4误差传播定律

5.4.1概述定义

是阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。用途

可根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。例如

5.4.2误差传播定律

传播定律问题：设有一般函数：Z=f（x1，x2，…xm）式中

xi为独立观测值，其中误差为

mi，（i=1，2，…m），求z的中误差？前提：在推导和运用误差除传播定律时，函数中的自变量

——

观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。

推导思想：函数Z的误差Δz与观测值xi的误差Δi间的关系可由全微分的形式来表达。5.4.2误差传播定律公式推导5.4.3误差传播定律的几个特例

倍数关系

5.4.3误差传播定律的几个特例和差关系5.4.3误差传播定律的几个特例一般线性关系5.4.4误差传播定律的几个特例1.观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。

2.两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。

3.k个观测值代数和的中误差平方，等于k个观测值中误差的平方和。

4.k个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数k的平方根成正比。注意：观测值必须是独立观测值。5.4.5误差传播定律题例

例5：如右图，由A点求B的坐标值，观测值为角度β和距离S，且已知测角中误差mβ,测距中误差mS，已知点A的坐标值无误差，则B点的坐标精度

mx、my?5.4.5误差传播定律题例-—例5：计算步骤1.列出函数式：

Z=f（x1，x2，…xn）2.对函数式求导，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式。3.写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式。5.4.6同精度条件下，计算中误差的几种方法

由真误差计算中误差

Δi=Li-X（i=1，2，3，…，n）例5：在相同条件下，共观测了24个三角形每个内角，由观测值算得各三角形的角度闭合差如下（单位秒）：-2.7，-0.6，+3.2，-1.9，+3.0，+1.7，+2.5，-0.8，-0.3，+2.6，-1.4，-0.1，+1.4，-0.6，-2.0，+3.6，+0.5，+1.2，-2.7，-0.6，+1.3，+1.5，-1.3，-0.8。

试计算每个三角形闭合差的中误差mω和测角中误差mβ。5.4.7同精度条件下，中误差的计算由双观测值的差数计算中误差

di=

L1i

-L2i

（i=1，2，3，…，n）例6：对8条边作等精度双次观测，结果如下。取每条边的算术平均值为该边的最或然值，求观测值中误差和最或然值中误差。编号：12345678

L1：