3 2复数乘除运算三角表示及其几何意义

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RJA7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义【目标认知】课程标准学业要求了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1.了解复数三角表示乘、除运算的运算法则,并能够进行简单的运算.2.了解复数三角表示的几何意义,并能够进行简单的应用知识点一

复数三角形式的乘法运算及其几何意义1.复数三角形式的乘法运算如果z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=

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这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]课前预习

θ2|θ2|r2课前预习图7-3-2

×课前预习√[解析]∵z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2-isinθ2)=r2[cos(-θ2)+isin(-θ2)],∴z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

课前预习

课前预习θ2|θ2|图7-3-3

课前预习√√1.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.当推广到n个复数相乘的时候,可得z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…θn)-isin(θ1+θ2+…θn)],特别地,复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍,这个定理就是棣莫弗定理.备课素材2.两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差,其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.3.利用复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形、平行四边形顶点间的几何关系都可利用复数的乘除运算来表示.4.复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘(乘方),相除及乘除混合运算等问题.备课素材

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[素养小结]对于两个(或多个)复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用乘法运算法则.

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[素养小结]对于两个复数的除法运算,一定要注意其表示形式,符合三角形式才可以使用除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.课中探究

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1-i

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图7-3-4

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1.复数模的性质:|z1·z2|=|z1|·|z2|.2.辐角的性质:积的辐角等于各因数辐角的和;商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差;一个复数n次幂(n∈N*)的辐角等于这个复数辐角的n倍.注意:(1)辐角与辐角的主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题:若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值.(α+β∈(3π,4π)),若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值.备课素材(2)两个复数乘积的辐角的主值不一定等于两个辐角的主值的和,