单开链中运动影响系数的矩阵表示

单开链中运动影响系数的矩阵表示

通过对机器人机构的深入研究，我们发现联合机器人具有高贵、低能耗、刚性、负载能力强、传输简单、动态性能好等优点，并且易于控制。因此，国内外科学家对空间联合机器人感兴趣，正在研究其新机型、运动学和动态特征，并将它们应用到实际应用中。联合机器人机构的运动学研究主要包括布局、速度和加速度的分析。传统的过程是通过各种方法建立了机构位置方程，并通过迫害来获得机构的速度和加速度。然而，一般来说，联合机构的位置很难直接理解，因此很难获得一阶导数和二阶导数。影响系数法只弥补了其不足。影响系数法不需要任何操作流程。它与体的运动参数（如速度和加速度）无关，而是与体的大小、体的类型和位置有关，即体的形状。它仅包含向量或向量的交叉操作，计算简单，因此在机构分析中具有广阔的应用前景。笔者在文献的基础上将运动影响系数法在并联机构运动分析中的应用系统化,利用本文所得的结论,可进行各种并联机构运动及特殊位形等的分析.1单链访问链soc的影响系数1.1运动速度及参数如图1所示,按坐标系前置方法建立各连杆坐标系,Zi沿运动副轴线方向,其单位矢量用Si表示;Xi沿相邻两轴线公法线方向,单位矢量用ai表示;相邻公法线间沿Si的偏距用di表示;公法线长度用ai表示;扭向角用αi表示;转角用θi表示.对单自由度运动副,di和θi中只有一个是变量,另一个是常量.固定坐标系XYZ的Z轴取S1方向,XY平面垂直于S1方向.杆件i的绝对角速度ωi可写成其中˙θθ˙n是绕转动副轴线Sn的相对角速度.若将式(1)写成式中Giϕ称为杆i的一阶转动影响系数,˙ϕϕ˙称为广义速度矢量,第n个分量为˙ϕnϕ˙n,可以是˙θnθ˙n或˙SS˙n,这决定于第n个运动副是转动副还是移运动副.综合式(1)、式(2),得描述构件的速度特性除了用ωi以外,还需在构件上任选一参考点P,得出其线速度vP.假设在杆件i上任选一点P,则P点对固定坐标系的矢径为Ρ=d1S1+i∑r=2(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)(4)其中Ti为连杆坐标系与固定坐标系方向之间的转动变换矩阵,P(i)为P点对连杆坐标系的矢径.将式(4)对时间求导,得P点的速度由固联于动坐标系上的矢量r,其导数有关系式=ω×r,则式(5)又可写成其中i∑r=n+1(a(r-1)a(r-1)+drSr)+ΤiΡ(i)=Ρ-RnRn表示第n动坐标系原点对固定坐标系的矢径.于是式(6)变成vΡ=i∑n=1[˙dnSn+˙θnSn×(Ρ-Rn)](7)把vP写成vΡ=GΡϕ˙ϕ(8)式中GPϕ即为一阶移动影响系数,综合式(7)、式(8),得[GΡϕ]n={Sn×(Ρ-Rn)n≤i‚n为R副Snn≤i‚n为Ρ副(?9?)0n＞i定义杆件i的运动速度矢量VH={ωivp}T,综合式(3)及式(9),得VΗ={ωivΡ}Τ=[GiϕGΡϕ]Τ˙ϕ(10)或VΗ=GΗϕ˙ϕ(11)显然,GHϕ=[GiϕGPϕ]T一般情况下GHϕ为非奇异,于是有˙ϕ=[GΗϕ]-1VΗ(12)1.2阶移动影响系数对式(2)微分就可得到构件i的角加速度εi=ddt(Giϕ)˙ϕ+Giϕ⋅⋅ϕ(13)由式(3)得ddt([Giϕ]n)={˙Snn≤i,n为R副0其他情况(14)因为˙Sn可写成˙Sn=˙ϕ1∂Sn∂ϕ1+˙ϕ2∂Sn∂ϕ2+⋯+˙ϕn∂Sn∂ϕn=˙ϕΤ[∂Sn∂ϕ1∂Sn∂ϕ2⋯∂Sn∂ϕn]Τ所以式(13)可写成εi=˙ϕΤ[∂S1∂ϕ1∂S2∂ϕ1⋯∂Sn∂ϕ10∂S2∂ϕ2⋯∂Sn∂ϕ200⋮00⋯∂Sn∂ϕn]n×n˙ϕ+Giϕ⋅⋅ϕ(15)记上式中n×n矩阵为Hiϕϕ,即称杆i的二阶转动影响系数,且有较简单的形式如下:[Ηiϕϕ]mn={Sm×Snm＜n‚m、n为R副0其他情况(16)至于二阶移动影响系数,可直接对式(9)微分,并仿照角加速度的分析过程,最后得到二阶移动影响系数也有其简单形式:[ΗΡϕϕ]mn={Sm×[Sn×(Ρ-Rn)]m≤n≤jm、n为R副Sn×[Sm×(Ρ-Rm)]n＜m≤jm、n为R副Sm×Snm≤n≤jm为R副‚n为Ρ副Sn×Smn＜m≤jm为Ρ副‚n为R副0其他情况(17)杆件i上任选点P的加速度aP也可写成aΡ=˙ϕΤΗΡϕϕ˙ϕ+GΡϕ⋅⋅ϕ(18)定义杆件i的加速度矢量为AH={εiaP}T,综合式(15)、式(18),AH可表示为AΗ={εiaΡ}=˙ϕΤΗΗϕϕ˙ϕ+GΗϕ⋅⋅ϕ(19)其中HHϕϕ=[HiϕϕHPϕϕ]T若给定杆件i的加速度矢量AH,可反求各主运动副的加速度,即⋅⋅ϕ=[GΗϕ]-1(AΗ-˙ϕΤΗΗϕϕ˙ϕ)(20)从上述一阶、二阶运动影响系数的形式,明显可知,只要某一时刻的机构位置已知,就可直接写出与之对应的一阶、二阶运动影响系数,进而分析其速度和加速度.2执行器的运动分析并联机器人机构与单开链(SOC)机构有着较为密切的联系,并联机构可以看成是多个单开链的末端连接到同一个执行器上,因此它的运动分析可仿照单开链(SOC)机构的分析方法,不失一般性,若并联机构有6个分支,每个分支为6个回转副的6自由度机构,其运动分析过程如下.2.1主动运动方程当已知上平台运动,各分支中运动副的运动可以按式(12)写出˙ϕ(r)=[GΗϕ]-1(r)VΗr=1,2,⋯,6(21)式中r表示分支序号.建立在并联机构的一个分支上的矩阵GΗϕ,与单开链(SOC)机构的式(11)有相同的形式,称拟影响系数矩阵.从上式中将6个主动运动的方程分别取出,形如˙ϕ(r)α=[GΗϕ]-1(r)αVΗ式中˙ϕ(r)α的上角标表示分支序号,下角标表示输入角速度所在分支中运动副的序号;表达式[GΗϕ]-1(r)α表示第r分支的逆阵[GΗϕ]-1的第α行.将6个主动运动的线性方程组合成一个矩阵表达式,形如˙q=GqΗVΗ(22)式中q是独立的广义坐标;˙q是含6个输入角速度的列矢,称广义速度.式(22)的逆解为VΗ=GΗq˙q(23)其中GΗq=[GqΗ]-1,称对广义坐标的一阶影响系数矩阵.式(23)成立的条件是GqΗ为非奇异阵.若把式(23)代入式(21),还可得到每一分支中各运动副速度与广义速度的关系˙ϕ(r)=[GΗϕ]-1(r)GΗq˙q=[gϕq](r)˙q(24)显然[gϕq](r)=[GΗϕ]-1(r)GΗqr=1,2,…,6(25)2.2阶影响系数矩阵法对于并联多支路机构,当已知上平台运动,任何一分支皆有形如式(20)的关系,可以写得⋅⋅ϕ(r)=[GΗϕ]-1(r){AΗ-˙ϕΤ(r)[ΗΗϕϕ](r)˙ϕ(r)}r=1,2,⋯,6(26)当6个输入主动副的相对加速度已知,可将表示已知的输入加速度的解析式单独地分别写出,形如⋅⋅ϕ(r)α=[GΗϕ]-1(r)α{AΗ-˙ϕΤ(r)[ΗΗϕϕ](r)˙ϕ(r)}(27)式中⋅⋅ϕ(r)α表示第r分支上第α个主动副的相对角加速度,将行阵[GΗϕ]-1(r)α乘进矩阵[HHϕϕ](r)之内,并由式(24)的关系,将式(27)化简并归并为一个矩阵表达式⋅⋅q=GqΗAΗ-[˙qΤ[L1](1)˙q˙qΤ[L1](2)˙q⋮˙qΤ[L1](6)˙q](28)式中⋅⋅q是广义输入角加速度,矩阵[L1](r)为[L1](r)=[gϕq]Τ(r)[{[GΗϕ]-1α}ΤΗΗϕϕ](r)[gqϕ](r)r=1,2,⋯,6(29)式中{[GΗϕ]-1α}ΤΗΗϕϕ表示以六维列矢{[GΗϕ]-1α}Τ乘矩阵HΗϕϕ的每一元素构成的矩阵.将式(28)进一步简化为⋅⋅q=GqΗAΗ-˙qΤΜ˙q(30)[Μ]mn={[L1](1)mn[L1](2)mn⋯[L1](6)mn}Τ当已知输入角加速度,求平台加速度时AΗ=GΗ