2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案7.5《空间向量及其应用》 (原卷版)

页第五节空间向量及其应用第1课时系统知识牢基础——空间向量及其应用知识点一空间向量的概念及有关定理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．[重温经典]1．若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共线C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线D．O，A，B，C四点共面2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))，则x，y的值分别为()A．1,1B．1，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)，13．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，则下列等式成立的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b﹣eq\f(1,2)cB．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c﹣aC．eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)b﹣eq\f(1,4)c﹣eq\f(3,4)aD．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))表示eq\o(OC1,\s\up7(→))，则eq\o(OC1,\s\up7(→))＝________________.5.如图所示，在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.7.给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0.其中为真命题的是________(填序号)．知识点二两个向量的数量积及其运算1．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是[0，π]，若a，b＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角a，b(a≠0，b≠0)cosa，b＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))[重温经典]1．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))的值为()A．﹣1B．0C．1D．22.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|eq\o(PC,\s\up7(→))|等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．1443．已知a＝(1,2，﹣2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．4．已知a＝(2,3,1)，b＝(﹣4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.5．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a﹣b的夹角是________．6．如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．知识点三空间中的平行与垂直的向量表示1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[重温经典]1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(﹣1,1,1)B．(1，﹣1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，﹣3，z)，向量v＝(3，﹣2,1)与平面α平行，则z等于()A．3B．6C．﹣9D．93．平面α的一个法向量为(1,2，﹣2)，平面β的一个法向量为(﹣2，﹣4，k)．若α∥β，则k等于()A．2B．﹣4C．4D．﹣24．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(﹣3,1，﹣4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．6．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.知识点四利用空间向量求空间角1．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))的夹角，如图a.(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α­l­β为θ或π﹣θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图b，c.[重温经典]1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，cosm，n＝﹣eq\f(1,2)，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,5)4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．第2课时精研题型明考向——利用空间向量求空间角一、真题集中研究——明考情1.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A­EF­A1的正弦值．2．如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B­CG­A的大小．[把脉考情]常规角度1.求异面直线所成的角：以棱柱、棱锥等简单几何体为载体，考查应用定义法或向量法求两异面直线所成的角．2.求直线与平面所成的角：以棱柱、棱锥或不规则的几何体为载体，与线、面位置关系的证明相结合，考查直线与平面所成的角的求法．3.求二面角：以棱柱、棱锥或不规则的几何体为载体，与线面位置关系的证明相结合，考查二面角的求法创新角度求空间角常与立体几何中的翻折问题、探索性问题等交汇命题二、题型精细研究——提素养题型一异面直线所成的角[典例]在各棱长均相等的直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与NB所成角的正切值为()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(2),2)[方法技巧]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．[针对训练]若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为eq\r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°题型二直线与平面所成的角[典例]如图，在三棱台ABC­DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．[方法技巧]解答直线与平面所成角的问题，通常建立空间直角坐标系，然后转化为向量运算求解，具体方法为：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|n·e|,|n||e|).[针对训练]一副标准的三角板(如图1)中，∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，DE＝EF，BC＝DF.把BC与DF重合，拼成一个三棱锥(如图2)，设M是AC的中点，N是BC的中点．(1)求证：平面ABC⊥平面EMN；(2)若AC＝4，二面角E­BC­A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值．题型三二面角[典例]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq\f(\r(6),6)DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B­PC­E的余弦值．[方法技巧]利用向量法解二面角问题的策略找法向量法分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小找与棱垂直的方向向量法分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小[提醒]两平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系为相等或互补，所以，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．[针对训练]请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为eq\f(π,6)，③∠ABC＝eq\f(π,3).如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PGC？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若________，求二面角F­AC­D的余弦值．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为()A．120°B．30°C．90°D．60°2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)3．(多选)已知四边形ABCD为正方形GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是()A．DE⊥BFB．EF与CH所成角为eq\f(π,3)C．EC⊥平面DBFD．BF与平面ACFE所成角为eq\f(π,4)4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为eq\r(3)，点C到平面ABB1A1的距离为2eq\r(3)，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为________．6.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________.7．试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P­ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若______，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A­PB­C的余弦值．8.如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，且AD＝2AB＝2BC＝2，∠BAD＝90°，△PAD为等边三角形，平面ABCD⊥平面PAD，点E，M分别为PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAB；(2)求直线DM与平面ABM所成角的正弦值．9.如图，在圆柱W中，点O1，O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上(异于点N，F)，点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.(1)若平面FNH⊥平面NHG，求证：NG⊥FH；(2)若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于eq\f(\r(15),5)，求证：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于eq\f(π,3).10.如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．第3课时难点专攻夺高分——立体几何的综合性问题题型一翻折问题[典例]如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，BC＝3，AD＝15，BE＝3eq\r(3).把△ABE沿BE折起，使得AC＝6eq\r(2)，得到四棱锥A­BCDE.如图2所示．(1)求证：平面ACE⊥平面ABD；(2)求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．[方法技巧]翻折问题的2个解题策略确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算[针对训练]1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)求证：AE⊥PB；(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求二面角A­PE­C的平面角的余弦值．2．如图，在直角梯形AO1O2C中，AO1∥CO2，AO1⊥O1O2，O1O2＝4，CO2＝2，AO1＝4，点B是线段O1O2的中点，将△ABO1，△BCO2分别沿AB，BC向上折起，使O1，O2重合于点O，得到三棱锥O­ABC.试在三棱锥O­ABC中，(1)证明：平面AOB⊥平面BOC；(2)求直线OC与平面ABC所成角的正弦值．题型二探索性问题考法(一)空间角的存在性问题[例1]如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点．(1)求证：平面BDF⊥平面ACE；(2)若2AE＝EB，判断在线段AE上是否存在一点P，使得二面角P­DB­F的余弦值的绝对值为eq\f(\r(10),10).并说明理由．eq\a\vs4\al([方法技巧])存在性问题的解题策略借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．考法(二)线面关系中的存在性问题[例2]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段OD1上的一点．(1)若E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．(2)是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不存在，请说明理由．eq\a\vs4\al([方法技巧])解决线面关系中存在性问题的策略对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用向量法进行线面关系的逻辑推理，寻找假设满足的数据或事实，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设．[针对训练]1.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD.(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于eq\f(2,5)？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．2.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是eq\r(3)，D是AC的中点．(1)求二面角A1­BD­A的大小．(2)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．题型三空间向量与最值相结合[典例]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝eq\f(π,2)，PA＝AD＝2，AB