专训13.3.1.2 三线合一的计算+证明-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训13.3.1.2三线合一的计算+证明一、单选题1．下面是教师出示的作图题．已知：线段，，小明用如图所示的方法作，使，上的高．作法：①作射线，以点为圆心、※为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心、△为半径画弧，两弧交于点，；③作直线，交于点；④以点为圆心、为半径在上方画孤，交直线于点，连接，．对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（）A．※代表“线段的长” B．△代表“任意长”C．△代表“大于的长” D．代表“线段的长”【答案】B【分析】根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的三线合一的性质进行解答即可．【详解】解：正确作法如下：①作射线，以点为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点，；③作直线，交于点；④以点为圆心、线段的长为半径在上方画孤，交直线于点，连接，．故选B．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的三线合一的性质作图，理解题意并灵活运用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的三线合一的性质成为解答本题的关键．2．己知：等腰．求作：一点O，使点O到三边的距离相等．小明的作法是：（1）作的平分线；（2）作边的垂直平分线；（3）直线与射线交于O，点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作的平分线；（2）作的平分线；（3）射线与射线交于点O，点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法．下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对 B．小丽对，小明不对C．两人都对 D．两人都不对【答案】C【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，则可得三角形角平分线的交点到三角形三边的距离，所以只要作△ABC任两个内角的角平分线，其交点O便是所求作的点．【详解】小明的作法正确．∵AB=AC，由作法知，GH垂直平分BC∴∠BAC的角平分线在直线GH上∴O点是△ABC的两内角平分线的交点根据角平分线的性质定理知，点O到△ABC三边的距离相等小丽的作法正确小丽作的是△ABC的两内角平分线，根据角平分线的性质定理知，其交点O到△ABC三边的距离相等故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、用尺规作图作角平分线和线段的垂直平分线等知识，关键是清楚等腰三角形三线合一的性质，顶点的平分线也垂直平分底边．3．如图，中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE=DH，然后根据等积法可进行求解．【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，DE＝2，∴DE=DH=2，∵，∴，∴；故选A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．4．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放．它们一组较短的直角边分别在，上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，交边于点D，则下列结论错误的是（）A．平分 B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】先根据角平分线的判定定理得到BP平分∠ABC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到AD=DC，BD垂直平分AC，进而即可求解．【详解】解：如图．由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，∴BP平分∠ABC，∵AB=BC，∴AD=DC，BD垂直平分AC，故选项A、B、C正确，不符合题意；只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质．5．如图，在中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AD的三等分点，若的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得到，，利用三角形面积公式得到，所以图中阴影部分的面积．【详解】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴，，∴（同底等高的三角形面积相等），∴图中阴影部分的面积（cm2）．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，利用和的面积相等是解题的关键．6．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由作图和等腰三角形的性质可知，CF平分∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．【详解】解：根据作图痕迹知，是的垂线，∵，∴是等腰三角形，∴是的垂直平分线．即平分．∵，∴，∴．【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．如图，在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP=AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC=6，则BD的长为()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据尺规作图的痕迹以及等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：由作图过程可知射线AD为∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=CD，∴BD=BC=×6=3，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，发现射线AD为∠BAC的平分线是解题的关键．8．如图，在中，，，是的中线，且，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，即可求解.【详解】∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=60°=30°，∵DF//AB∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.9．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中，正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【详解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∵内角与外角的平分线相交于点，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=(AC•PN)：(AB•PM)=AC：AB；故②正确；∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；∵PG//AD，∴∠FPC=∠DCP，∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正确．故选：D．【点睛】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解答本题的关键．10．如图是等腰的顶角的平分线，E点在上，F点在上，且平分，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先证明△AED≌△AFE，利用等式的性质可得EB=CF，再利用全等三角形的性质可得∠EDA=∠FDA，根据等腰三角形三线合一可得∠ADB=∠ADC=90°，根据等角的余角相等可得∠BDE=∠CDF，根据等角的补角相等可得∠BED=∠CFD，条件无法证明∠BDE=∠DAE．【详解】解：∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，∴∠EAD=∠FAD，AB=AC，∵AD平分∠EDF，∴∠EDA=∠FDA，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFE（ASA），∴AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴EB=FC，故A正确；∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，∴AD⊥CB，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵△AED≌△AFE，∴∠EDA=∠FDA，∴∠BDE=∠CDF，故B正确；∵△AED≌△AFE，∴∠AED=∠AFD，∴∠BED=∠CFD，故C正确；假设∠DAE=∠BDE，则∠DAE+∠EDA=90°，∴DE⊥AB，∵条件中没有DE⊥AB，∴∠DAE=∠BDE错误，故D错误；故选：D．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．11．如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，与交于点．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①；②；③；④．上述结论一定正确的是（）

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根据，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得，判断①正确，然后证明，可以判断①正确，根据全等三角形对应边相等可得，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而判断④正确，如图，过点G作于K，利用角平分线的性质可证明，根据直角三角形中斜边大于直角边即可证明结论③错误．【详解】解：，∵是边的中点，故②正确；，，在和中，，，故①正确；平分，且，在和中，，，故④正确；如图，过点G作于K，

平分，且，，∵在中，＞，＜，故③错误．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各知识点是解题的关键．二、填空题12．已知中，，，如果是边的中点，那么_____度．【答案】40【分析】首先利用等腰三角形的底角的度数求得另一个底角的度数，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得答案即可．【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，

∴∠C=∠B=50°，

∵D是边BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD=40°，

故答案为：40．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为_________．【答案】4【分析】先由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，再根据△ABD的周长为16，得到AB+BD+AD=16，即AB+AC+BC+2AD=32，再将AB+AC+BC=24代入，即可求出AD的长．【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD．∵△ABD的周长为16，∴AB+BD+AD=16，∴2AB+2BD+2AD=32，∴AB+AC+BC+2AD=32，∵△ABC的周长为24，∴AB+AC+BC=24，∴24+2AD=32，∴AD=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查了三角形的周长，等式的性质．14．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则的度数为___________．【答案】90°【分析】根据等腰三角形的性质即可得到∠AMB=90°．【详解】解：由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，∴AE⊥BF，∴∠AMB=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟知等腰三角形“三线合一”的知识．15．如图，在中，边上的中线平分，P是线段上的一点，，若，则_________．【答案】【分析】连接PB，PC，过P作PH⊥AC，垂足为H，设PF=x，求出CD的长，从而算出△ABC的面积，再根据S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=，求出x值，可得结果．【详解】解：连接PB，PC，过P作PH⊥AC，垂足为H，∵AP平分∠BAC，∴PF=PH，设PF=x，则PH=x，PG=2x，∵CA=CB=10，CD是AB中线，AB=12，∴AD=BD=6，则CD==8，∴S△ABC==48，又S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP====48解得：x=，即PG=，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用△ABC的面积列出方程．16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，D为BC边上的中点，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F，则BM+DM的值为_____cm．【答案】6．【分析】由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知AM＝BM，则可得出答案．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6（cm），∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴BM+MD＝AM+DM＝AD＝6（cm），故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．下列结论：①；②；③当为中点时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的是______（填序号）．【答案】①③【分析】①根据三角形外角和、角的和差以及等量代换即可得证；②根据已知条件不能证明；③根据等腰三角形的三线合一、三角形内角和以及外角和即可得证；④分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形外角和即可得出结论．【详解】解：①,，故①正确；②点为线段上一动点不能证明，故②错误；③为中点，，由①知，即，故③正确；④由①知，当时，,；当时，此时不成立；当时，综上所述，当为等腰三角形时，或，故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和及外角和，正确的识别图形是解题的关键．18．如图，在中，，平分，点，分别是和上的任意一点，设．

（1）连接交于点，则______（填表示相等或大小关系的符号）；（2）若，，，则的最小值是______．【答案】【分析】（1）连接CP，根据等腰三角形性质得到BH为AC垂直平分线，进而得到AP=CP，根据“两点之间，线段最短”即可求解；（2）由“垂线段最短”得当CD⊥AB时，CD有最小值，即m有最小值为CD的最小值，根据面积法即可求出CD最小值．【详解】解：（1）如图，连接CP，∵，平分，∴AH=CH，BH⊥AC，∴BH为AC垂直平分线，∴AP=CP，∴PA+PD=PC+PD≥CD，即m≥CD．

故答案为：≥；（2）由“垂线段最短”得当CD⊥AB时，CD有最小值，即m有最小值为CD的最小值．当CD⊥AB时，,即，∴CD=．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．三、解答题19．如图，，，三点在同一直线上，，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知中的条件两角夹边可判定△ADC≌△ADB，由全等三角形的性质可得AB=AC；（2）由AB=AC和∠1=∠2可得AE⊥BC．【详解】解：（1）证明：，，在和中，，，；（2）证明：在中，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．20．如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：ΔOPA≌ΔOPB；（2）若AB＝6，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据角平分线得PA＝PB，再根据PO＝PO，即可得到Rt△AOP≌Rt△BOP；（2）根据等腰三角形的性质，得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．【详解】（1）证明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB又OP＝OP，∴RtΔOPA≌RtΔOPB；（2）解：∵△OPA≌ΔOPB，∴OA＝OB．又OE平分∠AOB，∴AE＝BE∴AE＝AB＝3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键是明确相关定理，熟练运用已知条件进行证明和求解．21．如图，在中，，且，求的度数．

【答案】77°【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠AED．【详解】.解：为等腰三角形，且为底边上的高为的平分线（三线合一）【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．22．如图，已知平分，，是的中点，试说明的理由，【答案】见解析【分析】先由角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，那么∠EBA=∠E，由等角对等边得出AE=AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE．【详解】解：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠EBA=∠E，∴AE=AB，又∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中．得出AE=AB是解题的关键．23．如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．【答案】AD∥EF【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD∥EF．【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D为BC中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．24．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析，（2）EG⊥DF，理由见解析【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE；（2）可证∠2＝∠F，从而有DG＝FG，再通过（1）中全等知DE＝EF，由等腰三角形三线合一即可证出EG⊥DF．【详解】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如图，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．故答案为：EG⊥DF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．25．如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF＝AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论．【详解】解：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴，∵点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴；（2）∵DC＝DF，∴，∴，∵DF＝BF，∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；关键在于掌握好相关考点的基础知识，灵活运用．26．如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上，从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是秒（），连接、、、．（1）请判断形状，并证明你的结论．（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含的式子表示．【答案】（1）△EDF为等腰直角三角形，证明见详解；（2）不变，16【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△ADF，可得DE=DF，∠BDE=∠ADF，由余角的性质可得∠EDF=90°，可得结论；

（2）由全等三角形的性质可得S△BDE=S△ADF，可得S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABD，可求解．【详解】△EDF为等腰直角三角形，

∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC中点，

∴AD=BD=CD=BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，

∵点E、F速度都是1个单位/秒，时间是t秒，

∴BE=AF，在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（SAS），

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，

∵∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF为等腰直角三角形；故答案为△EDF为等腰直角三角形

（2）四边形AEDF面积不变，

理由：∵由（1）可知，△BDE≌△ADF，

∴S△BDE=S△ADF，

∴S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABC，

∴S四边形AEDF=××AC×AB=××8×8=16故答案为不变，面积为16【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△BDE≌△ADF是本题的关键．27．如图，在中，，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明，再证明，从而可得结论；（2）连接，，先证明，再证明，可得，，再证明是等腰直角三角形，可得从而可得结论．【详解】证明：（1），，．，．．．．（2）连接，在中，，点是的中点，，，平分，由可得：．．又，．，．．是等腰直角三角形．．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．28．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________，是的中点，（______________）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：

（2）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．29．在△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上一个动点，连接AD，BE．（1）已知∠ABC＝∠C，线段AD与BE交于点O，且满足∠AOE＝∠AEO．①如图1，若∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，则∠EBC的度数为．（直接写出答案）②如图2，猜想∠BAD与∠CBE之间的数量关系，并证明．（2）如图3，AD，BE都为△ABC的高，点G，点F分别在线段AD和射线BE上，且满足AG＝BC，BF＝AC，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥AB于点N，猜想FM，GN和AB之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①；②（2），证明见解析【分析】（1）①根据∠BAC＝60°，AD平分∠BAC可得，根据对顶角以及三角形内角和可求得∠EBC的度数；②根据等腰三角形等边对等角，三角形内角和，三角形的外角等知识证明即可；（2）作交AB于H点，则AD、BE、CH交于点I，根据对应边关系即可得到结论．【详解】解：（1）①且AD平分∠BAC，根据已知证，然后再证明∴，且，，故答案为：；②；证明如下：，且，，，，，又，，且，；（2）如图，作交AB于H点，则AD、BE、CH交于点I，，，，，，又，且，，，,,又,,又,且,,,,即．【点睛】本题主要考查三角形综合问题，涉及到的知识点有三角形内角和，三角形的外角，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形对应边的等量关系转换在一条线段上是解题的关键．30．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．【答案】（1）DP⊥AE；（2）①见解析；②BF=DF，证明见解析【分析】（1）已知△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得DP⊥AE；（2）①根据题目要求，补全图形，根据已知条件易证∠BAE+∠CAE=90°，∠ACP+∠CAE=90°．再根据同角的余角相等即可证得∠BAE=∠ACP．②线段BF与DF的数量关系：BF=DF．过点B作BH⊥AE于点H．易证△BAH≌△ACP，由全等三角形的性质可得BH=AP=DP．再△BFH≌△DFP，由此可得BF=DF．【详解】（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；理由如下：∵△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，∴DP⊥AE；（2）①补全图形，如图：证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAE=90°．∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，∴DP⊥AE，即∠APD=90°．∵点C，D，P在同一条直线上，∴∠ACP+∠CAE=90°．∴∠BAE=∠ACP．②线段BF与DF的数量关系：BF=DF．证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∴∠AHB=∠APD=90°．∵∠BAE=∠ACP，AB=AC，∴△BAH≌△ACP(AAS)．∴BH=AP=DP．∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，∴△BFH≌△DFP(AAS)．∴BF=DF．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练运用等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．31．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形中，，．过作，且，连结，过点作的边上的高，易证，从而得到的面积为_________．（2）（初步探究）如图，在中，，，过作，且，连结．用含的代数式表示的面积并说明理由．（3）（简单应用）如图，在等腰中，，，过作，且，连结，求的面积（用含的代数式表示）．【答案】（1）32；（2）；答案见解析；（3）．【分析】（1）【问题原型】根据AAS证明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论（2）【初步探究】过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．（3）【简单应用】过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】解：（1）【问题原型】如图，

∵过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．

∴∠BED=∠ACB=90°，

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，

∴AB=BD，∠ABD=90°．

∴∠ABC+∠DBE=90°．

∵∠A+∠ABC=90°．

∴∠A=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE（AAS）

∴BC=DE=8．∴S△BCD=32，（2）【初步探究】．理由：过做上以垂足为，∵，∴．∵，∴．∴．在△ABC和△BDE中，∵．∴=a．∴（3）【简单应用】过做于，过做于．∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠ABF+∠DBE=90°，

∴∠FAB=∠EBD．

∵线段BD是由线段AB旋转得到的，

∴AB=BD．

在△AFB和△BED中，∴△AFB≌△BED（AAS），∴．∵，，，∴∴．∴．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．32．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连结DF，求证：AB垂直平分DF；（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由AAS证明△ACD≌△CBF即可；（2）由全等三角形的性质得CD＝BF，由CD＝BD，得BF＝BD，证出∠ABC＝∠ABF，由等腰三角形的性质即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD＝CF，由垂直平分线的性质得AD＝AF，得出AF＝CF即可．【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，∠BCF+∠ADC＝90°，∵∠BCA＝90°，BF∥AC，∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠ADC，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（AAS）；（2）证明：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BF＝BD，∵∠BCA＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ABF，∵BF＝BD，∴AB垂直平分DF；（3）解：△ACF是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF由（1）得：△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（2）得：AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．33．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是