专题13.2 等腰三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

专题13.2等腰三角形中的几何综合【典例1】【概念学习】规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．

（1）【概念理解】如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=36°，∠B=48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；（3）【概念应用】在△ABC中，∠A=45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．【思路点拨】（1）由题意推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，从而得出结论；（2）根据题意，通过计算得出△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，从而得出结论；（3）根据题意，分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形两类，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC=AD，AD=CD，AC=CD三种情形讨论；同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．【解题过程】（1）解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=1∵∠ABC=72°，∴∠BDC=72°，∴△CBD和△ABC互为“形似三角形”，故答案为：是；（2）证明：．∵∠A=36°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∴∠BCD=48°=∠B，∵∠ADC是△BCD的一个外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD=96°=∠ACB，∴△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，∴CD为△ABC的等腰分割线；（3）解：（Ⅰ）当△ACD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图1所示：

当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°；②如图2所示：

当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC=180°-45°此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠ACB=45°+67.5°=112.5°；③当AC=CD时，这种情况不存在；（Ⅱ）当△BCD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图3所示：

当CD=DB时，∠B=∠BCD，此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∴∠B=∠BCD=∠ACD，∴∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，∵∠BDC+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=2×45°=90°；②如图4所示：

当BC=BD时，∠BDC=∠BCD，此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∴∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，在△BCD中，由三角形内角和可知∠B+2∠BDC=180°，得∠ACD+2(∠ACD+45°)=180°，∴∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°；③当CD=CB时，这种情况不存在；综上所述：∠ACB=90°或105°或112.5°．1．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=105°时，∠BAD=°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”)；（2）当DC等于多少时，△ABD≅△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．

【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD=35°，点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变小；（2）当DC=3时，则AB=DC，先由∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得∠ADB=∠DEC，证出△ABD≅△DCE即可；（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．【解题过程】（1）解：∵∠B=40°，∠BDA=105°，∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-105°-40°=35°，由图形可知，∠BDA逐渐变小，故答案为：35；小；（2）解：当DC=3时，△ABD≅△DCE，理由如下：∵AB=3，∴AB=DC，∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD≅△DCE（AAS）；（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，∴∠DAE=100°，此时，点D与点B重合，不合题意；当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，∴∠AED=100°，∴∠EDC=∠AED-∠C=60°，∴∠BDA=180°-40°-60°=80°，综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．2．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）在等腰△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD=2BD，S△BDC=6，EH=2，求（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC=∠ABE=∠CBF，求证：BD+CF=AB．

【思路点拨】（1）利用三角形面积之间的关系进行转化，可得S△AEC=6，再利用三角形面积公式可求得（2）通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长BE至G，使EG=BE，连接CG，则△BED≌△GEC，再证明△ABF≌△GBC即可证出结论．【解题过程】（1）解：∵AD=2BD，S△BDC∴S∵E为CD中点，∴S∵EH⊥AC，∴1∵EH=2，∴AC=6，∵AB=AC，∴AB=6；（2）证明：如图2，延长BE至G，使EG=BE，连接CG，在△BED和△GEC中，BE=EG∠BED=∠GEC∴△BED≌△GEC，∴BD=CG，∠ABE=∠G，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，即：∠ABF+∠CBF=∠ACB，∵∠BAC=∠CBF，∴∠ABF+∠BAC=∠ACB，∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∴∠BFC=∠ACB，∴BF=BC，∵∠BAC=∠ABE=∠CBF，∴∠BAC=∠G，∠ABF+∠EBF=∠CBG+∠EBF，∴∠ABF=∠GBC，在△ABF和△GBC中，∠BAC=∠G∠ABF=∠GBC∴△ABF≌△GBC，∴AF=CG，又∵BD=CG，∴AF=BD，∵AF+CF=AC，AB=AC，∴BD+CF=AB．3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN∠M=90°,∠MPN=30°按如图放置，顶点Р在线段AB上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D

（1）当α=______°，PN∥BC，此时（2）点Р在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？（3）点Р在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．

【思路点拨】（1）根据内错角相等两直线平行得∠α=∠MPN=30°时，PN∥BC，等腰三角形的性质可得（2）当AP=4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA=CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α=∠APD，根据AP=BC，利用ASA即可得证；（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．【解题过程】（1）若PN∥BC，则∵∠MPN=30°，∴∠α=∠MPN=30°，∵∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°，∵∠α=30°，∴∠APC=∠B+∠α=30°+30°=60°，∵∠MPN=30°，∠APD=∠APC-∠MPN=60°-30°=30°，故答案为：30，30；（2）当AP=4时，△ADP≌∵∠ACB=120°，AC=BC，∴∠A=∠B=30°，∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC=∠B+∠α=30°+∠α，∵∠APC=∠DPC+∠APD=30°+∠APD，∴∠α=∠APD，∵AP=BC=4，在△ADP和△BPC中，∠A=∠BAP=BC∴△ADP≌（3）∵△PCD是等腰三角形，∠PCD=120°-α，∠CPD=30°，①当PC=PD时，∴∠PCD=∠PDC=1即120°-α=75°，∴∠α=45°；②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-α=30°，∴α=90°；③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP=∠CPD=30°，∴∠PCD=180°-2×30°=120°，即120°-α=120°，∴α=0°，此时点P与点B重合，点D和A重合，∵点P不与A，B重合，∴α=0°，舍去，综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α=45°或90°．4．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足是点D，AE平分∠CAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，（1）求证：CE=BF；（2）在AC上取一点M，使CM=2DE，连接MB，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．

【思路点拨】（1）先根据等量代换得到∠1=∠2，∠C=∠3，再根据全等三角形的判定和性质证明即可；（2）①过点E作EG⊥AC于点G，先根据等腰三角形的性质求出CG=EG，∠4=45°，再根据角平分线的性质得到EG=ED，进而得到EG是CM的垂直平分线，然后等量代换证明即可；②先根据平行线的判定和性质得到∠6=∠7，再根据等腰三角形的性质得到AM=EM，最后根据全等三角形的判定和性质证明即可．【解题过程】（1）证明：如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠1+∠EAB=90°，∠2+∠EAB=90°．∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=45°．∵FB⊥BC，∴∠3=90°-∠ABC．∴∠C=∠3．在△ABF和△ACE中，∵∠1=∠2AB=AC∴△ABF≌△ACE．∴BF=CE．（2）①如图，过点E作EG⊥AC于点G．∵∠C=45°，∴△GCE是等腰直角三角形．∴CG=EG，∠4=45°．∵AD⊥BC，AE平分∠CAD，∴EG=ED．∴CG=ED．∵CM=2ED，∴CM=2CG，即G是CM的中点．∴EG是CM的垂直平分线．∴EC=EM．∴∠5=∠4=45°．∴∠MEC=∠5+∠4．即ME⊥BC．②∵AD⊥BC，ME⊥BC，∴ME//AD．∴∠6=∠7．∵∠1=∠6，∴∠1=∠7．∴AM=EM．在RtΔAMB与RtΔ∵MB=MBAM=EM∴RtΔAMB≌RtΔ∴∠8=∠9．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠6=∠8=22.5°，AD=BD．在△ADE与△BDN中，∵∠6=∠8AD=BD∴△ADE≌△BDN．∴DE=DN．5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期中）如图，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰Rt△ABD与等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、CD，BE（1）求证：BE=DC；（2）求∠BOC的大小；（3）连接DE，取DE的中点F，再连结AF，猜想AF与BC的位置关系和数量关系，并证明．

【思路点拨】（1）先判断出∠BAE=∠DAC，进而利用SAS判断出ΔBAE≌（2）先判断出∠ADB+∠ABD=90°，再由ΔBAE≌ΔDAC得出∠ABE=∠ADC（3）延长AF至G，使FG=FA，连接DG，利用SAS判断出ΔAEF≌ΔGDF，得出AE=DG，∠AEF=∠GDF，进而得出∠ADG+∠DAE=180°，进而判断出∠ADG=∠BAC，进而利用SAS判断出Δ【解题过程】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠BAE=∠DAC，∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形，∴AB=AD,AE=AC，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DACSAS∴BE=DC；（2）∵∠BAD=90°，∴∠ADB+∠ABD=90°，由（1）知，△BAE≌△DAC，∴∠ABE=∠ADC，∴∠OBD+∠ODB=(∠ABE+∠ABD)+(∠ADB-∠ADC)=∠ABE+∠ABD+∠ADB-∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BOC=∠OBD+∠ODB=90°；（3）AF⊥BC,BC=2AF证明：如图，延长AF至G，使FG=FA，连接DG，∵点F是DE的中点，∴EF=DF，在△AEF和△GDF中，EF=DF∴△AEF≌△GDFSAS∴AE=DG,∠AEF=∠GDF∴DG∥AE，∴∠ADG+∠DAE=180°，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAE+∠BAC=360°-∠BAD-∠CAE=180°∴∠ADG=∠BAC，∵AE=DG,AE=AC，∴DG=AC，在△ADG和△BAC中，DG=AC∠ADG=∠BAC∴△ADG≌△BACSAS∴AG=BC，∵AF=FG，∴AG=2AF∴BC=2AF．延长FA交BC于H，∵∠BAD=90°，∴∠DAG+∠BAH=90°，∵△ADG≌△BAC，∴∠DAG=∠ABC，∴∠ABC+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AF⊥BC．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交于点F，∠BAC=∠BFE=2∠AEB．

（1）说明：∠EAC=∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE=15，AF=6，求△BEF的面积；（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明.

【思路点拨】（1）根据∠BAE+∠EAC=∠BAC，∠BAE+∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠BFE，即可证明结论；（2）过点F作FG⊥BC于点G，求出∠ABE+∠AEB=90°，得出∠BAE=180°-90°=90°，证明FA⊥AB，根据角平分线的性质得出FG=AF=6，根据三角形面积公式求出S△BEF（3）在BD上截取BH=AE，连接AH，证明△ABH≌△CAESAS，得出∠AHB=∠AEC，∠C=∠BAH，证明∠HAF=∠AHF，得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF【解题过程】（1）证明：∵∠BAE+∠EAC=∠BAC，∠BAE+∠ABD=∠BDC，又∵∠BAC=∠BFE，∴∠BAE+∠EAC=∠BAE+∠ABD，∴∠EAC=∠ABD；（2）解：过点F作FG⊥BC于点G，如图所示：

∵AB=AC，∴∠ABE=∠C，∴∠BAC=180°-2∠ABE，∴∠AEB=1∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠BAE=180°-90°=90°，∴FA⊥AB，∵BD平分∠ABC，FG⊥BC，∴FG=AF=6，∴S△BEF（3）解：2AF=BF-EF；理由如下：在BD上截取BH=AE，连接AH，如图所示：

在△ABH和△CAE中，AB=AC∠ABH=∠CAE∴△ABH≌△CAESAS∴∠AHB=∠AEC，∠C=∠BAH，∴∠AHF=∠AEB=1根据解析（2）可知，∠BAE=90°，∴∠HAF=90°-∠BAH=90°-∠C，∴∠HAF=∠AHF，∴AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF，∴2AF=BF-EF．7．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图所示：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为边AC上一点（点P不与A、C重合），CD⊥BP交BP延长线于点D，点E在BP上且AE⊥AD．

（1）求证：∠BAE=∠DAC；（2）点P在边AC上运动的过程中，∠DAC+∠ABE的大小是否发生变化？若不变，求出该值，若变化，请说明理由；（3）记△BCP的面积为S，若点P为AC中点且SPD=5，求

【思路点拨】（1）因为AE⊥AD，故∠EAD=90°=∠EAC+∠DAC，而∠BAC=90°=∠EAC+∠BAE，即可求解；（2）证明△AEB≌△ADC，则△AED是等腰直角三角形，则∠BAE+∠ABE=∠DAC+∠ABE=45°，即可求解；（3）证明△AHP≌△CDP，则AH=CD=x，HP=PD，从而得到BP=52x，所以得到S=【解题过程】（1）解：∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°=∠EAC+∠DAC，∵∠BAC=90°=∠EAC+∠BAE，∴∠BAE=∠DAC．（2）解：∠DAC+∠ABE的大小不发生变化，理由如下：∵CD⊥BP，∴∠DCP+∠DPC=90°，∵∠ABP+∠APB=90°，∠APB=∠DPC，∴∠ABE=∠DCP，在△AEB和△ADC中，∠BAE=∠DACAB=AC∴△AEB≌△ADCASA∴BE=CD，AE=AD，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠ABE=∠DAC+∠ABE=45°，∴∠DAC+∠ABE的大小不发生变化，为45°．（3）解：由（2）可知△AED是等腰直角三角形，过点A作AH⊥BD于点H，设CD=x，

∵点P为AC中点，∴AP=PC，在△AHP和△CDP中，∠AHP=∠CDP∠APH=∠CPD∴△AHP≌△CDPAAS∴AH=CD=x，HP=PD，∵△AED是等腰直角三角形，且AH⊥BD，∴EH=HD=AH=x，∴HP=PD=12x∴BP=BE+EH+HP=x+x+1∴S=1∵S∴5∵x≠0，∴x=2，∴PE=EH+PH=x+1∴PE=3．8．（2023秋·八年级课时练习）已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是BC（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是______________；（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是______________；（3）如图③，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明；（4）如图④，已知BC=4，AD=2，若点P从点B出发沿着BC边向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中

【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用AAS证明△ACF≌△BAE，得CF=AE，AF=BE即可；（3）由（2）同理可证CF=AE．再利用ASA证明△CFP≌△AEM，得CP=AM；（4）用两种方法表示△ABC的面积，可得d1+d2=8AP【解题过程】（1）解：∵点D是BC的中点，点P与点D重合，∴AP⊥BC，故答案为：AP⊥BC；（2）解：CF=BE+EF，∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB=∠AFC=∠BAC=90°，则∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF，∵AB=AC，∴△ACF≌△BAEAAS∴CF=AE，AF=BE，∴CF=BE+EF，故答案为：CF=BE+EF；（3）解：CP=AM，理由如下：∵BE⊥AP，CF⊥AP．∴∠AFC=∠AEB=90∘，∵∠BAE+∠FAC=90∘，∴∠BAE=∠ACF．又∵AB=AC，∴△ACF≌△BAEAAS∴∠BAE=∠ACF，CF=AE．∵在等腰Rt△ABC中，点D是BC∴∠BAD=∠ACD=∵∠BAE=∠ACF，∴∠EAM=∠FCP．在△CFP和△AEM中，∠FCP=∠EAMCF=AE∴△CFP≌△AEMASA∴CP=AM；（4）解：∵AD⊥BC，∴S△ABC=由图形可知，S△ABC=S∴当AP⊥BC时，即：点P与点D重合，AP最小，此时AP=2∴d1+9．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市南雅中学校考期末）在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E、F分别为AB、（1）如图1，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF；（2）如图2，∠AED+∠AFD=180°，请判断DE和DF有什么数量关系？并说明理由；（3）如图3，点F与点A重合，点P为CD上的一点，且∠APE=∠C，BA=BP，求

【思路点拨】（1）连接AD，由AB=AC，D为BC的中点，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F得DE=DF；（2）过D点作DG⊥AB，DH⊥AC，根据同角的补角相等得到∠BED=∠AFD，由AB=AC，D为BC的中点，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB，DF⊥AC得，（3）连接AD，过P点作PM⊥AB，通过证明△ADP≌△PMA（AAS）【解题过程】（1）证明：如图，连接AD，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，∴DE=DF；（2）解：DE=DF，理由如下：如图，过D点作DG⊥AB，∵∠AED+∠AFD=180°，∴∠BED=∠AFD，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DG⊥AB，∴DG=DH，在△DGE和△DHF中，∠GED=∠HFD∠DGE=∠DHF∴△DGE≌△DHF（∴DE=DF；（3）解：如图，连接AD，过P点作PM⊥AB，

∵BA=BP，∴∠BAP=∠APD，∵AD⊥BC，∴∠ADP=∠AMP，∵AP=AP，∴△ADP≌△PMAAAS∴AM=DP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠APE=∠C，∴∠APE=∠B，∴∠AEP=∠B+∠BPE=∠APE+∠BPE=∠APD，∴∠AEP=∠BAP，∴PA=PE，∵PM⊥AE，∴AE=2AM=2DP，

∴DPAE10．（2022秋·重庆长寿·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点O（1）若∠EOF=90°，两边分别交AC，BC于E，F两点．如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；（2）如图2，若∠EOF=90°，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF（3）如图3，若∠EOF=45∘，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3，EF=5，试求

【思路点拨】（1）连接OC，证明△AOE≌△COFASA（2）连接OC，△COE≌△BOF(ASA)，得出（3）连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，证明△COF≌△AOHASA，得出CF=AH=3，OF=OH，证明△EOF≌△EOHSAS，得出【解题过程】（1）证明：如图，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=BO，∠AOC=∠EOF=90°，∠A=∠BCO=45°，∴∠AOE+∠COE=∠COF+∠COE=90°，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COFASA∴OE=OF；（2）解：如图，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=BO，∠BOC=∠EOF=90°，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=180°-45°=135°，∠COE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA∴OE=OF=6，∴S△EOF故答案为：18．（3）解：如图，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=BO，∠AOC=∠FOH=90°，∠BAC=∠BCO=45°∴∠OCF=∠OAH=180°-45°=135°，∠COF+∠AOF=∠AOF+∠AOH=90°，∴∠COF=∠AOH，∴△COF≌△AOHASA∴CF=AH=3，OF=OH，∵∠EOF=45°，∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH，EO=EO，∴△EOF≌△EOHSAS∴EF=EH=5，∴AE=EH-AH=2．11．（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在直线BC上，∠C=2∠BDE，BE⊥DE于点E，DE交直线AB于点F（1）如图1，当点D与点C重合，且E与A在BC同侧时，①补全图形；②试探究线段BE与线段FD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，点D在线段BC上，试探究线段BE与线段FD的数量关系，并证明你的结论．

【思路点拨】（1）①根据要求作出图形即可，②结论：FD=2BE，延长延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB(ASA)，得出FE=BE，再证明△ACD≌△ABF(ASA)，即可得出结论；（2）结论：BE=12DF，过点D作DG//AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，证明△BGH≌△DFH(ASA)，推出BG=DF【解题过程】（1）解：①图形如图1所示：②结论：FD=2BE，理由如下：延长BE交CA延长线于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE=∠BCE，在△CEF和△CEB中，∠FCE=∠BCECE=CE∴△CEF≌△CEB(ASA)，∴FE=BE，∵∠DAC=∠CEF=90°，∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，∴∠ACD=∠ABF，在△ACD和△ABF中，∠ACD=∠ABFAC=AB∴△ACD≌△ABF(ASA)，∴FD=BF，∴FD=2BE．（2）解：结论：BE=1过点D作DG//AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，∵DG//AC，∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°，∵∠EDB=1∴∠EDB=∠EDG=1∵BE⊥ED，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠BHD，∵∠EFB=∠HFD，∴∠EBF=∠HDF，∵AB=AC∴∠C=∠ABC=45°，∵DG//AC，∴∠GDB=∠C=45°，∴∠GDB=∠ABC=45°，∴BH=DH，在△BGH和△DFH中，∠HBG=∠HDFBH=DH∴△BGH≌△DFH(ASA)，∴BG=DF，在△BDE和△GDE中，∠BDE=∠GDEDE=DE∴△BDE≌△GDE(ASA)∴BE=EG，∴BE=112．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知△ABC，CD⊥AB，∠A=2∠BCD．（1）如图1，求证：AB=AC；（2）如图2，在AC上取点E，连接DE，若∠ACD=2∠ADE，取DE的中点F，作FG⊥BC于G，求证：GF=CG；（3）如图3，在（2）的条件下，FG交CD于点H，若BD=2DH，△BCD的面积为4，求CH长度．

【思路点拨】（1）根据垂直的定义及三角形内角和定理分别用∠BCD表示出∠B和∠ACB，即可得结论．（2）如图，连接CF，根据∠A=2∠BCD，∠ACD=2∠ADE可得∠BCD+∠ADE=45°，根据角的和差关系及外角性质可得∠CDE=∠DEC，即可得出CD=CE，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CF平分∠DCE，可得∠BCD+∠FCD=45°，进而可得结论．（3）如图，连接CF，过点D作DP⊥DE，交FG于P，过点F作FM∥BC，交AB于M，过点M作MN⊥BC于N，连接FN，根据“三线合一”的性质及角的和差关系可得∠MDF=∠PDH，利用ASA可证明△MDF≅△HDP，即可得出DM=DH，利用AAS可证明△MFN≅△GNF，可得MN=FG=CG，利用ASA可证明△BMN≅△PCG，可得CH=BM，根据BD=2DH及△BCD的面积即可得出DH的长，进而可得答案．【解题过程】（1）∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°-∠A，∠B=90°-∠BCD，∵∠A=2∠BCD，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°-∠BCD，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC．（2）如图，连接CF，∵∠ACD=2∠ADE，∠A=2∠BCD，CD⊥AB，∴2∠BCD+2∠ADE=90°，即∠BCD+∠ADE=45°，∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDE=2∠BCD+∠ADE，∵∠DEC=∠A+∠ADE=2∠BCD+∠ADE，∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∵F为DE的中点，∴CF平分∠DCE，∴∠FCD=1∴∠BCD+∠FCD=45°，即∠GCF=45°，∵FG⊥BC，∴∠GFC=∠GCF=45°，∴GF=CG．（3）如图，连接CF，过点D作DP⊥DE，交FG于P，过点F作FM∥BC，交AB于M，过点M作MN⊥BC于N，连接FN，∵F为DE的中点，CD=CE，∴CF⊥DE，∵∠GFC=45°，∴∠DFP=∴DP=DF，∵FM∥BC，∴∠MFG=90°，∴∠MFD=∠DPH=45°，∵∠MDF+∠FDH=∠PDH+∠FDH，∴∠MDF=∠PDH，在△MDF和△HDP中∠MDF=∠PDHDF=DP∴△MDF≅△HDP，∴DM=DH，∵MN⊥BC，FM∥BC，∴∠MFN=∠FNG,∠FMN=90°，在△MFN和△GNF中∠FMN=∠FGN∠MFN=∠FNG∴△MFN≅△GNF，∴MN=FG=CG，∵∠BCD+∠B=∠BMN+∠B，∴∠BCD=∠BMN，在△BMN和△PCG中，∠BMN=∠BCDMN=CG∴△BMN≅△PCG，∴CH=BM，∵BD=2DH，∴CH=BM=3DH，CD=4DH，∵S△BCD∴12∴DH=1，∴CH=3DH=3．13．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D为AC上一点，过点A作AE∥BD，AE=BF，AE⊥EF，EF交AB（1）小明说：PE与PF有一定数量关系，试说出小明的猜想，并加以证明；（2）小伟说：如图2，连接CE，如果CE=AC，则AE=EF，请帮助小伟加以证明；（3）小超受小伟的启发，在小伟添加的条件下，也提出一个问题：如图3，在BD上取点Q，使∠ECQ=45°，若AE=6，求ΔBCQ

【思路点拨】（1）根据AE∥BD得到∠BFE=∠AEF，∠ABF=∠BAE，即可得到（2）连接BE，根据CE=AC得到∠CEA=∠CAE，根据AE∥BD得到∠BDC=∠CAE，即可得到∠BDC=∠CEA，根据AE⊥EF及等腰Rt△ABC可得∠FBC=∠FEC，根据CE=AC，BC=AC可得∠CBE=∠CEB（3）连接CP，过点C作CH⊥EF交EF延长线于点H，根据△BFP≌△AEP，可得BP=AP，根据Rt△ABC与CP⊥AB易得∠BCQ=∠PCE，即可得到ΔCBQ≌ΔCEP(ASA【解题过程】（1）解：PE=PF；∵AE∥∴∠BFE=∠AEF，∠ABF=∠BAE，在ΔBFP与Δ∵∠ABF=∠BAEBF=AE∠BFE=∠AEF∴ΔBFP∴PE=PF；（2）证明：如图2，连接BE，∵CE=AC，∴∠CEA=∠CAE，∵AE∥∴∠BDC=∠CAE，∴∠BDC=∠CEA，∵AE⊥EF，∴∠CEA+∠CEF=90°，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°∴∠BDC+∠CBD=90°，∴∠FBC=∠FEC，∵CE=AC，BC=AC，∴CE=BC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠CBE-∠FBC=∠CEB-∠FEC，∴∠FBE=∠FEB，∴EF=BF，∵AE=BF，∴AE=EF；（3）解：连接CP，过点C作CH⊥EF交EF延长线于点H，∵△BFP≌∴BP=AP，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC∴CP⊥AB，∠BCP=∠ACP=45°，∵∠ECQ=45°，∴∠BCQ=∠PCE，在ΔCBQ与Δ∵∠FBC=∠FECCE=BC∴ΔCBQ∵∠CAP=∠ACP=45°，∴CP=AP，∵CP⊥AB，CH⊥HE，AE⊥EF，∴∠CPA=∠CHE=∠AEP=90°，∴∠APE+∠EAP=∠APE+∠HPC，∴∠EAP=∠HPC，在ΔAPE与Δ∵∠EAP=∠HPC∠CHE=∠AEP∴ΔAPE∴CH=PE，∵AE=6，PE=PF=3，∴CH=3，∴S△BCQ14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知△ABC和△ADE，∠CAB=∠EAD=90°，AB=AC，AD=AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB=AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：____________（填“>”、“<”、“=”）②求证：CE=2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【思路点拨】（1）①证明出△BAF≌△DAF，即可得到BF=DF，从而得到答案；②先证明出△BAF≌△DAF，得到∠AFB=∠CHA，从而推出△AFB≌△CHA，从而即可得到答案；（2）作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，通过证明△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，可得到DN=AH，BM=DN，再△BMF≌△DNF，进行推理即可得到答案．【解题过程】（1）解：①∵AB=AC，AD=AE，AB=AD，，∴AC=AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH=∠EAH，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAH+∠BAF=90°，∠EAH+∠DAF=90°，∴∠BAF=∠DAF，在△BAF和△DAF中，AB=AD∠BAF=∠DAF∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF，故答案为：=；②∵AC=AE，AH⊥CE，∴CH=EH=1∴CE=2CH，∵∠BAC=∠AHC=90°，∴∠BAF+∠CAH=90°，∠ACH+∠CAH=90°，∴∠BAF=∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB=∠AFD=90°，∴∠AFB=∠CHA，在△AFB和△CHA中，∠AFB=∠CHA∠BAF=∠ACH∴△AFB≌△CHA（AAS）∴AF=CH，∴CE=2AF；（2）解：成立，证明如下：作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，∴∠BMA=∠N=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAM+∠CAH=90°，∠DAN+EAH=90°，∴∠ABM=∠CAH，∠ADN=∠EAH，∵AH⊥CE，∴AMB=∠CHA=∠N=∠EHA=90°，在△AMB和△CHA中，∠AMB=∠CHA∠ABM=∠CAH∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB=AH，同理可证△AND≌△EHA（AAS），∴DN=AH，∴BM=DN，在△BMF和△DNF中，∠BMF=∠N∠BFM=∠DFN∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF=DF，MF=NF，∴AM=AF-MF，AN=AF+NF=AF+MF，∴AM+AN=AF-MF+AF+MF=2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM=CH，AN=EH，∴CH+EH=AM+AN=2AF，∵CE=CH+EH，∴CE=2AF，即BF=DF，CE=2AF．15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）已知等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在射线BC上，连接AD，在AD右侧作等腰Rt△ADE

（1）如图1，若AD平分∠BAC，延长AE、BC交于点F，求证：DE=EF；（2）如图2，点M为AE的中点，求证：点M在线段CD的垂直平分线上；（3）如图3，射线AC与射线ED交于点G，若AD+DG=AE，求∠ADC的度数．

【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠DEA=45°，由角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC=22.5°，进而求出∠ADB=67.5°，则可得∠EDF=22.5°，利用三角形外角的性质可得∠EFD=∠EDF=22.5°（2）如图所示，在AB上取一点H使得BH=BD，连接CM并延长到T，使得CM=TM，连接AT，CE，DM，DH，证明△BDH是等腰直角三角形，推出∠AHD=435°，证明AH=DC，∠BAD=∠CDE，进而证明△AHD≌△DCESAS，得到∠DCE=∠AHD=135°，则∠ACE=90°；证明△AMT≌△EMC，得到AT=CE，∠MAT=MEC，进而推出∠TAC=∠ECA=90°，证明△ATC≌△CEA，得到AE=CT，则AE=2CM；证明△ADM（3）如图所示，延长AD到K使得DK=DG，连接EK，设直线AC与EK交于M，证明△ADG≌△EDK，得到∠DAG=∠DEK，由三角形内角和定理得到∠EMG=∠ADG=90°，再证明AK=AE，得到∠KAM=∠EAM=22.5°，同理可得∠CDG=22.5°，则∠ADC=∠ADE+∠CDG=112.5°．【解题过程】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DEA=45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADB=90°-∠BAD=67.5°，∴∠EDF=180°-∠ADE-∠ADB=22.5°，∴∠EFD=∠AED-∠EDF=22.5°，∴∠EFD=∠EDF，∴ED=EF；（2）证明：如图所示，在AB上取一点H使得BH=BD，连接CM并延长到T，使得CM=TM，连接AT，∵BH=BD，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠BHD=45°，∴∠AHD=435°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CB，∠ACB=45°，∴AB-BH=BC-BD，即AH=DC，∵∠BAD+∠BDA=90°=∠BDA+∠CDE，∴∠BAD=∠CDE，又∵AD=DE，∴△AHD≌△DCESAS∴∠DCE=∠AHD=135°，∴∠ACE=90°；∵M是AE的中点，∴AM=EM，又∵TM=CM，∴△AMT≌△EMC，∴AT=CE，∴AT∥CE，∴∠TAC=∠ECA=90°，又∵AC=CA，∴△ATC≌△CEASAS∴AE=CT，∵CT=2CM，∴AE=2CM；∵△ADE是等腰直角三角形，M是AE的中点，∴DM⊥AE，∴△ADM、∴AM=DM=ME，∴AE=2DM，∴DM=CM，∴点M在线段CD的垂直平分线上；（3）解：如图所示，延长AD到K使得DK=DG，连接EK，设直线AC与EK交于M，∵AD=ED，∴△ADG≌△EDKSAS∴∠DAG=∠DEK，又∵∠AGD=∠EGM，∴∠EMG=∠ADG=90°，∵AD+DG=AE，∴AE=AD+DK，∴AK=AE，∴∠KAM=∠EAM=22.5°，∴AD平分∠BAC，∴同理可得∠CDG=22.5°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDG=112.5°．16．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图1，已知等腰三角形ABC与等腰三角形BED全等，边AB与边BE重合，BD交射线AC于点M，AB=AC．

（1）若∠ACB=72°，求∠AMB的度数．（2）如图2，将等腰三角形BDE绕点B按顺时针方向旋转，过点E作EN∥DB，交AM于点N．①求证：EN=AN．②判断EN，

【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质结合三角形的内角和求解即可；（2）①证明∠BEA=∠BAE，∠BEN=∠BAC，可得∠NEA=∠NAE，进而可得结论；②当点M在AC延长线上时，连接BN，并延长交AE于点F，证明∠MNB=∠MBN，可得MN=MB，然后利用线段的和差代换可得结论；当点M在AC上时，同理求解．【解题过程】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°．∴∠BAC=36°．∵等腰三角形ABC与等腰三角形BED全等，∴∠ABD=∠BAC=36°．∴∠AMB=180°-∠ABD-∠BAC=108°．（2）①证明：如图，

连接AE，由旋转可得AB=EB．∴∠BEA=∠BAE．∵△ABC≌∴∠BAC=∠EBD．∵EN∥∴∠BEN=∠EBD．∴∠BEN=∠BAC．∴∠BEA-∠BEN=∠BAE-∠BAC．即∠NEA=∠NAE．∴AN=EN．②如图，当点M在AC延长线上时，连接BN，并延长交AE于点F．

∵BE=BA．∵BF是AE的垂直平分线．∵AB=EB，∴∠ABF=∠EBF．∵∠BNM=∠BAC+∠ABF，∠MBN=∠EBD+∠EBF，∴∠MNB=∠MBN．∴MN=MB．∵AC=MN+AN-CM，∴DM=AN-CM．由（1）得EN=AN，∴EN=DM+CM．当点M在AC上时，连接BN，并延长交AE于点F,如图，

同理可得MN=MB．∵AC=MN+AN+CM，∴DM=AN+CM，由（1）得EN=AN，∴EN=DM-CM．17．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．（1）求证：AE是△ABC的一条特异线；（2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数；（3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）．

【思路点拨】（1）只要证明ΔABE，ΔAEC是等腰三角形即可．（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解题过程】解：（1）证明：如图1中，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，即ΔEAC是等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，即ΔEAB是等腰三角形，∴AE是ΔABC是一条特异线．（2）如图2中，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，如果AD=AB，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，如果AD=DB，DC=DB，则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合题意舍弃）．如图3中，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则∠ABC=180°-20°-20°=140°当CD为特异线时，不合题意．∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C，当AD是特异线，①如果AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∴∠BAC=90°，②如果AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B，∠ADC=∠DAC=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°，当BD是特异线，如图5，当AD=BD，BD=BC，∴∠BAD=∠ABD，∠C=∠BDC=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=36°，当AD=BD，CD=BC，同理可求：∠A=1807综上所述：等腰三角形的顶角度数为90°，108°，36°，180718．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、BD上，且满足∠ADB+∠ECB=90°，延长CE交AB于点F．（1）如图1，若∠BAC=100°,∠ADB=70°．①求证：CF平分∠ACB；②求证：BC=AF+CF；（2）如图2，过点B作BM⊥BD，交CF的延长线于点M，若BM=12BC，CEAC=ab，记△BCE的面积为S1，△ABC的面积为

【思路点拨】（1）①根据三角形内角和定理，求得∠ACF=∠BCF，即可得证；②过点F作FQ⊥AC,FP⊥AB,得出FP=FQ，作∠GFP=10°，GF交BC于点G，得出CF=CG，证明△FQA≌△FPG，得出AF=FG，GB=GF，根据BC=BG+CG=AF+FC（2）过点A作AN⊥BC，于点N，证明∠NAC=∠MEB，进而证明△BME≌△NCAAAS，根据全等三角形的性质得出S△BME=S△CNA=【解题过程】（1）①证明：∵∠BAC=100°,∠ADB=70°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1∵∠ADB+∠ECB=90°，∴∠ECB=90°-∠ADB=20°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=40°-20°=20°，，∴∠ACF=∠BCF，即CF平分∠ACB；②如图，过点F作FQ⊥AC,FP⊥AB,∴∠PFC=90°-∠BCF=90°-20°=70°，∵CF平分∠ACB，∴FP=FQ，∵∠ACF=20°，∠FAC=100°，∴∠AFC=60°,∠QAF=80°，∴∠QFA=90°-∠QAF=10°，作∠GFP=10°，GF交BC于点G，∵∠GFP=10°，∴∠FGP=80°,∠GFC=∠PFC+∠GFP=70°+10°=80°，∴CF=CG，在△FQA与△FPG中∠QFA=∠PFG=10°∴△FQA≌△FPG∴AF=FG，∵∠FBG=∠ABC=40°,∠FGC=80°，∴∠GFB=∠FGC-∠FBG=40°，∴∠GBF=∠GFB，∴GB=GF，∴BG=AF，∴BC=BG+CG=AF+FC，∴BC=AF+CF；（2）如图，过点A作AN⊥BC，于点N，∵AB=AC,AN⊥BC，∴BN=NC=1∵BM=1∴BM=BN=NC，∵∠ADB+∠ECB=90°，∴∠ADB=90°-∠ECB，∴∠EDC=180°-∠ADB=180°-90°-∠ECB∵∠DEC=180°-∠EDC-∠ACM=180°-=90°-∠ECB-∠ACM=90°-∠ACB=∠NAC，由∠MEB=∠DEC，∴∠NAC=∠MEB，∵BM⊥BD，∴∠MBE=90°，∴∠MBE=∠CNA=90°，在△BME与△NCA中，∠MBE=∠CNA∠MEB=∠CAN∴△BME≌△NCAAAS，∴ME=AC，∴S△BME∵CEAC∵S△BEC∴S△BEC记△BCE的面积为