专题10 轴对称中的翻折、旋转问题专训（原卷版）

专题10轴对称中的翻折、旋转问题专训【题型目录】题型一轴对称中的翻折问题专训题型二轴对称中的旋转问题专训【知识梳理】知识要点一：翻折（对折）的定义一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.知识要点二：翻折（对折）的特点翻折问题实际上就是对称变换；翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。知识要点三：翻折（对折）的基本图形及图形特点翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想进行解题。翻折特点：有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、等面积法结合图形特点进行解题。【经典例题一轴对称中的翻折问题专训】【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将长方形纸片沿翻折，点，分别落在点，处．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·江西赣州·统考三模）如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为（

）

A．40° B．60° C．70° D．80°3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

4．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，三角形纸片，点D是边上一点，连结，把沿着翻折，得到，与交于点F．若点F是的中点，，的面积为12，则点B、E之间的距离为．

5．（2023春·浙江金华·七年级统考期末）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行∶第一步，将长方形纸条向上翻折，记点C、D的对应点分别为，折痕为，且交于点G（如图1；第二步，将四边形沿向下翻折，记的对应点分别为（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记A、B的对应点分别为，折痕为（如图3）．（1）若，则度．（2）若，则当时，度．6．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）

(1)如图1，当时，求证：；(2)如图2，若，，是否存在这样的x的值，使得是以为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．【经典例题二轴对称中的旋转问题专训】【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【变式训练】1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在中，，以点B为旋转中心把按顺时针方向旋转得到，点恰好落在上，连接，则度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，，分别与边、交于E、F两点．下列结论：①，②，③S四边形CEDF，④始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M落在点N处，若,且B、M、N三点恰共线，则=．4．（2020秋·重庆璧山·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，，直线AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是．5．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：(1)若，求证：；(2)连接，当点D在线段上时．①如图②，若，则的度数为；线段与之间的数量关系是；②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．【解决问题】小明在解决此题时，将点绕点逆时针方向旋转得到点，连接、、，并结合已知条件证得．请利用小明的作法及结论求的度数．【方法应用】如图②，点是正方形内一点，连接、、．若，，，则______________°．【重难点训练】轴对称中的15道翻折问题专训1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，则折痕的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形按如图方式折叠，若，，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长，其中，正确的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年级单元测试）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023春·全国·七年级专题练习）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，，则与之间的数量关系可用等式表示为___________．

7．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为________．

8．（2023春·江苏·七年级统考期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为___________．

9．（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片，其中．请按下列步骤操作：①沿的垂直平分线/折叠，折痕与交于点D：②沿过点C的直线l，折叠，使点A落到上的点E处，若，则的度数为__________．10．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知，点P是射线BC上一动点，把沿AP折叠，B点的对应点为点D，当是等腰三角形时，的度数为______．11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究一张直角三角形纸片，，其中，D，E分别是边上一点．将沿折叠，点C的对应点为点．(1)如图1，若，则______°，______°．(2)如图2，若点落在直角三角形纸片上，请探究与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，（2）中与的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出与的数量关系．12．（2023·浙江·八年级假期作业）已知，如图1，四边形，，点E在边上，P为边上一动点，过点P作，交直线于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图3，将沿翻折使点D的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：．13．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）在三角形中，．(1)将沿着翻折得到，求证：平分；(2)过作于点，在的延长线上取一点，使得，连接、，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且．①求证：是等腰三角形；②若，探究与的数量关系．14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下：①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE．②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，．③由，则．又因为，所以，则__________又由，得．④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________．(1)请你补全小明的解题思路．(2)参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，中，，，BD平分，求证：．15．（2021秋·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，中，，，过点作，且，连接．(1)如图1，若，则的面积为；（请用含的式子表示的面积；提示：过点作边上的高）(2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；(3)如图3，将沿翻折，得到，，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程）轴对称中的15道旋转问题专训1．（2023·广东深圳·校考三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，在中，，，，点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正确的结论有（

）．A．个 B．个 C．个 D．个3．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转100°得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知与都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，绕顶点A旋转，连接．以下三个结论：①；②；③；其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH；②连接AG、FH，则AG⊥FH；③当AD⊥BC时，DF的长度最大；④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针旋转.如图②，当时，此时.继续旋转三角尺，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）其他所有可能符合条件的度数为_______8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是：_______________．（填序号）10．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M落在点N处，若,且B、M、N三点恰共线，则=_______．11．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知：如图1，点C为线段上一点，都是等边三角形，交于点E，交于点F．(1)求证：；(2)求证：为等边三角形；(3)将绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出