11.2 与三角形有关的角（原卷版）VIP

11.2与三角形有关的角1.理解和掌握三角形内角和定理的证明以及应用，掌握有两个锐角互余的三角形是直角三角形；2.理解和掌握三角形外角的概念和外角定理。一、三角形的内角1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。如图△ABC中，∠A，∠B，∠C的和为180°。注意在任何三角形中，至少有两个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角。2.符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。变式：∠A=180°-∠B-∠C。【理解与拓展】①三角形内角和等于180°，与三角形的形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°。②利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角的度数。③三角形内角和定理的一个重要推论：直角三角形的两个锐角互余。3.三角形内角和定理的证法：在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加辅助线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知条件与未知问题的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题。这些在原来的图形上添加的线叫作辅助线。辅助线通常画成虚线。4.证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的3个角“拼凑”成一个“整体”，即借助辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的。在证明三角形内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：①构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让3个内角组成一个平角，如图①和图②。②构造同旁内角：如图③，过点C作CM∥AB，利用∠B与∠BCM是同旁内角可证。题型一与平行线有关的三角形内角和问题如图，，点在上．求证：．1．完成下列推理过程：如图，已知，，求证：．2．已知：如图，AB∥CD，∠B＝∠D．求证：∠1＝∠2．题型二与角平分线有关的三角形内角和问题如图，在中，，，平分，求的度数．1．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数．2．如图，在中，是的角平分线，，若，，求的度数．题型三三角形折叠中的角度问题（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）．（2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．2．（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______．（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值．（3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由．（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由．题型四三角形内角和定理的应用如图，在中，于点D，于点G，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．1．如图，是的高，平分．(1)若，，求的度数；(2)若，求的度数．2．如图，是的高，，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数．题型五直角三角形的两个锐角互余如图，在中，，是角平分线，且，求证：．1．为的高，相交于H点，，求．2．如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数．二、三角形的外角1.三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角。如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角。2.三角形外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上。②一条边是三角形的一边。③另一条边是三角形某条边的延长线。【理解与拓展】三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有6个外角，通常每个顶点处取一个外角来计算外角和。3.三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。【理解与拓展】①三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理证明经常使用的理论依据。另外，在证角的不等关系时也常用到外角的性质。②三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角。③利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上。4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。题型六三角形外角的性质如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．1．如图，已知中，，平分，E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F．若，求的度数．2．在中，，，，求的度数．中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．(1)如图1，猜想与的关系，并说明你的理由；(2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点．求证：．1．如图，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．2．如图，中，D是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若．(1)求证：．(2)若，平分，求的度数．一、单选题1．在中，，按图中虚线将剪去后，等于（

）．A． B． C． D．2．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．如图，在，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（

）A．22° B．21° C．20° D．19°5．如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动．在旋转过程中，下列说法不正确的是（

）A．当与垂直时， B．当与平行时，C．当与垂直时， D．当与平行时，6．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（）A． B． C． D．7．如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（

）A． B． C． D．8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题9．如图，，则___________．10．如图，，，，为上一点，且，在直线上取一点，使，则的值为__________．11．已知平分平分，过P作，若，则_____．12．如图，在中，，是斜边的中点，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，则_______°．13．如图，在中，，，，则__________．14．如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是_________（填序号）．三、解答题15．已知，如图，于，于，，，(1)求证：．(2)若，，求的度数．16．如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含的三角板的一条直角边重合．(1)求证：(2)若分别交，于点，，交于点，求的度数．17．已知，如图，在中，角平分线，相交于点．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数；(3)若，，试求，之间的数量关系．18．探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．19．，直线交于，交于，将沿折叠，使落在同一平面上的处，的两边与、的夹角分别记为，．(1)如图①，当落在四边形内部时，探索与之间的数量关系，并说明理由．(2)如图②，当落在下方时，请直接写出与之间的数量关系．(3)如图③，当落在右侧时，探索与，之间的数量关系，并说明理由．20．如图1，已知直线，且和分别交于两点，点P在线段上．(1)试找出之间的等式关系，并证明；(2)应用（1）的结论解答下列问题：①如图2，点A在B处的北偏东方向上，点A在C处的北偏西方向上，求的度数；②在图3中，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一小半圆），求的度数．21．（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线