现代控制理论第4章

现代控制理论宁波大学信息科学与工程学院蓝艇Office:曹光彪信息楼109室Tel-mail：线性系统的可控性与可观测性线性定常系统的线性变换线性定常系统的反响结构与状态观测器李雅普诺夫稳定性分析线性系统的状态空间分析与综合线性系统的状态空间描述Contents概述经典线性系统理论以传递函数为根底单输入-单输出线性定常系统的分析和综合只能揭示输入-输出间的外部特性难以处理多输入-多输出系统现代控制理论以状态和状态空间概念为根底不仅反映输入-输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性。既适用于单输入-单输出系统，又适用于多输入-多输出系统。线性系统的状态空间描述R-L-C串联电路的两类描述：线性系统的状态空间描述令令假设，那么电路中其它变量可唯一地确定，称为完全描述的电路变量。线性系统的状态空间描述状态变量对应的矩阵方程：称状态方程如在电路中令是输出，并令状态空间描述〔状态空间模型，状态空间表达式〕状态方程输出方程线性系统的状态空间描述状态空间的根本概念状态和状态变量：表征系统运动的信息称为状态。状态变量：确定系统状态的一组独立〔数目最少〕的变量。对于物理系统而言：独立储能元件数初始条件数目独立储能元件的特征变量个数n阶系统（n个状态变量）状态向量：状态空间：状态变量：n个状态为坐标轴构成的n维空间状态与状态轨迹线性系统的状态空间描述状态方程：(1)单输入情况(2)多输入情况线性系统的状态空间描述输出方程：(1)单输出情况(2)多输入-多输出情况线性系统的状态空间描述状态空间表达式：单输入-单输出一般形式多输入-多输出的一般形式：线性系统的状态空间描述R-L-C串联电路的状态空间描述假设假设取线性系统的状态空间描述假设注意：状态变量的选择不唯一，一组状态变量与另一组状态变量之间存在非奇异线性变换状态空间表达式的建立由系统微分方程或传递函数导出线性定常连续系统状态空间表达式。由系统微分方程导出状态空间表达式〔1〕输入变量不含导数项按以下选取状态变量状态空间表达式的建立状态空间描述状态空间表达式的建立绘制状态变量图〔结构图〕〔2〕输入量含有导数项状态空间表达式的建立为了使状态方程中不包含输入的导数项，选择状态变量状态空间表达式的建立……将上述关系代入的表达式状态空间表达式的建立各系数hi确实定状态空间描述状态空间表达式的建立绘制状态变量图〔结构图〕状态空间表达式的建立举例：列写系统的状态空间描述。选择状态空间表达式：状态空间表达式的建立由系统传递函数建立状态空间表达式设系统传递函数为进一步整理为系数计算公式状态空间表达式的建立〔1〕串联分解严格有理真分式的几种状态方程形式引入中间变量状态空间表达式的建立列写状态空间表达式令状态空间表达式的建立考虑那么有注意：矩阵A〔称为友矩阵〕和b,具有上述矩阵形式的状态空间描述，称为可〔能〕控标准型。状态空间表达式的建立可控标准型状态变量图状态空间表达式的建立假设因为这就是输入没有导数项的情况：状态空间表达式的建立当对应的微分方程：状态变量按下式选择：经整理后可〔能〕观测标准型状态空间表达式的建立A和c的形式称为可观测标准型最后有状态空间表达式的建立可观标准型状态变量图状态空间表达式的建立可控标准型的系数矩阵与可观测标准型系数矩阵之间的关系：可控标准型可观测标准型上述关系称为对偶关系状态空间表达式的建立举例：〔1〕可控标准型可控标准型的状态与输出之间的关系：状态空间表达式的建立令可得以下关系式：最后可导出：状态空间表达式的建立可观测标准型：对应的状态变量与输入、输出量的关系：状态变量的选取状态空间表达式的建立〔2〕只含有单实极点的情况(并联分解〕典型一阶惯性环节的状态图：假设设传递函数为状态空间表达式的建立设状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解〔1〕齐次状态方程解1)幂级数法设的解是t的向量幂级数代入比较等式两边的系数：状态方程的解定义为矩阵指数函数状态转移矩阵状态方程的解2)拉普拉斯变换解法对齐次方程两边取拉普拉斯变换状态转移矩阵状态方程的解可以证明：无论矩阵A是否奇异，是非奇异的，即存在例1.用L变换求以下矩阵的矩阵指数函数状态方程的解状态方程的解〔2〕状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵具有以下性质：〔1〕〔2〕并且有〔3〕状态方程的解〔4〕〔5〕令状态方程的解〔7〕〔6〕状态方程的解〔8〕假设假设〔9〕假设引入那么有状态方程的解(10)两种特殊的状态转移矩阵计算A是约当矩阵状态方程的解状态方程的解例１：求如下状态方程的状态转移矩阵和状态方程的解解：状态转移矩阵状态方程的解例２：求如下状态方程的解求状态转移矩阵方法一：状态方程的解方法二状态方程的解例３：求由状态方程的解状态方程的解〔3〕非齐次状态方程的解求解方法：积分法和L变换法1)积分法有等式两边积分状态方程的解一般有2)L变换法状态方程的解状态方程的解例4在例2已计算输入为单位阶跃函数状态方程的解传递函数矩阵设令初始条件为零(1)定义传递函数矩阵传递函数矩阵例4：设系统传递函数矩阵传递函数矩阵(2)开环与闭环传递函数矩阵G(s)H(s)开环传递矩阵输入向量与输出向量之间的传递矩阵传递函数矩阵输入向量与偏差向量之间的传递矩阵G(s)H(s)传递函数矩阵(3)传递矩阵的对角化与应用——解耦控制每个输入量一个输出量解耦后的传递矩阵必为对角阵，即假设系统的输入、输出的维数相等。传递函数矩阵解耦后输入输出为了确保输入能控制每个输出，那么要求对角化的传递矩阵是非奇异的解耦控制——引入控制装置使系统矩阵对角化线性定常系统的两种简单的解耦的方法:(1)用串联补偿器实现解耦(2)用前馈补偿器实现解耦传递函数矩阵解耦控制——引入控制装置使系统矩阵对角化1〕用串联补偿器实现解耦H(s)传递函数矩阵

现希望为对角阵，各元素与性能指标要求有关。假设在H为对角阵对角阵为对角阵串联补偿器设计传递函数矩阵2〕用前馈补偿器实现解耦原闭环系统引入前馈后前馈补偿器设计传递函数矩阵例5：设系统结构如下图解耦系统的闭环传递矩阵传递函数矩阵〔1〕原系统的闭环传递函数矩阵传递函数矩阵(2)串联补偿器设计设反响矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵前馈补偿器实现解耦:前馈补偿器设计传递函数矩阵线性系统的可控性与可观测性用状态空间表达式描述系统，一般要考虑两个问题：〔1〕在有限时间内，能否通过施加适当的控制量将系统从任意初态转移到其它确定的状态上去。〔可控性问题〕〔2〕由于状态变量不是都可测量，能否在有限的时间内根据对输出的测量来确定初态。〔可观测性问题〕线性系统的可控性1、线性系统的可控性例1：一系统的状态方程可控性问题〔1〕假设，可以控制并且通过耦合关系影响到达间接控制，所以都是可控制的。〔2〕假设，可以控制，不能影响，所以不可控制的。线性系统的可控性例2：电桥电路设状态变量分别为输出变量为电路动态方程：线性系统的可控性输入电压同时控制电路状态可控。当电桥处于平衡，假设无论输入变化，但。不可控当电桥平衡时，动态方程化简为从上述关系可知：不可控电桥电路的状态不完全可控。线性系统的可控性可控性定义考虑线性时变系统的状态方程状态可控:p.469系统可控:p.470系统不完全可控:p.470线性系统的可控性容许控制线性定常系统，系统可控性与初始时刻的选取无关状态与系统可达：线性定常连续系统：可控性和可达性是等价的离散系统和时变系统，可控性和可达性两者是不一定等价的．线性系统的可观性2、线性系统的可观测性考虑线性时变系统的状态空间描述状态方程的解输出响应假设，均，初始状态未知线性系统的可观性可观测性是可由完全估计的性能．可由来估计系统完全可观测：p.471系统不可观测：p.471线性系统的可控性判据3.线性定常连续系统的可控性判据设单输入/单输出线性定常系统状态方程的解为简单起见，设设系统状态可控即在线性系统的可控性判据令：关心的是找出能判定系统可控的条件，由凯勒-哈密顿定理线性系统的可控性判据或：可控性矩阵上述线性方程组有解〔单输入/单输出系统可控〕的充要条件：同理可以导出多输入系统的可控的充要条件：输入为p维上述线性方程组有解〔多输入系统的可控〕的充要条件：线性系统的可控性判据例3：判断以下系统的可控性系统不可控线性系统的可观性判据４、线性定常系统的可观测性判据线性定常系统的输出：局部令：由凯勒-哈密顿定理，可得线性系统的可观性判据由量测值唯一地确定的充要条件〔系统可观性充要条件〕：多输出系统的可观测性的充要条件：线性系统的可观性判据例：判断以下连续系统的可观测性〔1〕〔2〕线性系统的可观性判据例：系统的状态空间描述判别系统的可控性与可观测性。解：可控性矩阵系统不可控。可观测矩阵系统不可观测。对偶性原理5．对偶性原理可控性与可观性在概念和判据形式上，具有一定的相似性，两者之间存在一定的内在关系，这种内在关系称为对偶性原理。设系统定义系统的对偶系统对偶性原理系统：对偶系统：系统与对偶系统的可控性与可观测性之间的关系系统可控性充要条件：对偶性原理可观测性充要条件：对偶系统可控性充要条件：可观测性充要条件：等价对偶性原理对偶系统系统可控性充要条件可观测性充要条件对偶系统系统可控性充要条件可观测性充要条件对角标准型可控性和可观测性判据设系统状态空间模型经线性非奇异变换后对角标准型可控性和可观测性判据结论：线性非奇异变换不会改变原系统的可控性和可观测性对角标准型可控性和可观测性判据〔1〕可控性判据系数矩阵A为对角标准型n个互不相同的实数特征值n个维的行向量系统可控的充要条件：对角标准型可控性和可观测性判据由满秩

行线性无关对角标准型可控性和可观测性判据结论：系统可控的充要条件假设中某个行向量为零向量，所对应状态变量是不可控的。即均不为零向量对角标准型可控性和可观测性判据例3：可以看出：系统是可控的，如果那么系统不可控，不可控分量不失一般性，讨论以下系统矩阵和输入矩阵系统可控的充要条件：系数矩阵A为Jordan标准型对角标准型可控性和可观测性判据〔2〕可观测性判据系数矩阵A为对角标准型n个行向量由于对角标准型可控性和可观测性判据由满秩

列线性无关即均不为零向量结论：系统可观测的充要条件假设中某个列向量为零向量，所对应状态变量是不可观测的。对角标准型可控性和可观测性判据系数矩阵A为Jordan标准型不失一般性，讨论以下系统矩阵和输入矩阵系统可观测的充要条件：上述结论可推广到n维状态空间。对角标准型可控性和可观测性判据判断系统的可观性。系统状态不可观例4：例题-判断可控性1.2.3.例题-判断可控性4.5.6.例题-判断可观性1.2.3.例题-判断可观性4.5.6.可控性和可观性与传递函数的关系对于一个给定的系统，既可以用状态空间模型去描述，又可以用传递函数去表征。这两种描述方法所得结果是否完全相同？图示系统的闭环传递函数：存在零点与极点相消。可控性和可观性与传递函数的关系状态空间描述：可控性和可观性与传递函数的关系定理2：单输入-单输出线性定常系统的传递函数假设有零、极点对消，根据状态变量的不同选择，系统或为不可控，或为不可观，或既不可控又不可观。什么情况下，两种描述等价？定理1：给定系统(A,B,C)的传递函数矩阵G(s)所表示的是该系统可控并且可观测的那局部子系统。实际系统是不稳定的。可控标准型和可观标准型线性定常系统的线性变换对线性系统进行非奇异变换的目的:便于系统分析与综合设计线性变换后的典型形式:系统矩阵Ａ对角化系统矩阵Ａ约当化{A,b}化为可控标准型{A,c}化为可观测标准型系统结构分解状态空间表达式的线性变换设动态系统描述为令P是线性非奇异变换阵非奇异变换的目的使得标准化，便于分析和计算常用的线性变换关系〔1〕化A阵为对角型1)设为任意形式的方阵，有n个互不相同的实数特征值是以下特征方程的解非奇异变换阵有实数特征向量组成特征向量满足以下方程式：常用的线性变换关系2〕假设为友矩阵，具有n个互不相同的特征值那么范德蒙特矩阵常用的线性变换关系3〕设A阵具有m重实数特征值，其余为〔n-m〕个互不相同的实数特征值，在求解时仍然有m个独立的实特征向量常用的线性变换关系例1：将以下状态方程化为对角线型解：特征方程常用的线性变换关系常用的线性变换关系常用的线性变换关系〔2〕化阵为Jordan型1)设A矩阵具有m重实数特征值，其余为〔n-m〕个互不相同的实数特征值，在求解时，只有一个独立的实特征向量只能化A为Jordan型矩阵Jordan块常用的线性变换关系这时是广义实特征向量，满足是互不相同特征值对应的特征向量常用的线性变换关系2)假设A为友矩阵〔可控标准型的A矩阵〕只有一个独立的实特征向量常用的线性变换关系3)设A阵有五重特征值有两个独立的实特征向量其余(n-5)个特征值为互异，可能化A为如下Jordan型矩阵常用的线性变换关系〔3〕化可控系统为可控标准型单输入系统的可控标准型可控性矩阵一个不具有可控标准型的可控系统，可以通过线性变换化为可控标准型。常用的线性变换关系设设变换阵常用的线性变换关系变换阵P可由以下计算获得：(a)计算(b)计算(c)选择(d)构造Ｐ(e)计算对偶原理求可观标准型求的可观标准型写出对偶系统列出对偶系统可控性矩阵求出对偶系统的可控标准型得到原系统的可观标准型非奇异线性变换的不变性令(1)变换后的系统特征值不变非奇异线性变换的不变性(2)变换后的系统传递矩阵不变(3)变换后的系统可控性不变(4)变换后的系统可观测性不变线性定常系统的结构分解一个不可控系统，必然含有“可控〞和“不可控〞两种状态．一个状态不完全可观测的系统，必然含有“可观测〞和“不可观测〞两局部状态从可控性、可观测性出发，状态变量可以分为：可控可观测：不可控不可观测：可控不可观测：不可控可观测：假设系统状态不完全可控、不完全可观测，那么可通过线性非奇异变换，将系统分解为上述四类子系统：系统的标准分解线性定常系统的结构分解〔1〕系统按可控性结构分解设：不完全可控系统假设可控性矩阵从中选择个线性无关的列向量另任意选个维的线性无关的列向量构造一个非奇异变换阵线性定常系统的结构分解可控子系统：不可控子系统：线性定常系统的结构分解特点：1)线性定常系统的结构分解2)若不可控子系统的仅含稳定的特征值，以保证系统稳定。3)由于的不唯一性，可控性结构分解是不唯一的。线性定常系统的结构分解5)可控性结构分解实际上为判断系统可控性提供了一个准那么。

4)可控子系统的稳定性由的特征值所决定，不可控子系统的稳定性由的特征值所决定线性定常系统的结构分解〔2〕系统按可观测性结构分解设：不完全可观测控系统假设可观测性矩阵线性定常系统的结构分解从中选择个线性无关的行向量另任意选个维的线性无关的行向量构造一个非奇异变换阵线性定常系统的结构分解可观测子系统：不可观测子系统：线性定常系统的结构分解〔3〕系统结构的标准分解设：不完全可控、不完全可观测控系统1〕进行可控性分解2〕对可控子系统进行可观测性分解根据可控性矩阵构造根据可控子系统的可观测矩阵构造线性定常系统的结构分解3〕对不可控子系统进行可观测性分解根据不可控子系统的可观测矩阵构造线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解不可控不可观测子系统：不可控可观测子系统：可控可观测子系统：可控不可观测子系统：系统特征值：线性定常系统的结构分解系统传递函数矩阵：线性定常系统的反响结构输出反响:用输出量作为反响状态反响:用系统内部的状态变量作为反响基于经典控制理论的系统设计与综合：输出反响。基于现代控制理论〔状态空间法〕的系统设计与综合采用：状态反响、输出反响状态反响需要状态可物理测量，实际不可能完全物理上可检测的。状态观测器问题线性定常系统的反响结构1〕状态反响设系统的状态空间模型设系统的控制量：状态反响系统的动态方程线性定常系统的反响结构状态反响后的传递函数矩阵：闭环系统：线性定常系统的反响结构2〕输出反响输出反响到状态微分的反响系统输出反响两种输出反响：〔1〕输出反响到状态微分的反响系统〔2〕输出反响到参考输入的反响系统传递函数：线性定常系统的反响结构输出反响到参考输入的反响系统传递函数：如果输出反响等价与状态反响线性定常系统的反响结构〔2〕反响结构对系统性能的影响状态反响、输出反响都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。1〕对系统可控性和可观测性的影响定理9-1：状态反响的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。状态反响系统的动态方程线性定常系统的反响结构状态反响可能会影响系统的可观性的解释:由输出方程：假设输出的量测中不含有任何系统状态。线性定常系统的反响结构定理9-2：输出反响到状态微分的反响系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。定理9-3：输出反响到参考输入的反响系统〔即输出反响〕，不改变系统可控性和可观测性。线性定常系统的反响结构2〕对系统稳定性的影响状态反响系统的动态方程状态反响和输出反响都会改变系统的系数矩阵，所以其会影响系统的稳定性。假设状态反响系统是渐近稳定的，那么要求〔A-BK〕的特征值均有负实部，那么系统实现了状态反响镇定假设通过状态反响使得闭环系统成为稳定系统，那么称为镇定．线性定常系统的反响结构定理9-4：当且仅当线性定常系统的不可控局部渐近稳定时，系统是状态可镇定的。由于系统{A,B}不完全可控，那么有可控性结构分解引入状态反响系统的极点配置闭环系统的性能与闭环极点〔特征值〕密切相关。在经典控制理论中用调整开环增益、串联校正、并联校正来配置闭环极点，改善闭环系统的性能。状态空间方法：利用状态反响或输出反响来配置极点。状态反响在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。两个问题：〔１〕极点可配置的条件；〔２〕确定极点配置所需要的反响增益矩阵。系统的极点配置1〕利用状态反响的极点可配置条件定理9-5：用状态反响任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控证明：(1)极点可配置条件在此讨论的极点配置条件适合于:单输入-单输出系统,多输入-多输出系统。以单输入-多输出系统来证明该定理。系统的极点配置设受控系统{A,b}是状态可控的，经非奇异变换将矩阵A、b可化为可控标准型，有〔1〕充分性系统的极点配置变换后的状态反响矩阵系统的极点配置通过选择可以满足方程中n个任意特征值。系统的极点配置〔２〕必要性假设系统不可控，必有一局部状态与无关，不可能具有可控标准型，也就不可能得到全状态反响，不可控局部的子系统的特征值不能重新配置。经过变换后的系统的极点配置证明：

以多输入-单输出系统为例，给出定理的证明：2〕利用输出反响的极点可配置条件定理9-6：1、用输出反响到状态微分的反响任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测由对偶定理：假设受控系统{A,B,c}可观测，那么对偶系统{AT,cT,BT}可控，由状态反响极点配置定理知的特征值可任意配置。说明：当且仅当受控系统{A,B,c}可观测，那么〔A-hc)的特征值可任意配置。系统的极点配置适中选择f可实现特征值任意配置。2、用输出反响到参考输入端，反响增益矩阵为F，在单输出情况下，F=f，那么另一方面，如果比例的状态反响要用输出反响来实现，这就带来一个问题：这时要求输出反响含有输出量的导数，f不是常数矩阵；显然，假设f是常数矩阵就不能任意配置极点。系统的极点配置〔2〕单输入－单输出系统的极点配置算法计算状态反响增益矩阵的标准算法：给定可控系统{A,b}和期望的闭环特征值，要确定状态反响增益向量，使闭环系统的动态矩阵的特征值为〔１〕计算Ａ的特征多项式〔２〕计算由所决定的希望特征多项式系统的极点配置(4)计算变换阵(5)求P(6)计算反响增益向量(3)计算系统的极点配置例1：受控系统求状态反响矩阵使系统的闭环极点为解：〔1〕列写状态空间表达式，能控标准型系统的极点配置系统的极点配置系统的极点配置例2：受控系统求状态反响矩阵研究使系统的闭环极点为的可能性。解：对象传递函数存在零极点对消，系统可控不可观，或系统不可控可观。假设按可控标准型实现，那么状态反响矩阵设计结果和例1一致。现按可观标准型实现，设计状态反响矩阵系统的极点配置系统的极点配置系统的极点配置上述方程与方程〔1〕是矛盾的，所以无解，表示系统状态不完全可控，无法用状态反响实现闭环极点任意配置。系统的极点配置例３系统状态方程求状态反响向量，使系统的闭环特征值为解：系统的可控性判别矩阵系统的极点配置系统的特征多项式希望特征多项式那么可求得变换阵标准算法系统的极点配置一般方法:系统的极点配置系统的极点配置〔3〕状态反响对传递函数零点的影响设受控系统{A,b}是状态可控的，经非奇异变换将矩阵A、b可化为可控标准型，有系统的极点配置状态反响后的闭环系统传递函数状态反响后的闭环系统传递函数的零点不改变。但这时，可能会存在闭环极点与零点产生对消，并且造成被对消掉的极点后的系统状态不可观测。全维状态观测器及其设计状态观测器、状态估计器、状态重构器全维状态观测器的维数=被控对象的状态维数〔1〕全维状态观测器的构成方案被控对象动态方程：上述的模拟系统模型：由于两个系统的初始状态可能不同，即存在状态误差：输出误差：全维状态观测器及其设计根据反响控制原理：状态观测器的状态微分端状态观测器及其状态反响结构图KABCHABC状态观测器状态反馈全维状态观测器及其设计〔２〕全维状态观测器分析与设计由状态观测器的结构观测器系统矩阵：决定了观测器的特征值观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态，都能保证上述也称为观测器存在的条件。全维状态观测器及其设计考察状态误差动态方程由状态误差动态方程的解：所引入的输出反响不起作用假设输出反响起作用假设的特征值具有负实部，那么全维状态观测器及其设计定理9-7：假设系统〔A，B，C〕状态可观测，那么状态可用的全维状态观测器给出估计值，其中H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。全维状态观测器及其设计例4：设被控对象试设计全维状态观测器，将极点配置到解：〔1〕列写状态空间模型，如考虑可控标准型全维状态观测器及其设计〔2〕设计输出反响阵观测器特征方程：期望观测器特征方程：全维状态观测器及其设计4、别离特性两个问题：〔1〕在状态反响系统中，用状态估计值是否要重新计算状态反响增益矩阵K？〔2〕当观测器被引入系统后，状态反响局部会改变已经设计好的观测器的极点配置？设控制输入：全维状态观测器：全维状态观测器及其设计构造2n维复合系统：引入状态误差动态方程：对2n维复合系统，引入非奇异变换：全维状态观测器及其设计注意：对2n维复合系统的传递函数全维状态观测器及其设计对2n维复合系统的特征值定理9-8(别离定理)：假设被控系统〔Ａ，Ｂ，Ｃ〕可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反响，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行．全维状态观测器及其设计在例4中：被控对象〔全维状态观测器的极点：解：〔1〕列写状态空间模型，如考虑可控标准型采用例4设计的状态观测器并通过状态观测器实现状态反响，将经状态反响后的闭环系统满足：全维状态观测器及其设计全维状态观测器及其设计带全维状态观测器的状态反响系统的状态变量结构图状态观测器状态反馈输出反响与极点配置输出反响与极点配置多输入单输出系统，输出反响到状态微分的反响系统输出反响输出反响与极点配置定理：用输出反响到状态微分，实现任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测。输出反响到状态微分的反响系统的一些性质：〔1〕输出反响不会改变系统的可观性，即经过输出反响后系统仍然可观测，不会改变闭环零点；〔2〕输出反响可能会影响系统的可控性输出反响与极点配置输出反响到参考输入的反响系统输出反响与极点配置状态反响输出反响到参考输入的反响系统的一些性质：〔1〕h为常数矩阵时，不能任意配置闭环极点。〔2〕不会改变原系统的可控性和可观测性李雅普诺夫稳定性概念如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态〔平衡点〕。1)平衡状态:平衡状态的各分量不再随时间变化；假设状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。〔1〕只有状态稳定，输出必然稳定；〔2〕稳定性与输入无关。2)李雅普诺夫稳定性定义：如果对于任意小的>0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足lim，那么称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：3)一致稳定性：通常δ与、t0都有关。如果δ与t0无关，那么称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳定，那么一定是一致稳定的。李雅普诺夫稳定性概念4〕渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普假设夫意义下的稳定性，且有：

称此平衡状态是渐近稳定的。5〕大范围稳定性：

当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时。6〕不稳定性：不管δ取得得多么小，只要在内有一条从x0出发的轨迹跨出，那么称此平衡状态是不稳定的。注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时那么认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。李雅普诺夫稳定性概念设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，那么状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。〔a〕李雅普诺夫意义下的稳定性〔b〕渐近稳定性〔c〕不稳定性李雅普诺夫稳定性间接判别法李雅普诺夫第一法〔间接法〕是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法〔直接法〕根本原理：根据物理学原理，假设系统贮存的能量〔含动能与位能〕随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。

实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，是一个标量函数，记以；假设不显含t，那么记以。

考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。

实践说明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。标量函数定号性正定性：标量函数在域S中对所有非零状态有且，那么称均在域S内正定。如是正定的。负定性：标量函数在域S中对所有非零x有且，那么称在域S内负定。如是负定的。如果是负定的，那么一定是正定的。负〔正〕半定性：，且在域S内某些状态处有，而其它状态处均有〔〕，那么称在域S内负〔正〕半定。设为负半定，那么为正半定。如为正半定不定性:在域S内可正可负，那么称不定。如是不定的。二次型函数是一类重要的标量函数，记其中，P为对称矩阵，有。

标量函数定号性当的各顺序主子行列式均大于零时，即那么正定，且称P为正定矩阵。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即那么负定，且称P为负定矩阵。假设主子行列式含有等于零的情况，那么为正半定或负半定。不属以上所有情况的不定。李雅普诺夫第二法稳定性定理

设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性地把状态空间原点作为平衡状态,并设在原点邻域存在对x的连续一阶偏导数。

定理1假设〔1〕正定，〔2〕负定；那么原点是渐近稳定的。负定表示