适用于老高考旧教材广西专版2023届高考数学二轮总复习第二部分7.3随机变量及其分布课件理

7.3随机变量及其分布专题七内容索引0102考情分析•备考定向高频考点•探究突破03预测演练•巩固提升考情分析•备考定向试题统计题型命题规律复习策略(2018全国Ⅰ,理20)

(2018全国Ⅲ,理8)(2019全国Ⅰ,理21)(2019全国Ⅱ,理18)(2020全国Ⅰ,理20)(2022全国乙,理10)(2022全国甲,理2)(2022全国甲,理19)选择题解答题离散型随机变量分布列的计算涉及排列、组合和概率的知识,综合性强,是高考考查的重点;两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型,应用性强,是高考命题的重中之重;高考常把随机变量的分布列、均值和方差结合在一起重点考查考生分析、解决实际问题的能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,特别是条件概率与相互独立事件的概率;离散型随机变量及其分布列;二项分布与正态分布;离散型随机变量的分布列、均值与方差.高频考点•探究突破命题热点一条件概率与相互独立事件的概率【思考】

如何求事件的条件概率?判断相互独立事件的常用方法有哪些?例1(1)(2022广西贵港模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,记两枚骰子正面向上的点数分别为x,y,则在2x+y=12的条件下,x与y不相等的概率为(

)(2)2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”),明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为,那么三人中恰有两人通过的概率为(

)DC题后反思1.条件概率的两种求解方法:2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).(3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.对点训练1(1)(2022北京东城三模)若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程(两针)接种率为60%,加强免疫(第三针)接种率为36%,则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人,此人完成了加强免疫接种的概率为(

)A.0.6 B.0.375 C.0.36 D.0.216(2)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是

.

A0.18解析:

(1)在该地区60岁及以上人群中随机抽取一人,设事件A为“抽取的一人完成全程接种”,事件B为“抽取的一人完成加强免疫接种”,则P(A)=0.6,P(AB)=0.36,所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人,(2)前四场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前四场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.命题热点二离散型随机变量及其分布列【思考】

如何求离散型随机变量及其分布列?例2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温/℃[10,15)[15,20)[20,

25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解:

(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由题中表格数据知因此X的分布列为

X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25

℃,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1

200-2n;若最高气温低于20

℃,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×0.4+(1

200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20

℃,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20

℃,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,且最大为520元.题后反思求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定随机变量的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出随机变量取各个值的概率.对点训练2(2022全国甲,理19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与数学期望.解:

(1)记“甲学校获得冠军”为事件A,则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6,所以甲学校获得冠军的概率为0.6.(2)X的可能取值为0,10,20,30,则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.命题热点三二项分布与正态分布【思考】

应用独立重复试验概率公式应满足怎样的条件?例3为了解某市高三学生的身体情况,某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测,其中第一次体测的成绩(满分:100分)的频率分布直方图如图所示,第二次体测的成绩X~N(65,2.52).(1)试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低;(2)若该市有高三学生20000人,记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀,假设这20000人都参与了第二次体测,试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数;(3)以频率估计概率,若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人,记这4人成绩在区间[60,80)上的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.附:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.解:

(1)由频率分布直方图可得第一次体测成绩的平均分为:0.12×45+0.2×55+0.25×65+0.35×75+0.06×85+0.02×95=65.9;第二次体测的成绩X~N(65,2.52),故第二次体测成绩的平均分为65.因为65.9>65,所以第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分.故ξ的分布列为

题后反思利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.对点训练3为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.解:

(1)抽取的一个零件的尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]上的概率为0.997

3,从而该零件的尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为0.002

7,故X~B(16,0.002

7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997

316≈0.042

3.X的数学期望E(X)=16×0.002

7=0.043

2.(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002

7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在区间(μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042

3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.命题热点四离散型随机变量的均值与方差【思考】

求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有哪些?例4有750粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一,将750粒种子分种在250个坑内,每坑3粒;方案二,将750粒种子分种在375个坑内,每坑2粒.已知每粒种子发芽的概率均为0.6,并且,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次,且补种的种子同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元,补种(按相应方案补种相应粒数)1个坑需1元,每个成活的坑可收获125粒试验种子,每粒试验种子收益1元.(1)用X元表示播种费用,分别求出两种方案的数学期望;(2)如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案?用X1元表示一个坑的播种费用,则X1的可能取值是2,3,所以P(X1=2)=p2,P(X1=3)=p1,所以X1的分布列为用X2元表示一个坑的播种费用,则X2的可能取值为2,3,所以P(X2=2)=p4,P(X2=3)=p3.所以X2的分布列为

(2)设收益为Y元,方案一:用Y1元表示一个坑的收益,则Y1的可能取值为0,125,Y1的分布列为方案二:用Y2元表示一个坑的收益,则Y2的可能取值为0,125,Y2的分布列为因为810-516=294(元),45

675-31

122=14

553(元),即方案二所需的播种费用比方案一只多了294元,但是收益比方案一多14

553元,所以应该选择方案二.题后反思求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求随机变量Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数);(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).对点训练4(2022江西南昌模拟)某学校举行“百科知识”竞赛,每个班选派一名学生代表参加.某班经过层层选拔,李明和王华进入最后决赛,决赛方式如下:给定4个问题,假设李明能且只能对其中3个问题回答正确,王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为

.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答,而且每个人对每个问题的回答均相互独立.(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率;(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为X,Y,求X,Y的数学期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.预测演练•巩固提升B解析:

在A同学先胜一局的条件下,A同学最终能获胜有两种情况:2.某地市在一次测试中,高三学生数学成绩ξ服从正态分布N(80,σ2),已知P(60<ξ<80)=0.3,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析,则应从100分以上的试卷中抽取(

)A.10份

B.15份C.20份

D.30份C解析:

由题意可知正态曲线的对称轴为直线x=80,所以P(80<ξ<100)=P(60<ξ<80)=0.3,所以P(ξ>100)=0.5-0.3=0.2,故应从100分以上的试卷中抽取100×0.2=20(份).3.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为

.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为

;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

.

4.(2022新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

0.14解析:

由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.1解析:

因为X~B(100,p),所以E(X)=