2022-2023学年湖南师大附中九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年湖南师大附中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×1072．（3分）下列运算正确的是（）A．a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a5 C．（﹣2a2）3＝8a6 D．（a+b）2＝a2+b23．（3分）古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝40°，则∠ECD的度数为（）A．160° B．140° C．50° D．40°6．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．55° B．70° C．110° D．140°7．（3分）如图，△ABC与△A'B'C′位似，位似中心为点O，OA'＝2AA'，△ABC的周长为9，则△A'B'C'周长为（）A． B．6 C．4 D．8．（3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣5，﹣3），B（3，4），则关于x的方程ax2+bx+c＝kx+m的解是（）A．x1＝﹣5，x2＝﹣3 B．x1＝﹣3，x2＝4 C．x1＝3，x2＝4 D．x1＝﹣5，x2＝310．（3分）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），其对称轴与x轴交于点F，D是以点C（0，4m）为圆心，m为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，则线段EF的最大值与最小值的比值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：x3﹣x＝．12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．13．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，4），则b的值为．14．（3分）如图等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为1，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为．16．（3分）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推号箱子，再推号箱子，最后推号箱子．三、解答题（17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题每个9分，24、25题10分，共计72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中．19．（6分）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），（1）以原点O为位似中心，在第一象限内，画出四边形ABCD的位似图形A1B1C1D1，使得对应边长变为原来的；（2）请分别写出点A1和B1的坐标：A1，B1．20．（8分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为人；（2）请补全条形统计图；（3）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法，求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．21．（8分）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）22．（9分）现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？23．（9分）如图1，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）当AC＝6，BD＝4时，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，如图2，若直线AO与⊙O分别交于P、Q两点，连接PC，求tanP．24．（10分）定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在△ABC与△AED中，△ABC∽△AED．所以称△ABC与△AED为“阳似三角形”，连接EB，DC，则为“阳似比”．（1）如图1，已知Rt△ABC与Rt△AED为“阳似三角形”，其中∠CBA＝∠DEA＝90°，当∠BAC＝30°时，“阳似比”＝；（2）如图2，二次函数y＝﹣x2+3x+4交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．①点M为直线y＝x在第一象限上的一个动点，且△OMB与△CNB为“阳似三角形”，连接CM，当点N落在二次函数图象上时，求出线段OM的长度；②若点M在以O为圆心的圆上，CN＝3，求BM+MC的值．25．（10分）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+m（k≠0）有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．（1）若点A为抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；（2）已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1，是否存在二次函数y3＝ax2+bx+c，其图象经过点（﹣3，2），使得直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由；（3）已知直线l1：y＝k1x+m1（k1≠0）、直线l2：y2＝k2x+m2（k2≠0）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的两条切线，当l1与l2的交点P的纵坐标为5时，试判断k1•k2是否为定值，并说明理由．

2022-2023学年湖南师大附中九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．C； 2．B； 3．C； 4．D； 5．B； 6．C； 7．B； 8．A； 9．D； 10．D； 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．x（x+1）（x﹣1）； 12．4； 13．2； 14．； 15．； 16．②； ①； ③； 三、解答题（17、18、19题6分，20、21题8分，22、23题每个9分，24、25题10分，共计72分）17．﹣2．； 18．x2﹣x，．； 19．（1，3）； （2，1）； 20．48； 21．（1）观测站A，B之间的距离