2023年高考数学第01讲 平面向量的概念及线性运算

第01讲平面向量的概念及线性运算

一、知识概要

1向量概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量；向

向量平面向量是自由向量

量的大小叫作向量的模

长度为0的向量，其方向是记作0

零向量

任意的

非零向量。的单位向量为片

单位向量长度等于1的向量

方向相同或相反的非零向量

平行向量或共线向量

叫作平行向量或共线向量0与任一向量共线

两向量只有相等或不等，不

相等向量长度相等且方向相同的向量

能比较大小

长度相等且方向相反同的向

相反向量

量0的相反向量为0

2向量的线性运算

向量运

定义法则(或几何意义)运算律

算

―►

a(1)交换律a+b=b+ci

三角形法则

两个向量和的运(2)结合律

加法

算(Q+0)+C=Q+3+d)

—►

a

平行四边形法则

求。与b的相反

向量(-匕)的和的

减法a-b=a+(-。)

运算叫作d与方的占

7

差三角形法则

(1)\Aa\=\A\-\a\

(1)4(〃a)=(4〃)a

求实数a与向量(2)当2>0时，Aa

数乘(2)(2+〃)a=2a+

。的积的运算与d同方向；当4<0

时，石！与a反方向；

(3)A(a+b)=Aa+Ab

当；1=0时，丸。=()

3.共线向量定理

向量”(aw0)与向量力共线的充要条件是存在唯一的实数4,使得力=4a.

二、题型精析

[例1]

(1)在平行四边形A8CD中，4C与3。交于点QE是线段。。的中点，AE的延长线与

交于点尸，若AC=",3O=8,则人尸=().

A.-d+-b

42

C.—a+—b

24

n12,

D.-a+-h

33

(2)如图1-1所示，四边形。4OB是以向量。A=",OB=b为边的平行四边形，又

BM=LBC,CN=，CD试用。力表示OMQN,MN.

33

BD

O/

图1T

【策略点击】

用已知向量表示另外一些向量时,除利用向量的加减法、数乘等运算外,还应充分利用平面几

何的一些定理，在求解过程中，尽可能转化到平行四边形或三角形中去，充分利用相等向量、相反

向量和线段的比例关系杷未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量.

【解】

(1)【解法一】如图1一2所示,=+由平行四边形对角线互相平分及

因:曾△，得

|A3|\EB\3

^AB,^^AF=AD+DF=(AO+OD)+DF=

C.八Id11I,If11八21「

—AC+—BD+-AB=—6T+—/?+-—a——h=—。+—2,故选B.

(22J3223(22J33

,4i

【解法二】如图1一2所示,Ab=AE+E/=-42而AE=AQ+OE=-AC+

32

-BD=-a+-b,:.AF=-a+-b,^.^Q.

42433

图1-2

⑵在二OBM中,0M=08+5M=05+工8A=03+,(QA-函」a+为

66、766

0N=0C+CN=-0D+—0D=-0D=—(0A+0B、=Sb

2633、,3、

MN=ON-0M=—(a-\-b\-\—a-\--b\=-a--b.

3、M66J26

【例2】记max{x,y}=」''"min{x,y}=P''设。，〃为平面向量，则

y,x<y,[x,x<y

)

A”,+W，|d-司}”相加I，网

B.mi„+O|Ja-M}・.min

C.max.Q+〃|2,|rz-Z?|2^„\ci.|2+|Z?|2

D.max^pz+Z?|2,|cz-/?|2}..卜|2+1|2

【策略点击】

判断一个命题是假命题,用排除法举出特例极为重要.当排除了多个假命题，真命题就突显出

来了,当然仍需要厘清确定真命题的理由（选择题不需要证明，但心中应清楚）.

【解】

max{x,y},min{x,y}就是分别求x,y两数中较大的数与较小的数作0A=a,0B=b（如

图1—3所示）,则平行四边形OACB中,OC=。+乩84=。-0.

AC

otB

图1-3

当平行四边形Q4CB为正方形时mn一可｝=卜+可>

|d|=mun(|iz|,|Z?|j.A错误；

当平行四边形O4C8是边长为1,且-403=30的菱形时，

min｛,+“Ja=1/一,="-6(1=\a|=min｛时,同卜B错误;

当平行四边形。4cB是边长为1,且2408=60的菱形时,

0^€｛必+以2,|«—〃［2｝=修+以2=3>2=|&|2+仍/(错误,故选口.

事实上，当/AOB,,90时，

max1,+>|2,|a-Z?|21=OC2=|«|2+也|2-2同网cos/OAC.Ja『+也『；当AOB>90

时,max+6|2,|«-Z?『｝=BA2=|ap+

\b『一2同同cos/AOA.；当同网=（）时，上述不等式也成立.

-1-1

［例3］如图1—4所示，在一ABC中,OC=-OA,OD=-OB,AD与8。相交于点M，设

42

OA=a,OB=b

B

图1-4

⑴试用。和。表示向量OM；

⑵在线段AC上取一点E,在线段3。上取一点P.使EE过点M,设

I13

0E=4。4,0尸=,当EF为AD时,/1==—,此时一+—=7;当E尸为CB时，

22/J

113

彳=一,〃=1,此时；+—=7，有人得出如下结论:不论E]在线段AC,3。上如何变动,

4X〃

13

-+-=7总成立，试问他的这个结论对吗?请说明理由.

A〃

【策略点击】

本题是平面向量与平面几何的综合问题,即利用平面向量的共线定理判定点共线或直线平

行，又是从特殊到一般的探索性问题.第(1)小题的题型较为常见，第(2)小题则颇有新意，值得细心品

味题中的创意.证明三点共线问题可转化为证明两向量平行，这是数形结合思想的具体体现，但要

弄清两向量平行的含义，即两向量所在直线平行或重合时，两向量平行，因此证得两向量平行后，若

两向量所在的两直线有公共点，则两直线必重合,从而可得三点共线.

【解】

(1)设=ma+nh,101]AM-OM-OA=nui+nb-a-+nb,

AD=OD-OA=-OB-OA=-a+-b

22

A、M、。三点共线,AM与A£)共线.

故存在实数/，使AM=fAO,即（加一1）4+〃力=，（一o+

:\m-\)a+nb=-ta-i--th

Hl—1——t

1消去/■得m-1=-2〃,即771+2〃=1,

n=—t,

2

CM=OM-OC=ma+nb----a=m----\a+nb

4I4

一一-11

CB=OB-OC=b——d=——a+b

44

又C、M、B三点共线,：.CM与CB共线，同理可得4m+〃=L

1313

(2)联立Q)(2),解得m=^,n=^.t^OM=-a+^b.

(2)他的结论是对的.理由如下：

13(\\3

EM=OM-OE^-a+-b-Aa^\——A\a+-b

77(7J7

EF=OF-OE=JJOB-AOA=-Aa+"b

又EF与EM共线,故存在实数左，使得EM

即(；一%)〃+-k^-Aa+/b)=-Aka+/Jkh,

=-2k,

：.-7消去左得工一4=•上•，整理即得'+±=7.

377〃4〃

]=〃女,尸尸

方法提炼

1平面向量的线性运算法则和两个重要结论

三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形

法则，共起点的向量差用三角形法则.

结论(1)向量的中线公式若P为线段A3中点厕OP=g(+06).

结论⑵向量加法的多边形法贝|J：44+44+A3A，++4-iA,=AA,-

2平面向量线性运算的常用方法与技巧

(1)进行向量加法和减法运算时，需将两向量平移至共起点.

(2)向量的线性运算中常用的变形如下：

1)化减为加,即运用AB=—BA或A8+B4=0.

2)转化为“顺次首尾相接的形式相加”，运用48+8。=AC.

3)转化为“同一点出发的两个向量的差”，运用。A—。8=r4或=—QA

(3)向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，且可以推广到两个以上的非零

向量相加，这就是向量回路,在解题中应用广泛.

3共线向量定理

⑴证明三点共线的方法:若AB=2AC则A、B、C三点共线.

(2)若a,h不共线，则4〃+=0的充要条件是2=〃=0.

三、易错警示

【例】

下列命题不正确的是.

⑴向量。与b共线为与c共线，则a与c共线.

(2)向量。与万不共线力与c不共线，则。与c不共线.

⑶向量。与b共线的充要条件是有且只有一个实数4,使a=2b.

⑷向量AB与向量CO是共线向量厕A,B,C,D必在同一条直线上.

错解:⑴⑷

【评析及正解】命题⑴⑷确实是错误的，但命题⑵(3)也是错误的，问题是对向量的概念理解

不深，忽视了特殊向量、零向量，把实数的有些运算无根据地类比到向量中而致错误.

正确的解法如下：

【解】

命题⑴若8=0,。与c是非零向量,此时满足条件，但&与c不一定共线，故(1)错误.命题(2)若

a=2c,则存在一非零向量8与a,c均不共线，但。与c共线，故⑵错误.

命题⑶当匕=0时。//IA，故⑶错误.

命题⑷共线向量所在直线可以重合也可以平行，故⑷也是错误的，故(1)⑵⑶⑷都是假命题.