2023年高考数学大招11数列通项构造法

大招11数列通项构造法

大招总结

结论1：«„+,=P4+4(其中p,q均为常数，且〃4(〃-1)20,转化为：。“+1+f=p(a“+，),其中

，=一更工,构造等比数列即可.

pT

结论2:数列的递推关系为。”+]=Aa“+8〃+C型，可化4+]+〃(〃+l)+q=A(a〃+p〃+g)的形式来求

通项.

结论3.形如％=四“+/(其中〃应均为常数，且网(p—1)(仁1)70)，先在原递推公式两边

同时除以/”(也可以同时除以得编=23+',弓I人辅助数列物J(其中a=*)得

qqqqq

d+i=22+'再用待定系数法解决。

qq

结论4.形如,形式,用倒数法将其变形为+"=—」一+：的形式，再利用

也i+ban%%

结论1,求通项公式.形如a„-an+i=〃m⑼用形式，等式两边同除以乙。,用,」——-=m，构造新

数列.

结论5.形如«„+1=pa；(p>0,a.>0),这种类型一般是等式两边取对数后转化为

«„+1=P%+。,再利用待定系数法求解・

结论6.形如an+2=pan+i+饵(其中均为常数)，把原递推公式转化为

,、,[s+t=p,

a„+2-sall+l=r(a“+]-sa“)待定系数法，其中s,f满足<

st=-q.

结论7.若数列%满足4+a,同=/(〃)称为和数歹%满足=/(〃)称为积数列和数列通项

公式

an+an+l=/(〃)=A”+3时，则a,-+a“=A(”-1)+3,两式相减得:%+i-a,-=A,故册是

4+A〃为奇数:

隔项的等差数列，隔项公差d=Aan

〃为偶数:

积数列通项公式a„an+i=/(«)=q"时厕,两式相除

得3=q,故凡是隔项的等比数列，隔项公比为4={如果以上几

I—1

n为偶数

种方法都行不通，尝试写出前几项,观察是否出现了循环，是否是周期数列.

典型例题

例1.已知数列｛%｝中,q=1,=24+3,求an.

解：。“+1=2%+3，根据结论1,设4用+/=2(。“+/),即an+l=2%+rnr=3.

故递推公式为an+l+3=2(q+3),

令d=4+3厕乙=q+3=4,且纱=4田+丁=2

bn4+3

所以｛£｝是以优=4为首项,2为公比的等比数列，

+,

则b„=4x2"i=2日,所以an=2"-3.

例2.设数列｛4｝中,q=1,=3a“+2〃+1,求｛4｝的通项公式.

解：根据结论2,设aw+A(〃+I)+B=3(a“+A〃+B),

2A=2jA=l

=34+2A〃+2B-4与原式比较系数得＜；/

2B—A=1,0=1.

即a〃+]+(〃+1)+1=3(。〃+〃+1),

令〃=%+〃+1,则%=3"且々=q+1+1=3,

・,・｛%｝是4=3为首项，公比q=3的等比数列，

hn—3,3"।=3",「.an=3〃一〃一1.

51(1Y+I

例3.已知数列｛4｝中,q=2,4+]=£4+-例〃

I/1、"+】7/

解：根据结论3,在4田=§4+a两边乘以2向得：2向0巾=§(2"・可)+1,

令b.=2"•an厕么+产g2+1,解之得：2=3-2仁)

所以4

例4.已知数列｛”“｝满足：q=1吗=—,求｛q｝的通项公式.

解：根据结论4,原式两边取倒数得:,=四曰超=3+—设a=,，则2-2i=3,且

4%见

4=1,也,｝是々=1为首项，公差d=3的等差数列，

=l+(n-l)-3=3n-2,.'.6!n

例5.已知数列｛a“｝,%==%(〃.-2)，求通项a„.

解：根据结论4,。“=(九.2),两边取倒数

36*+2

1111，1、-」-+是以为首项为公比的等

—=2-------F3,—F/=2--------\-t2—，=3"=3,36,2

a

a.an_xan明)lnJ

比数列.

----F3=6x2""'=3x2”,a---------

a„"3x2"-3

例6.(2021秋-宿迁期末)数列｛《,｝满足％=；,且a„-an+l

=(2〃+3)44+],则数列｛an｝的前10

项和为:

解：数列｛““｝满足q=,且-。，用=(2〃+3)a“4w运用结论4,」----5-=2〃+3,当”..2

Jan+\an

时,--------=2/14-1,,---------=2x1+3，故,=〃(3+2〃+1)/、

—~-——-=/i(n+2),所以

anan-l4%

111、

〃(〃+2)2、n拉+2

£11111111175

故几1-----1---------1---------F+得1T---------------

232435211122641

故答案为777.

264

例7.若数列｛4｝中=3且a,=个(〃是正整数)厕它的通项公式是q=

解：由题意知%>0,根据结论5,将=a；

两边取对数得lga„+1=21g%，即詈!■=2,

Iga.

所以数列｛Iga,,｝是以1g%=电3为首项,2为公比的等比数列，

lga'=蛔•2"T=lg32',即4=32，

例8.数列｛«„｝：3an+2-5an+i+2an=()(/?..O,neN),a,=a,%=A,求数列｛4｝的通项公

式.

解:由3--5%+2a“=0,3an+2=5an+l-2an

35+x

34.+2+S+i=(5+x)4川一2a„=--，解得x=-2或—3.

X—L

2、

当尤=-3时,。〃+2-4+i=§(Z%+1-4J，且生一％二人一a,

2

则数列｛4+是以〃为首项为公比的等比数列，于是〃向

把〃=1,2,3,代入得

a2-a｝=h-a,

a3-a2=(b-a)-\^,

—(人力电，

a“-a“T=(b-a).r-

\n-2

2+22

把以上各式相加得=伍-。)1+I-4ir

37-I

(6-a)+a=3(。-匕)(：)+3b—2(i.

例9.已知数列｛an｝满足。向+4=2〃—3,若q=2厕冬山=()

A.2007

B.2006

C.2005

D.2009

解：方法k数列｛可｝满足〃向+%=2〃-3,

•・4+2+4+1=2(〃+1)—3=2/1—1,

%-4=2,

当〃=1时,。2+4=-1,二。2=一3.

•••数列｛«2„｝是等差数列,首项为-3，公差为2.

d-,n———3+2(〃-1)=2〃—5.

••%014=2014-5=2009.

故选D.

方法

2:q1„+|=2，故是隔项的等差数列，隔项公差d=2

〃+1

%+2--------1〃为奇数

2

%+2〃为偶数

直接可以得到4“=-3+2(〃-1)=2〃-5,

答案选D.

例10.(2021-河南模拟)已知数列｛a,,｝的前〃项和为S”,且满足q=1,qMe=2",则$2。=()

A.3066

B.3063

C.3060

D.3069

n

解：方法％=l,aflan+l=2>

二〃=1时,%=2.

几.2时，色也=苗比=2,

，数列｛4｝的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.

则邑0=(乌+/++49)+(%+4++/0)

_2'°-12(2,0-1)

2-12-1

=3x1023=3069

故选D.

方法2:a„an+l=f(n)=2"时厕an_xan=两式相除

得：4±L=2故*是隔项的等比数列，公比q=2,q=1,a,=2.

.f--11

1-212为2为奇数

""=伙。

2・2匕1勿为偶数

SJQ=(4+见++a©)+(%+〃4++〃20)

2|,,-1,2(2,0-1)

-2-1+2-1

=3x1023=3069

例11.(2021-浙江学业考试)已知数列也｝的前〃项和为S,且满足q=2,a,,”=1一N*,

则()

A.。40<aK)()

B.。40>Goo

C.S40<S]0G

D.S40>品始

1*

解：因为4=2,a〃+]=1------N,

an

所以%=1---=1-T=^,

ax22

a3=1——=1—2=-1,

%

%=1---=1-(-1)=2»

a3

111

a5=l----=示

为2

所以数列｛4〃｝的周期为3,所以。40=“3x13+1==2,。]00=%x33+l=4=2,

所以为o=4oo,故A,B错误；

=13(q++q)+〃4。=13x^2+——11+2―

S|00=33(4+/+。3)+400=33X(2+；—1]+2=，

所以S40<S@，故C正确,D错误.故选C.

例12.(2021秋-驻马店期末)若数列｛4｝满足an+l+(―1)"•q=2〃-1(〃wN+)厕｛4｝的前40

项的和是()

A.760

B.180

C.800

D.820

解：%+(—l)”q=2〃—

可得〃2—4=L+〃2=3,。4—“3=5,〃5+。4=7,

设q=1,贝IJ%=1+7,%=2—%=7一1,%=八％=9+八/=2—八4=15一/,

。9=,，4o=17+1,。]]=2—f,a]？=23—t,

可得每隔4项的和构成首项为10,公差为16的等差数列，

即有｛%｝的前40项的和是10xl0+；xl0x9xl6=820.

故选D.

n

例13：(2020-新课标I)数列｛«„｝满足a„+2+(-l)a„=3n-l,前16项和为540,则

a\-________:

解：由%+2+(-1)"。"=3〃-1,当〃为奇数时有。“+2-q=3"-1,

可得

4,-％-2=3(〃-2)-1

。3-6=3-1-1

累加可得_q=30+3++(〃—2)]—-^―

，口+(〃-2)[*(»-1)(3»-5)

=3--------------------------------=-------------------

224

当n为偶数时,an+2+q=3〃-1,

+a

可得%+%=5,as+a6=17,%\o=29,a16+al4=41.

可得a,+%++《6=92.4+/+…+《5=448.

.­.8^+^(0+8+40+96+176+280+408+560)=448,

8q=56，即6=7.

故答案为7

例14.(2020-新课标III)设数列｛4｝满足q=3,a,1+1=3a„-4«.

⑴计算a,,小，猜想｛4｝的通项公式并加以证明；

解⑴方法1：数列｛4｝满足%=3,4用=3a“一4〃,

则。2=3。[-4=5,。3=342-4*2=7,，猜想｛a“｝的通项公式为=2n+l.

证明如下：⑴当"=1,2,3时，显然成立，

(ii)假设〃=%时,％=2Z+1(%wN+)成立，

当〃=%+1时,a*+1=3%.—4左=3(2%+1)—4%=2女+3=2(%+1)+1,

故〃=&+1时成立，由⑴(ii)知,4=2”+1,猜想成立,

所以｛4｝的通项公式a,=2〃+1.

方法2:⑴数列｛a“｝满足弓=3,a〃+i=3。“一4〃,

设a,+i+a(〃+1)+尸=3(a“+cm+£),可得a,l+i=3a,,+2aH+2/7-a,

2a=-4a=-2

，解得

2/?—a=0［尸=一1

...a〃+]—2(〃+1)—1=3(a〃-2〃-1),

q=3,q_2x[_]=0,并且％―2(2+1)=0,

所以4=2〃+1恒成立所以2=2〃+1.

自我检测

1.(2021春啧:州月考)已知首项为1的数列｛4｝中,4+1=2册+1,“€正,则叫=()

A.22020-1

B.22020

C.22021-1

D.22021

答案：c.

解:首项为1的数列包｝中,q*|=2q+l（〃eN）运用结论1:可得。用+1=2（4+1）,

所以数列何+1｝是等比数歹U,首项为2,公比为2,所以，氏+1=2・2（"T）=2",所以

%=2"-1,%021=22°21-1.故选C.

2.（2021秋•秦州区校级期末）已知数列｛”“｝中=1必用=24+3,则〃=（）

A.2045

B.1021

C.1027

D.2051

答案：A.

解根据题意，数列加“｝中,4=1,。用=2为+3,运用结论1变形可得4用+3=2（/+3）,

又由q=l,则q+3=4,则数列｛4+3｝是以为q+3=4为首项，公比为2的等比数列,

则9则，故选

«10+3=4X2=2048,alQ=2045A.

3.（2021秋兴庆区校级期中）在数列｛即｝中，若«,=2,0,+产，€N*/则为=（）

C.—

17

D.-

17

答案：C.

解:在数列｛”“｝中4+i=-~七(〃eN*),可得---=---=—+2,可得,是等差

2a,+T'a.,」a..a.,a

数列.数列的首项为（公差为2,所以54+（〃TX2,解得%=潟,，％=后

故选C.

4.（2021秋•朝阳区校级期中）已知数列｛%｝满足q=l,q…/，则数列…的前

"项和7；=（）

A.-^-

2n-l

B.—

2〃+1

C2〃

2〃+1

D•云

答案：B.

解嗷列｛4｝满足4=1,%=#1则—L='吐LL+2,故一^-工=2（常数），所

2a“+1勺+|«„%为+1册

以数列是以，=1为首项,2为公差的等差数列，所以'=1+2（〃-1）=2〃-1,则

4a„

2n-l，a"+'=2/7+1，所以a，'a'，+'=(2/7-1)(271+1)=2<2n-l-2n+l

]_Jill1n

1--1------------F+.故选B.

2(332/1-12w+1

5.（2021秋•光明区期末）已知数列｛%｝满足=，^吗=1数列他,｝满足

2-«»2

4=2"T为/+],｛%｝的前"项和为5”,则$o=.

答案:1023

2050

解：数列｛q｝满足q

n+\，运用结论4取倒数，再运用结论1,整理得:

_!_一1=2（-^-1］,所以数列［-!--1］是以工-1=1为首项,2为公比的等比数歹IJ;所以

%1%;1«„a\

故数列也｝满足a=2"&4用=2"-'—!-----二=」-------二，所以

"2"-'+1tJ2"-1+12"+\2'"'+12"+1

s“T—一-」+一一一-J-++―_一*=,一*=四2•故答案为:

102'*,+12'+121+122+129+12'°+12210+12050

1023

2050

6.（2021秋•河南期末）已知数列满足〃产La,,+i=q，若2=，-1，则数列｛,｝的

22-a„a,,

通项公式为2=.

答案：2"!

解:依题意，由。的=#-,可得——=:^=2、一-1,两边同时减1,可得

2一%«„+i4册

——l=2x——1-1=2,即％=2女人4=一一1=1,.•.数列也｝是以1为首

an（%）%

项,2为公比的等比数列,%=1•2"T=2n-',neN*.故答案为:2-1.

7.（2021秋•聊城期末）在数列｛%｝中,%=-1g=3,%+2=%+i-4（〃eN）则4。=（）

C.21

D.35

答案：B.

解:由all+2=2an+l-a“河得2、产a„+2+a“，所以数列｛«„｝为等差数列，因为

a,=-l,a3=3,所以公差d=2,所以q（）=a,+9d=17.故选B.

8.（2021秋•平顶山期末）数列｛%｝满足%=1,/=3,且a“+i+2a“+an_｛=0（n..2），则｛““｝的

前2020项和为（）

A.8O8O

B.4040

C.^1040

D.O

答案：B.

解:方法1:由递推关系式可得a,+a2=-3+%),42+4=-(4+。4)，所以

%+。4=4+4=4,同理可得。5+4=%+%=•,=°2019+02020=4,所以

S2020=4x1010=4040.故选B.

方法2：4+I=-2%-a,i，设a“+|+pa,=^(a„+P«„_1),«n+1=(4-P)4+P44i，与

a,用=-24-4T对比，得H一°=12,解得

[凶=一]

q--\一

<.，4川+%=-(%+41)，4+。2=4+%=%+%==。2019+02020=4,所以

S2020=4x1010=4040.故选B.

9.(2021,十七模拟)已知数列｛〃“｝的前n项和为S“，且q=5g=2,a”=2a„_,+3aH_2，则S6

-()

A.567

B.637

C.657

D.727

答案：B.

解:方法1:由题意，可得当〃..3时,a“=2a,i+3an_2两边同时加上,可得

aa2

n+,,-\=«„-1+3”“-2+凡_|=3(a“T+a,一2),二4+4=5+2=7,.♦.数列｛%+a,*J是以

7为首项,3为公比的等比数列,

=2

Sb=ai+a2++a6=(a1+a,)+(a3+a4)+(a5+«6)7+7x9+7x9=637.故选B.

方法2:在方法1中,a“=2a,i+3a,_2两边同时加上4.1，这一步有点突兀,怎么想到呢?

我们用结论6:设%+p%_]=q(a,i+〃4,_2)化简为4=(4一〃)%-i+P44-2,与题目中

的a“=2%+34T对比，得卜一，=2解得卜=3或卜=-1两个结果都可以,前者更

3=3[p=l[p=_3

加简单一些.a,,+a,z=3(<7„_]+an_2),4+%=5+2=7,.,.数列｛a“+。用｝是以7为首

项,3为公比的等比数列，剩下同方法1

10.(2021秋•太原期中)在数列｛a“｝中，q=1,02=2,a”+2=""+1+2a”(〃wN*),记

%=3"-2x(-1)?久，若对任意的“GN*,%>c“恒成立，则实数2的取值范围

为.

答案：卜|,1

10.解：

方法1:由题设可得:q=I,4=2,%=2+2x1=4,4=4+2x2=8,.故猜想=2"^',

下面用数学归纳法证明:⑴当“=1,2,3时,显然有q,=成立;⑵假设当〃=人("3)

时有4=2"T,那么当〃=女+1时,=4+%._]=2*T+2X2卜2=2(«叫\这说明当

〃=左+1时,也成立，由(1)(2)知=2"-丁.C„=3"-2x(-1)"血,=3"-(-2)"九，又对任意

,,+1n+1

的〃eN",c„+l>%恒成立，对任意的恒成立,.•.3-(-2)A>3"-(-2)"4即对任意的

〃£1<恒成立,即(-1)"九>-(；]对任意的〃eN*恒成立.(1)当〃为偶数时，有

3

2>=-];(2)当〃为奇数时，有4<=1,综合⑴⑵可得

:几,故答案为:「•

方法2:。/2=4+|+24,,设为+2+24,+1=4(4川+。4,)，4,+2=(4一，)4出+网可，与

an+2=a,,+l+24对比，得卜一，=1解得卜=2或/二一1，任取其一都可以解.

0=2[p=l(P=~2

all+2+a,.=2(a“+1+a"),{a“+1+a”}是以出+6=3为首项,2为公比的等比数列.

+a32，，_|aa,,_|

4+1,,=-，n+2+n+\=3-2",(a„+2+a„+1)-(a„+1+)=«„+2-tz„=3-2"-3-2

=3,2"।.当"为偶数时,a”=—。”_2)+(%-2—a”-4)++(4-4)+4

=3-2"3+3.2"f+…+3•T+2=，当n为奇数时,a,田+an=3-2"-',

nn

a„=3-2-'-an+l=3-2"-'-2"=2-',:.a„=2"T.剩下同方法1

11.(2021秋•二道区校级期末)在数列｛4｝中吗刈出:幅交必用-以诃心则砧等

于()

A.1

B.-l

C.2

D.O

答案：B.

解：在数列｛%｝中=1吗=5,a〃+2=4+i=4,同理可得：

&=T,%=-5,%=-4,%=1,4=5,，可得an+6=a„.KlJauw=*6+4=4=一L故选B.

12.（2021秋•1月份月考）在数列｛%｝中,q=2,%+产匕&（〃eN）则必产（）

1一a”

A」

2

B.-3

c.l

3

D.2

答案：D.

11+1

解:q=2,4=9|=-3,%=a|=-g,4=―多=；,。5=―^=2,故数列｛4｝是以

1H—1

23

4为周期的周期数列，故%⑼=q=2,故选D.

13.（2021秋•张家口期末）若数列｛““｝满足:a„+a„+l=5〃©=1，则«2020=

答案：5049.

解:由+。用=5〃可得:a,i+«„=5（〃一1）,”..2,两式相减得:。“+]-4"_1=5,4.2,又由

%=1,%+a2=5可得：4=4,，。2020是首项为4,公差为5的等差数列的第1010项，

二生020=4+（1010—1）x5=5049,故答案为:5049.

14.（2021秋•海门市期末）若数列｛4｝满足:=2w+l,%=l,则020n=

答案:2021.

解：方法1:因为a“+a“+i=2〃+l,q=1，所以当”=1时,q+%=3,解得%=2,当〃=2

时,/+%=5,解得%=3,当时，〃=3时,4+。4=7,解得。4=4,以此类推，可得=〃,

故/21=2021.故答案为:2021.

方法2a„+q*|=2〃+1,...4用+«„+2=2n+3,(a„+l+an+2)-(a„+an+l)

=an+2-an=2，隔项"等差数列"Mm-%=2d'=2,d'=1,*=4+2020/=2021，故

答案为:2021.

15.(2021•全国一■模)已知数列｛4｝满足q==2"(〃eN*),则S2021=()

A.3(2I()"-1)

B.2l0ll-3

C.3(2I<,,(,-1)

D.2,O,2-3

答案：D.

解:根据题意，数列｛。"｝满足％=1,«„«„+1=2",即有a。=2,则4=2，若=2"，则

2"、变形可得:空见=如=2，则数列｛an｝的奇数项是首项弓=1,公比为2

的等比数歹U,数列｛4｝的偶数项是首项为2,公比为2的等比数列，则

lx(l-21011)2x(l-21010)

S2021=q+/+.+。2021+42+。4++。2020=----------；------+----.------=2一一3,故

1—Z1—Z

选D.

16.已知数列｛%｝中玛=l,an+l=1.%(“>()),求数列｛%｝的通项公式.

a

答案：an

解:由。“+1两边取对数得lg%=21g4+lgL令2=lga”,则%=2d+lgL再

aaa

利用待定系数法解得：a“

17.已知数列｛4｝满足q=1M“+I=2%+l(〃wN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足4上甲t“，；'=4+1)4证明:数列也｝是等差数列;

(3)证明:+&<q“eN*).

2302a3%+i2'>

答案：⑴q=2"-1(〃GN*);(2)见解析;(3)见解析.

解：(1)以“+1=2。“+1(〃£>1*),，以“+]+1=2(。“+1),，｛。“+]｝是以。|+1=2为首项,2为公

比的等比数列.Aan+\=2n.即4=2"-1(〃eN*).

(2)-.4犷华t•.4%T=(a“+14("++讣"=2"'\

,2[(4+a++2)-〃]=曲，①

2[伍+d++勿+2+1)—(〃+1)]=(〃+1)2+1•②

②-①得2(%-1)=(〃+。％-曲，

即(〃一1)4+1-地“+2=0,③

也+2一(〃+1)%+2=。④

③-④得nbn+2-2也+i+nbn=0,即

〃+2—2〃+|+bn=0,；也+2-%1=%—〃(〃€曰),.,.｛2｝是等差数歹小

(3)证明：

l2

-^=2^L=~~<l,k=l,2,，〃二幺+，+-^<-.殳=三二

%2A+，-l2已一12%的—2%2M-1

1111rvel11,凡心〃1

=-----L----7=-------;;7庞------丁/=1,2,,n,—L+—+H———.....

k

22(2&*-1)23x2"+2&—2)232a2%an+.23

1nn1n1+2n

+•十一>——----<幺+，<—HEN

2”2323232

18.设数列｛/｝的前"项和S,,=+“-白2""+|,〃=1,2,3,

(1)求首项q与通项a“；

⑵设7；=2〃=1，2,3,，证明:军西

3〃2

答案：⑴％=4"-2"；(2)见解析.

44?

解:(1)当“=1时,q=E=—q--+§=4=2;当〃..2时，

a1

»=S”-Si=ga“-；x2"-+-|-%-gx2"+R,即an=4an_t+2"，等式两边同

时除以2",3=2患+1,令4啜也=说-1也+1=2%+1)解得2+1=2".所

以。〃=4"一2".

⑵将%=4"-2"代人(1)得

A1917

S„=jx(4n-21,)-jx2,,+'+j=jx(2,,+l-l)(2),+l-2)=jx(2,,+l

3T3(1击,所以，

-1)(2--1)-7；,=--X---------------r-;-----------r=-X-------------

(n+1((

“22-l)2"-l)22"-l乙—1

19.已知q=2,点(4，”,用)在函数“力=/+2》的图象上,其中=1,2,3,，证明:数列

他(1+“,,)｝是等比数列.

答案：见解析.

解:⑴由已知4M=a：+2an,:.an+i+1=(4+1了4=2,，q+1>1，两边取对数得

尼(1+%)=2怆(1+4,),即需*=2」他(1+“.)｝是公比为2的等比数列.

20.已知数歹U｛%｝满足％=1,。2=2,%+2=即［%乜,〃小N*.

⑴令2=4用-a"，证明匐是等比数列;

(2)求｛〃“｝的通项公式.

答案：(1)见解析；⑵(〃eN*).

解:⑴证明:4=。2-4=1,当几・2时,

b„=an+i-a„=-an=-1(«„-%)=-g%，所以也｝是以1为首项，一;为

公比的等比数列..

(2)解由⑴知也=%-%=，当〃..2吐