2023年高考数学第09讲 二次函数的最值

第09讲二次函数的最值-配方法的运用

一、知识聚焦

二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数，求这类函数的最值，通常用配方法,

但是必须结合复合函数的单调性,对称性加以讨论求解,配方法在高中阶段数学学习中应用广

泛.如三角函数中的最值问题，解析几何中与圆锥曲线相关的最值问题以及不等式的证明中，

配方法的作用至关重要.

1配方目标的确定性

配方目标的确定性:出现平方式,但出现怎样的平方式又具有灵活性，所以配方途径又是

多向的.

2配方对象的多样性

配方对象的多样性不排除对更高次数多项式的配方.数、字母具体的数学式、抽象的函

数关系等都可以进行配方.

3配方后必须注重问题的细节

任何一种解题方法的应用都有其适用范围，配方法也不例外,求二次型函数的最值必须把

相应简单函数的性质结合起来讨论，不应竟目扩大或缩小方法的使用范围，不要忽视问题中的

约束条件.

二、精讲与训练

3

【核心例题1】已知函数/(x)=o?+(2a_i)x-3在区间-：,2上的最大值为1,求“的值.

解题策略求解含参二次函数在给定区间上的值域或最值问题，需首先讨论二次项系数的符

号，经配方后再讨论对称轴的范围,最后结合图像来求解.当二次项系数为正，即二次函数图像

开口向上时，函数在给定区间上的最大值有2种情况，可通过讨论对称轴与区间中点的位置关

系而求得;最小值分3种情况，可对对称轴在区间的左侧、内部、右侧3种情况分类讨论求解.

当二次项系数为负，即二次函数图像开口向下时的讨论亦类似,读者自行总结其解题规律.

【解】：(i)当。=0时,/(幻=一》一3.

.•函数/(幻在区间一g,2上单调递减,；./(幻1Tm=/(-1)=一^x1.不符合题意，舍

去.

(ii)当a>0时=-(2fl-lr-3.

I2aJ4Q

3个

2a-1一广22

若-二,§Pa..-,/(x)max=〃2)=85=1.

2a25

3

解得。=7符合题意.

若一/即0<*/（尤）2=/（一：）=—；&一'=1解得.=一¥（舍去）

2a2512J423

（iii）当a<0时,/（x）=a[x+网口]一坦上匕—3,若—即二L.2,则a.」,与a<0矛盾.

I2aJ4a2a6

若一三一一1则a..T时，/（X）max==1・解得"-?舍去）•若

2a212/423

32a—1（^-3=

-5（-H<2,—皿=

4a

-g-3+20—--3-272

解得a=（舍去），或a=.

3-3-2\/2

综上可得a=:,或a=一~一.

42

【变式训练1】函数/（乃=/+奴+3.

(1)当x€R时,/(x)..a恒成立，求a的范围.

(2)当xG[-2,2]时J(x).”恒成立，求C的范围.

变式训练2已知a为实数函数/(x)=x2+|x-a|+l,xeR.

⑴当a=2时，讨论函数/(x)的单调性.

(2)求函数/(x)的最小值.

|yJ、

【核心例题2】⑴已知2二256且log?x...-，求函数f(x)=log2-•log应行的最大值和最

小直

53「4一

(2)是否存在实数a,使得函数丁=5由2工+。以)S%+7。一彳在0,—上的最大值为1?若

822_

存在，求出对应的a值;若不存在，说明理由.

【解题策略】第⑴问为求对数函数的最大值和最小值.由于/(x)可以通过对数运算转化为关

于Iog2X的二次型函数，可以运用配方法求解，但首先应由两个条件不等式的限制求出10g2X

的取值方国，在此范国内求最值.第⑵问,可利用二次型函数在闭区间上的最值求解，对于含参

数的问题要注意讨论所有可能的情况.

【解】（1油2\,256得%,8,则1082%,3,即；别082%3.

2

3

f(x)=log?'log点学=(log2x-l)(log2x-2)=log2%-31og2x+2=x——

2一『

当log2X=g,即X=2正时J(x)min=-；

当log2X=3,即X=23=8时,/(X)max=2.

函数/⑺的最大值为2,最小值为1

a25

(2)y=<1-COS"2X+6TCOSX+-J6Z--D=-|COSX--U+一+一。

482

当0,—时处OSX1.

2

53

•1•若彳>1,即。>2,则当cosx=l时,y=a+-a--^\.

21raxo2

20

解得a=—<2（舍去）；

若嵌与1，即喷打2，则当COSX=—时,Pmax=1+弓--~.

3

解得。=5得。=~4<0（舍去）；

若?<0,即a<0,则当85%=（）时,%政=7。-彳=1，解得。='7'>°（舍去）,综上可知，存

2825

3

在。=5符合题设.

【变式训练1]⑴函数/（x）=log2五-log&（2x）的最小值为.

⑵已知a>0,6>0,"=8,当a的值为时,log?a-log2(2Z?)取得最大值.

一.sin%+sina+l

【变式训练2］求函数y=-----：-----^的最值.

cos-a-sina-3

【核心例题3］如图9-1所示，已知抛物线。的顶点为。(0,0)，焦点为尸(0,1).

⑴求抛物线。的方程.

⑵过点F作直线交抛物线于A,B两点,若直线AO、B。分别交直线/:y=x-2于M,N两

点，求|MN|的最小值

图9-1

图9一1

【解题策略】本例是直线与圆锥曲线关系的探究，求最值问题一般可用数形结合的方法结合

方程理论,建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值.通常所得函数解析式较为复

杂.可运用换元法转化为二次函数型，通过配方求最值.求解时要注意新元的取值范围.

【解】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)，则g=l,p=2,:.抛物线C的方

程为f=4y.

(2)设A(x,%),8(打必)，直线AB的方程为y=去+1.

y=kx+L…、

由《消去y,整理得x——4=0,.二七+々=44,玉%1=—4,从而

口二4乂

|.¥|-x91—+1

由解得点M的横坐标与=：^=3L<=/_

v-x2为一XX—五4一%

[y-x-Z,X4

Q

同理点N的横坐标4=^一.

4-X2

.•,IMN|=V2同-/1=&----------=872---------工厂%、=8'2迎一+1

一七

44-X2X}X2—4(^+X2)+1614Z:—31

令4Z—3=r,rwO,则后=彳，当。＞0时，|削|=2血小卷+5+1＞20,当「＜0时,

1MN|=2&J'+|j+*|立

综上所述，当/=—g,即％=-1时MN|的最小值为：JL