2023年上海市高三数学竞赛试卷答案

2023年上海市高三数学竞赛试卷

2023年3月27日上午9：30~11：30

【说明】解答本试卷不得使用计算器.解答请写在答题纸上.

一、填空题（本大题总分值60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分）

1.函数,*x）=ax2+/?x+c（aW0,a、〃、c均为常数）,函数力（x）的图像与函数«r）

的图像关于y轴对称，函数力㈤的图像与函数力㈤的图像关于直线y=l对称，那

么函数■光）的解析式是.

2.复数z满足|z|=l,W=3Z2-4在复平面上对应的动点W所表示曲线的普通

z~

方程为.

3.关于X的方程arctan2'-arctan2-“=工的解是.

6

4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为123,4,5,6；那

么同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有种可能.

5.函数/（x）=cos（7x）,g（x）=2Xa-；（aW0）;假设存在为、々使人王）与赴）

成立，那么实数。的取值范围为.

6.如图，有16间小三角形的房间.甲、乙

两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房A

间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间

的概率是•（用分数表示）/y\

7.在空间，四个不共线的向量OA、。8、/\ZV\

OC、。，它们两两间的夹角都是。，那么a的/VVV\

大小是.

8.”>0£>043+〃=1,那么a+b的取值范围为.

二、解答题（本大题总分值60分）

9.（此题总分值15分）如图，五边形Ai&GDiEi

内接于边长为1的正五边形ABCDE；

E

求证：五边形AiBiCiDiEi中至少有一条边的

长度不小于cos^5.<X//\\）\。

10.1此题总分值15分）设p,q和〃是素数，\\

4Ci

BC

B]

且pIa-1（p|〃-1表示妙一1能被p整除），q|6-1和r|pq-1；求pqr的所有

可能的值.

11.（此题总分值15分）数列｛q｝满足递推关系q川（neM）;

求所有外的值，使｛4｝为单调数列,即｛凡｝为递增数列或递减数列.

12.（此题总分值15分）等

边三角形ABC的边长为5,延长

BA至点P,使得|AP|=9.D是线段

BC上一点（包括端点），直线A。

与&9PC的外接圆交于E、F两

点，其中|班|<|矶）|.

（1）设|8D|=x，试将|£4|一|。川

表示为关于x的函数./U）；

（2）求於）的最小值.

一、填空题

1.f（x）=ax2+bx+2-c.2.

4.48.5.[--,0）U（0,-].6.-7.arccos（一一）8.（1,^4]

22203

二、解答题

9、五边形A/CQg内接于边长为1的正方形A8COE；求证：五边形44G2g中

77

至少有一条边的长度不小于cos（。

证明：AE1,A4,,84,BB,,CB,,CC,,DC,,DDt,EDt,EE｝的长分别为

ava2,bvb2,cx,c2,dx,d2,eve2。

于是（q+。2）+（优+4）+（《+。2）+（4+心）+（4+«2）=5

由平均数原理，（q+4）,（4+4）,（.+。2）,（4+4），（4+6）必有一个大于等于1。

不妨设4+。221，故的21-4。

10.解：由题设可知pqr|(qr-l)(/p-l)(pq-l)；

.<口npq+qr+rp-1ill1上十命皿

pqr|pq+qr+rp_1,即上-------------=—+—+--------为正整数；

pqrpqrpqr

记A=—+—+--,由于p,q/N2,故1<A<。，从而只能A:=1.

pqrpqr2

由对称性，不妨设p«q«r；

假设pN3,那么无<工+工+工41,矛盾，故p=2.

pqr

假设q>3,那么425,左《l+2<1,矛盾.

25

假设q=2,那么4=1+,+(1一二-)>1,也矛盾，故q=3.

22r4r

最后，由1=—I1--------，得r=5.

23r6r

经检验，0=2应=34=5符合题意./.pqr=30.

11.解：％+]N*)=3"+%“+]=-：x3"ia“+3,

令b"=3"a“,那么bn+l=一：或+3,2+「'=一。,(〃eN*)

222252

假设叫—¥0,那么由—(—―),,_1<«)——,可得n>14-log(—a—),

5535-22x5

522222

故当〃eN，且〃>1+log(—a—)时，一(—二)〃|+(%)与6—同号;

-22x55355

而(一’)"7正负交叉，从而%正负交叉，｛%｝不是单调数列.

2

当'1时，a„=|(1)n-*为递减数列；

综上，当且仅当％=[时，｛%｝为单调数列.

12.解：⑴设〃=忸4|,»=|4。|,。=|。尸|,那么/(*)=〃-“

在中，由余弦定理得，v=yj\ABf+\BDf-2\AB\\BD\cosZABD

22

=/2+x-2x5x-^=\lx-5x+25.

在4PBe的外接圆中运用相交弦定理，得忸=\BA\\AP\,\ED\\DF\=\BD\\DC\,

即u(v+w)=45,(u+v)w=x(5—x);两式相减得羽(〃—w)=x2-5x+45,故

(2)设2=&-5X+25NO,那么

「，、x2-5x4-45r+2020、J20，房

/(x)=/,=