认识一元二次方程 省赛获奖

第2章一元二次方程1一元二次方程（2）

学习新知检测反馈九年级数学上新课标[北师]

幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?

如果设所求的宽度为xm,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗?

观察思考学习新知

如果设所求的宽度为xm,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)=18,你能估算出x大约是多少吗?

(1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.

探索尝试分析:因为40m2>18m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(2)你能确定x的大致范围吗?

x00.511.522.5(8-2x)(5-2x)4028181040

(3)计算,填写下表:分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?

问题探究

在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗?为什么?

分析:若底端也滑动了1m,此(1+6)2+72<102,因此滑动的距离是大于1m的.

(2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么?

分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知,如果底端滑动的距离是2m或者3m,那么x2+12x-15的值都大于0,即(x+6)2+72>102,所以底端滑动的距离小于2m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1<x<1.5,但这还不是一个很精确的数字.x00.511.52－15－8.75－25.2513

(4)x的整数部分是几?十分位是几?分析:通过计算,得出下表:2.当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?x1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根据上表思考:1.当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?(1.3更接近)(1.2更接近)综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1<x<1.2.所以x的整数部分是1,十分位是1.(大于真实值)3.当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)4.当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.这是因为当a+bx1+c<0(或>0)而a+b+c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2+bx+c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2+bx+c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.[知识拓展]课堂小结在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;

(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;

采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.

3.解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.

(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.

(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.

1.根据下表,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 (

)A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26解析:由表中的数据可知,当x的值由3.24变化到3.25时,ax2+bx+c的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax2+bx+c的值等于0.故选C.C检测反馈

2.用22cm长的铁丝,折成一个面积为15cm2的矩形,设矩形的一边长为xcm,则x的大致范围是 (

)

A.x>0 B.0<x<1

C.1<x<2 D.2<x<3

C

（2题）解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体计算进行“夹逼”,逐步获得其近似解,“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程(11-x)x=15,整理得x2-11x+15=0,估算此一元二次方程解的范围如下表所示:

由此可知,当x在1~2之间取某一值时,

x2-11x+15可能等于零.故选C.

3.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80m,宽60m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为xm.

(1)你能根据题意列出相应的方程吗?由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)=3500,整理得x2-70x+325=0.