第四章数列章复习课高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列复习课问题1：如何研究数列？研究数列的路径是什么？（一）数列概念问题1：如何研究数列？研究数列的路径是什么？（一）数列概念数列是一类特殊的函数.与函数的研究内容、过程和方法类似,高中阶段对数列的研究也是“背景———概念(定义、表示、分类)———性质———特例”为基本架构,其中“特例”是指等差数列、等比数列。背景概念性质特例（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？

（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？

（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？

（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？

（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？

（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？追问：数列是特殊的函数，特殊在哪？（一）数列概念问题2：为什么数列是一种特殊的函数？追问：数列是特殊的函数，特殊在哪？（一）数列概念问题3：类比函数的表示，数列的表示有哪些？（一）数列概念问题3：类比函数的表示，数列的表示有哪些？类比函数的表示：数列的表示有表格、图象、通项公式，除这三种表示方法之外，递推公式是数列特有的表示。（一）数列概念问题3：类比函数的表示，数列的表示有哪些？类比函数的表示：表格、图象、通项公式，数列的表示除表格、图象、通项公式之外，递推公式是数列特有的。追问：在什么情况下用通项公式表示数列，在什么情况下用递推公式表示数列？（一）数列概念问题3：类比函数的表示，数列的表示有哪些？类比函数的表示：表格、图象、通项公式，数列的表示除表格、图象、通项公式之外，递推公式是数列特有的。追问：在什么情况下用通项公式表示数列，在什么情况下用递推公式表示数列？（一）数列概念问题4：数列可以通过哪些角度分类？（一）数列概念问题4：数列可以通过哪些角度分类？与函数的单调性分类类似，数列按项与项间的大小关系分类：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；按项数分类：有穷数列、无穷数列；按其他标准分类：有界数列和无界数列等。（一）数列概念应用举例1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．（一）数列概念应用举例1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：（法一）因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.（一）数列概念应用举例1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：（法一）因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.（一）数列概念应用举例1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．（一）数列概念应用举例（一）数列概念应用举例（一）数列概念应用举例（一）数列概念应用举例（二）数列性质问题5：区别函数的性质，数列特有性质有哪些？（二）数列性质问题5：区别函数的性质，数列特有性质有哪些？（二）数列性质：应用举例（二）数列性质：应用举例（二）数列性质：应用举例（二）数列性质：应用举例（三）特殊数列问题6：如何研究等差数列、等比数列？（三）特殊数列问题6：如何研究等差数列、等比数列？

这两类有明确的现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值,对它们的研究按照“背景——概念——表示——性质——求和公式——应用”的路径展开.（三）特殊数列问题6：如何研究等差数列、等比数列？

这两类有明确的现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值,对它们的研究按照“背景——概念——表示——性质——求和公式——应用”的路径展开.

在现实背景中，通过运算发现实例中蕴涵的取值规律，抽象出等差数列、等比数列的定义，抽象概念的过程以“归纳-概括-数学符号化”的路径展开。同时也介绍等差、等比中项的概念.（三）特殊数列问题7：等差数列和等比数列的通项公式分别是什么？你是如何推导出它们的？等差数列和等比数列的图象分别是什么？（三）特殊数列问题7：等差数列和等比数列的通项公式分别是什么？你是如何推导出它们的？等差数列和等比数列的图象分别是什么？

从定义出发，推导出它们的通项公式.从通项公式出发，探究等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间的关系。

其中等差数列的图象是一次函数图象上孤立的点，等比数列的图象是指数型函数图象上孤立的点。（三）特殊数列问题8：推导等差数列、等比数列的前n项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？你还知道哪些求和的方法？（三）特殊数列问题8：推导等差数列、等比数列的前n项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？你还知道哪些求和的方法？利用倒序相加法推导出等差数列前n项和公式，利用错位相减法推导等比数列前n项和公式。（三）特殊数列问题8：推导等差数列、等比数列的前n项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？你还知道哪些求和的方法？(1)公式法①等差数列的前n项和公式

②等比数列的前n项和公式(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例（三）特殊数列应用举例课堂小结：如果给你一个一般数列，你如何去研究？课堂小结：如果给你一个一般数列，你如何去研究？策略1：通过代数运算发现一般数列的取值规律；策略2：把这个数列看成函数，借助函数的性质，如单调性、最值、周期性研究数列的性质；策略3：根据数列特有的性质：比如前n项和与通项公式的关系、数列单调性问题可以做差做商等方法展开研究。课堂小结：如果给你一个一般数列，你如何去研究？策略1：通过代数运算发现一般数列的取值规律；策略2：把这个数列看成函数，借助函数的性质，如单调性、最值、周期性研究数列的性质；策略3：根据数列特有的性质：比如前n项和与通项公式的关系、数列单调性问题可以做差做商等方法展开研究。课堂小