2023年高考第二次模拟考数学试卷-上海B卷（解析版）

2023年高考第二次模拟考试卷一数学(上海B卷)

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

考生应在答题纸的相应位置填写结果。

1.若z是纯虚数，|z|=l,则的实部为.

K答案11

K解析》z是纯虚数，且|z|=i,则有z=±i,故三=1±"实部为1.

故［答案］为：1.

2.已知集合4={1,2,3},B={a,3,4},若AnB={2,3},则&=.

R答案』2

K解析H•••4CB={2,3},A={1,2,3),B={a,3,4},•••a=2.

故K答案》为：2.

3.AABC三个顶点的坐标分别是4(1,2),B(2,3),C(3,2),则△ABC外接圆的标准方程是

K答案】(X-2尸+(y—2)2=1

K解析》设所求圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

由圆经过4(1,2),8(2,3),C(3,2)三点,

(l2+22+D+2E+F=0D=-4

卜2+32+2D+3E+F=0，解得:E=-4,

(32+22+3D+2F+F=0F=7

则所求圆的一般方程为：%24-y2-4%-4y+7=0,

所以△ABC的外接圆的标准方程是：(％-2尸+(y-2)2=1.

故K答案》为：(X-2尸+(y—2)2=1.

4.己知向量a=(今=(今)设d与曲夹角为仇贝hose=.

K答案D手

K解析U由平面向量的夹角公式得,

COS。=COS(d,B)=高卜=

故K答案』为：-Y'-

5.函数/(%)=静式X6R)为奇函数，则实数k的取值为.

K答案』1

K解析》函数“X)=(高(xGR)为奇函数，必有k>0,

则=k~3~X=£3J__&)=-k~3X="一"

入"I)l+k-3-x3x+k八，l+k-3x1+23%

于是得32%=1.32%一1恒成立，即1=1,

解得：k=1.

故R答案》为：L

'x4-y<3

6.已知不等式组卜x-y>5表示的平面区域不包含点(2,1),则实数a的取值范围是

,x-Fay>2

K答案』(一8,3]

(x+y<3

K解析》若不等式组辰—y>5表示的平面区域包含点(2,1),

Vx+ay>2

：x+y<3(2+1工3

则点(2,1)满足不等式组a%—y>5,即2a-1>5,解得Q6(3,+8),

.%+ay>2I2+a>2

r%4-y<3

・,・若不等式组卜％-y>5表示的平面区域不包含点(2,1),

,x+ay>2

实数a的取值范围是(-8,3].

故K答案H为：(―8,3].

7.南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为

求离散量的垛积问题，在他的专著《详析九章算法•商功》中给出了著名的三角垛公式1+

(1+2)+(1+2+3)+-+(1+2+3+…+n)=；n(n+l)(n+2),则数列｛M+271｝的前

6JI

项和为.

"(九+1)⑵1+1)+2n+l_2

K答案U

6

K解析九1+2+3+-+n=砂衿，.••数歹山的手斗的前n项和为3ns+l)(n+2),

2

•・•九2+2n=2x等…2”，

*数列｛层+2日的前n项和Sn=2x(殍+等+…+的裂)-(1+2+…+n)+(21+22+•

••+2n)=|n(n+l)(n+2)-卓+_二(九+1)(271+1)+2n+i_2

6

故K答案》为：ra（n+1）（2w+1）+2W+1-2.

6

8.在（a«+专丫的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64,则a=.

K答案U3或-5

K解析』因为（aSE+蠢了的展开式中各项系数的和为缶+i）6,各二项式系数的和为26,

所以由题意得*=64=26,

所以a+1=4,或a+1=—4,解得a-3,或a=—5.

故R答案》为：3或—5.

9.已知三棱锥P-ABC中，PBJL平面力BC,AB=BC=PB=273,AC=6,则三棱锥P-

ABC外接球的体积为.

K答案》20V157t

K解析》因为AB=BC=PB=2V3,AC=6,

所以在△ABC中，根据余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos^ABC,

即36=（2遮产+（2B产-2x（2遮）2cos"BC.所以cos4ABC=

所以NABC=120。，所以底面△4BC是顶角为120。的等腰三角形.

由题意将三棱锥P-ABC补成如图所示的直三棱柱TPS-ABC,

则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球，

且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上.

设4ABC外接圆的半径为r,三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

由正弦定理得，2r=—与芯=2=4次，

sin乙48cv3

2

2

所以r=2遮，/?2=产+（子）=124-3=15,

所以三棱锥P—/BC外接球的体积为V=，/?3=20V15K,

故K答案U为：207157：

10.“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将6罐“绿水”装成一箱，

且每箱均有2罐可以中奖.若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为.

K答案》|

K解析1记一箱中能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为4、B,不能中奖的“绿水”灌装饮料分

别记为a、b、c>d,

从一箱中随机抽取2罐，所有基本事件有：AB.Aa、Ab,4c、Ad.Ba.Bb、Be、Bd、ab、

ac、ad、be、bd、cd,共15种，

其中，事件“随机抽取的2罐能中奖”所包含的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba、Bb、

Be、Bd,共9种,

故所求概率为p=2=|.

故K答案》为：|.

II.已知P为抛物线C:y2=4x上的一个动点，直线=Q为圆M:(x+3)2+(y-3)2=

1上的动点，则点P到直线，的距离与|PQ|之和的最小值为.

K答案24

K解析U因为圆M:(x+3)2+(y—3)2=1,所以M(—3,3),半径r=l,

抛物线C:y2=4x的焦点尸(1,0),准线为直线4x=-1,

则点P到直线I的距离d=|PF|,

所以点P到直线，的距离与|PQ|之和为|PF|+\PQ\,

所以当M、Q、P、F四点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值，

其最小值为|FM|-1=7(1+3)2+(0-3)2-1=4.

故K答案』为：4

12.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天

中应用广泛，若数列｛%｝满足Xn+1=f-糊，则称数列｛%>｝为牛顿数列.如果函数/(X)=

Jyxn)

2

x-4,数列｛f｝为牛顿数列，设“=Ing,且臼=1,xn>2.则。2021=

K答案122。2。

K解析X因为f(X)=M-4,所以尸(无)=2x,所以Xn+1=%一钙=0一手=料，

x

J\n)ZXn

所以如+1+2=梨+2=%空，

£Xn£Xn

xn+1-2=如-2=

n+1

2xn2xn

(孙+2产

诉［、］*n+i+2_2x_(X+2)_fx+2\

所以看二工一n磋更一n^^^一匕n二，

2xn

所以*=In器|=E(黑丫=21n黑=2一

Bp：=又1<21=1,

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以册=1X2-1=2"T,所以。2021=22020,

故K答案』为：22020.

二、选择题：(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.

13.已知f(x)为奇函数，且x<0时，fM=ex,则f(e)=()

A.eeB.-eeC.D.-e-e

K答案》D

K解析Uf(x)为奇函数，且x<0时，/(x)=ex,/(e)=—/(-e)=-e'e.

故选：D

14.如图为函数y=f(x)在［-6,6］上的图像，则f(x)的I解析』式只可能是().

A./(%)=ln(Vx2+1+x)cosxB./(%)=ln(Vx2+1+x)sinx

C./(x)=ln(Vx2+1—x)cosxD./(x)=ln(Vx2+1—x)sinx

K答案DA

K解析U对于B./(x)的定义域为R,且f(-%)=ln(7(-x)2+1-x)sin(-x)

=—ln(Vx2+1—x)sinx=ln(Vx24-1+x)sinx=/(%),故f(%)为偶函数；

对于D.f(%)的定义域为R,且/(一%)=ln(7(-x)2+1+x)sin(-x)

=—ln(Vx24-1+x)sinx=ln(Vx24-1—x)sinx=/(%),故f(%)为偶函数；

由图象，可知y=/(%)为奇函数，故排除B、D；

对于C.当0V%V］时，由+1)2=+1V(%+1)2=+2%+1,

可知0<V%2+1—X<1,则皿在2+1-%)<0,

而cos%>0,此时/(%)V0,故排除D；

故选：A.

15.已知函数f(%)=sin(a%+；)+sinco%(3>0),/(%i)=0,/(x2)=V3,且一%2l=

兀，则3的最小值为()

12

A.1B.-C.1D.2

23

K答案XA

K解析X因为f(%)=sin(3%+：)+sino)x=^sintox+ycoscox+sincox

=|sincox+}cosa)x=V3sin(ax+,

又因为f(%i)=0,/(x2)=V3,且I%—不上兀，

所以，函数f(%)的最小正周期7满足竽7=兀，则丁=急&£吐

所以，3=1=等(上一)，故当k=0时，3取最小值去

故选：A.

16.下列结论正确的是()

A.*212022<log20222023<蒜B.log20222023<log20212022<蒜

D.^<log2022<log2023

C-<log20222023<log2021202220212022

K答案UB

(n2022)Z-ln202"ln2023

ln20211n2022

ln2021-ln2023<(些11=［吟<(/？=(52022)2,

,・Iog202i2022—log20222023>0,所以Iog202i2022>log20222023.

Inzozz

..Iog202i2022_ln20222022_ln20222022_2023

*2023-ln2021*2023-2023'ln2021一!呼024

20222022

..•比较log20212022与翳的大小，即比较喏与嘿1的大小.

令/(X)=翳(X>。)，则/0)=

令g(x)=1+，lnx,则g'(x)=一妥-5<0.

所以9。)在(0,+8)上单调递减，

所以当x>e2时，g(x)<g(e2)=1+2一2<0,所以尸(x)<0,所以f(%)在©,+8)上单

调递减.

又因为2022>2021>e2,

所以/'(2022)<f(2021),即照乌<照卫所以臀经<%B|Jlog202i2022<—.

八,八)20232022ln20212022&ZUZ12022

综上所述，log20222023<*212022<|g|.

故选：B.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分).

17.(本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在四棱锥A-BCDE中，侧面ADE1底面8CDE,底面BCDE为菱形，Z.BCD=120°,

AE1AD,AADE=30°.

(1)若四棱锥力—BCOE的体积为1,求。E的长;

(2)求平面ABE与平面4CD所成钝二面角的正切值.

解：(1)如图，过4作4GJ.DE于G,连接CE,

因为侧面ADE1底面BCDE,且侧面ZDEn底面BCDE=DE,AGu面4DE,

所以4G，底面BCDE,

设DE=a,因为AEJ.4D,Z-ADE=30°,

所以ZG=aD-sin30o=3x；?a,

在菱形BCDE中，/-BCD=120°,

则△BCE为等边三角形,

则SBCDE=2s4BCE=当。2

所以四棱锥4-BCDE的体积U=：xfa2x¥a=F=l,

3248

解得DE=a=2；

(2)取DE的中点。，连接0C,则。C_LDE,

以瓦的方向为工轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=4,

则D(0,2,0),E(0,-2,0),C(2V3,0,0),B(2V3,-4,0),71(O,-1,V3).

BE=CD=(-273,2,0),EA=(0,1,V3),DA=(0,-3,V3),

设平面ZBE的法向量为访=(x,y,z),

则(沅-BE——2>/3x+2y=0

Im-EA=y+V3z=0

令z=l,得记=(—1,—百,1),

设平面AC。的法向量为元=(x'.y'.z'),

则0-CD=-2y[3x'+2y'=0

'ln-DA=-3y'+V3zz=0，

令y=6,得元=(1,g,3),

设平面ABE与平面ACD所成钝二面角为。，则90。<3<180°,

所以cos。=cos(fn,汾=晶=高卷=一嚼，则sin。=Vl-cos^二甯,

所以tan。=-8,

故平面4BE与平面4CD所成钝二面角的正切值为-8.

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知COS2B-COS2A=4(COSC-COS3C).

⑴若C=以求4；

(2)若AABC为锐角三角形，求声捺的取值范围.

解：(1)Vcos2B—cos2?l=4(cosC-cos3C),

1-2sin2^—(1—2sin2i4)=4cosc(1—cos2C)=4cosCsin2C,

..sinA—sinB=sin2CsinC,

又Vsin(i4+B)sin(i4—B)=sin24cos-sin2Bcos2i4=sin224cos-sin"。—sin2>l)=

sin/—sin2F,

.'.sin(i4+B)sin(4—B)=sin2CsinC,即sinCsinQl—B)=sin2CsinC,

又tsinCH0,

.*.sin(i4-B)=sin2C»

又・・,c=$

sin(24—B)-

又0V力<3,0V8V生，即一生<4—8〈生，

3333

：.A-B=-

3f

又X+B=LC著,

(2)由(1)知sin2C=sin(4—B),

①当2c=4-B时，因为4+B+C=7t,所以24=TC+C,即4=；+?>：,与AABC为锐

角三角形矛盾，所以不成立；

②当2。+4—8=兀时，因为4+B+C=7t,所以C=2B,

所以A=Tt—C—B=it-3B.

(0<B6

由(0V2BV：，得汴BV：

<TU-3B<-

Ilo2

所以sin/=sin(7i—38)=sin3B=sin(B+28)=sin8cos28+cosBsin2B

=sinBcos2B+2sinBcos2B,

b2_sinAsin2B_sinBcos2B+2sinBcos2B

故小+=cos2B+2cos25H----i-

sin22B4coszB

=2cos2口-14-2cos2》H----=4cos28+

4coszfi4cos2B

因为汴B<：,所好<COSB<4,2<4COS2B<3,

令/(x)=x+，l(2<x<3),则/(x)=1—妥=^^>0,

所以/(x)在(2,3)上单调递增，所以|</(X)<

所以£+§的取值范围为(|彳).

19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

若函数f(x)=\x-t\-2\x+3|(t>0)的最大值为5.

(1)求f的值；

(2)已知a>0,h>0,且a+26=f,求：的最小值.

解：(1)因为t>0,

—(%一。+2(%4-3)=%+t+6,%<—3

所以f(%)=\x-t\—2\x+3|=,—(x—t)—2(%4-3)=-3x—6+t,-3<x<t,

、(%—t)—2(%4~3)=-x—6—t,xNt

因为f(%)在(一8,-3』上单调递增，在(-3,t),Kt,+8)上单调递减，且/(%)是连续函数，

所以/Q)max=/(-3)=-3+£+6=5,所以t=2.

(2)由(1)知t=2,则a+2b=2.因为Q>0,b>0,

所以=+3=*。+2b)(；+£)=乂2+?+声2)

=2+K?+9-2+^X2J？1=2+2=4,

当且仅当竺即a=2b时，等号成立.

ab

又a+2b=2,所以当a=l,时，£取得最小值4.

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

在直角坐标平面中，△4点的两个顶点的坐标分别为4(—，,0),8停火0)缶>0),两动

点M、N满足两+而+前二)|祝|=y/7\NA\=y[7\NB\,向量丽与万共线.

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；

(2)若过点P(0,a)的直线与(1)的轨迹相交于E、尸两点，求而•标的取值范围.

(3)若G(—a,0),H(2a,0),。为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数

A(A>0),使得NQHG=；UQGH恒成立？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)设C(x,y),由雨+而+而=0知，

”是4ABC的重心，二M

•••|诵1=1而|且向量而与肉共线，二N在边4B的中垂线上，

•••4(一?a,0),B停a,0)(a>()),••.N(0,；),

又,“觉|=y/7\NA\,x2+gy2=7(1+g),

化简得/一?=。2,

即所求的轨迹方程是/一9=a?.

(2)设ECq,%)、尸(*2，月)，过点P(0,a)的直线方程为y=kx+a,

代入/—y=小得(3—k2)%2—2akx—4a2=0,

2ak-4a2

・•.Xl+X2=E'X1X2=K，

且』=4a2k2+16a2(3-k2)>0,解得1<4.

•••k2-3<1,则士>4或崔<0,

—>—►,八-4a2(l+fc2)

:.PE-PF=(x1,y1-a)•(x2,y2-a)=xrx2+kxr-kx2=(1+fc)%1%2=----与—芯---

则匠•两的取值范围是（一8,4a2）u（20a2,+<»）.

⑶设Q（xo，yo）（xo>Ojo>0），则据一半=即韬=3（诏一曲）.

当QH1x轴时，x0=2a,y0=3a,二乙QGH=个，

即Z_QHG=2QGH,故猜想；I=2.

当QH不垂直％轴时，tan/QHG=--咚-,tan/QGH=4

XQ—2CIXQ+CL

2yo

•••tan2/QGH=ztaMQ。"=:。+。=--^2_=tanZQWG.

y

“l-tan2zQGWt（o）xQ-2a<

又24GH与“HG同在（04）0&71）内，

23GH=，QHG.

故存在；I=2,使2z_QGH=NQHG恒成立.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列国工，给出两个性质：

①对于任意的ieN*,存在LeR,当时