矩阵论寇彩霞1 1线性空间已读

线性空线性空间及其线性空线性空间及其性线性空间的基与坐线性子空31.线性空间及其性(a)集集1.线性空间及其性(a)集集合(set):是指一些对象的总体元素(element):这些对象称为集合的元素整数集线性方程组的解集由某个平面上所有的点构成的点集a˛用表示集合是的元aˇ不是的元4集合的表示列举所有元素，如={1,2,3,4,5；集合的表示列举所有元素，如={1,2,3,4,5；给出集合中元素的性质，单位圆周N{(ab)|+b2={n|是正整数正整数集不包含任何元素的集合称为空集(emptyset)a˛a˛B,则与相等(equivalentBA=A˝B,B˝5集合的运算AB{x|集合的运算AB{x|x˛且x˛B};AB{x|x˛或x˛B};数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合任何数域都含有元素0和元素若a˛P,$1/a˛典型数域：复数域，实数域，有理数域任意数域都包括有理数域6(b线性空给定非空集合V，数域K，如果满足(b线性空给定非空集合V，数域K，如果满足,,z˛k,l˛Ⅰ在中定义一个封闭的加加法交换加法结合负向x+0=x+-x)=Ⅱ在中定义一个封闭的数乘运kx+k+l)x=kx+lx=x数因子分配数因子结合单位向1x=7实系数，次数不超过的一元多项式的集合例P实系数，次数不超过的一元多项式的集合例P[x={ax+⋯+ax+a|a,⋯,a,a˛nnn1010例常系数二阶齐次线性微分方程的解集y-y+Y={2x+x|,b˛所有阶实矩阵的集合。例8(c)线性空间的基本性零元素是(c)线性空间的基本性零元素是唯一的任一元素的负元素是唯一的设,0,1˛,0,x˛V，0x=1)x=-k0=①②③x0kxk，9定义：给定线性空间中一组定义：给定线性空间中一组元素1,…,，对，若存在数域中的一组数c1,,m使11则称是1,…,的线性组合或称能被x1,…,线性表示（线性表出）定义：对于线性空间中一组元素1,…,，若存在数域中的一组不全为零的数c1,,m使得11+⋯+mm=则称x1,…,是线性相关(linearlydependent)的。否则称1,…,是线性无关(linearlyindependent)的在中，分别讨论下面两个向量组的线性例关性ε=1,0,⋯,0ε¢=,1,⋯,在中，分别讨论下面两个向量组的线性例关性ε=1,0,⋯,0ε¢=,1,⋯,1,11ε=0,=,1,⋯,0⋮⋮0,10,0,⋯,0,1例讨论下面2阶矩阵的线性相关性===1.A=1,1,1234例6设是上全体实函数构成的线性空间，讨论V定义：线性空间中线性无关向量组所含向量定义：线性空间中线性无关向量组所含向量最个数称为的维数(dimension)，记为dim=当是有限数时，称为维线性空间。=∞+1，1,,2,…,y-y+微分方的解集例di=2Y={2x+x|,b˛},例3所有阶实矩阵的集合是2维线性空间eeT是一个最大线性无关组i2.线性空间的基与坐(a)2.线性空间的基与坐(a)基与坐给定数域上的线性空间，1,2,…,r是中的个向量。如果满足：1.x1,x2,…,线性无关；2.中任意一个向量都可以由x1,x2,…,线性表出，称1,2,…,是的一组基(base)，并称为基向线性空间的维数就是基中所含基向量个数1,2,…,，12+,1,2,…,n是在该坐标系下的线性空间的维数与所考虑的数线性空间的维数与所考虑的数域有关如果把复数域C看作是自身上的线性空间，那dimC=1,数1是基如果把复数域看作是实数域上的线性空间，那dim=2，数1与i就是一组基(b基变1,2,…,(b基变1,2,…,1=111+212+⋯+1⋮n112,…,12⋮⋯⋯1nc2ny,y,⋯,y)=x,x,⋯,x⋮12n12nc⋯c=x,x,⋯,x n称矩阵(matrix是一组基到另一组基的过渡矩阵过渡矩阵的性质定理1：过渡矩阵的性质定理1：过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵1,2,…,1,2,…,1,2,…,1,2,…,n1,2,…,1,2,…,，12,…12,…，12,…,12,…(c坐标变1,2,…,1,2,…,，12n12(c坐标变1,2,…,1,2,…,，12n12nxhn=(y,y,⋯,y)x=(x,x,⋯,x22⋮⋮1212n hhh1xn或 n则1h=Ch2=C-122⋮⋮⋮⋮给定维向量空间中的两组基例1=(1,给定维向量空间中的两组基例1=(1,0,⋯,0),2=(0,1,⋯,0),⋯,n=(0,⋯,0,1=(1,1,⋯,1),2=(0,1,⋯,1),⋯,n=(0,⋯,0,1,2,…,n1,2,…,nC和1,2,…,n1,2,…,n。并求向1,2,…,例给定4维向量空间中的两组基1=(2,1,0,4=(1,3,1,1=(1,2,-1,1,2,3,41,2,3,4已知2×2中的两组基例=0,=1,=0,=0E0001已知2×2中的两组基例=0,=1,=0,=0E0001=0,=1,=1,=1F0001112212211122122并求矩A=-524在基11,12,21,22下的坐标3.线性子空(a)线性3.线性子空(a)线性子空设1是数域上的线性空间上一个非空子集合且对已有的线性运算满足以下条件如果1，则1如果1，则k∈1；则称1是的线性子空间(linearsubspace)或子空线性子空间也是线性空间非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身和零子空间；线性子空间的维数小于等于线性空间的维数元齐次线性方程12元齐次线性方程121nnx+a22x2+⋯+a2nxn=a +as2x2+⋯+nn=的全部解向量所成集合对于通常的向量加法和的一个子空间，称为方程组的解空间。dimW=-rank)方程组的一个基础解系就是解空间的一组基判断的下列子集合哪些是子空间判断的下列子集合哪些是子空间11ni};11ni};例={(1,x2,⋯,xn-1,0)|i˛,i=1,2,⋯,n-若为的子空间，求出其维数与一组基1是子空间，dim1=-1，一组基为(-1,0,…,0,1),(0,-1,…,0,1),…,(0,0,…,-1,1)x˛V2,2xˇV22不是子空间，因为对。3是子空间，dim3=-1，一组基为1=(1,0,…,0,02=(0,1,…,0,0),…-1=(0,0,…,1,0)1,2,…,1,2,…, ={k11+⋯+i是的线性子空间，称为由1,2,…,生成(或张成的子空间,记或(1span{1,x2,...,m}.扩基定如果x1,2,…,是线性无关,则它们就是一组基定理4：设1为维线性空间的一m维子空间1,2,…,为1的一组基，则这组向量必定可扩充+1+2,…，1,2,…,定义：设的个列向量为定义：设的个列向量为1,2,…,，)={y|y=,x˛nR(A)=L,a,⋯,12n是的线性子空间，称为矩阵的值域(range)类似可定义T的值域，它是的线性子空间容易证明：rank=dim()=dim(T)定义：对于矩阵，集{x|x=0,x˛称为的核空间(nullspace)，记为)。它是的()，().01已A=A的秩和零度例，，01已A=A的秩和零度例，，T1设，证明di)+di);diT)+diT);(T)=-例(b)线性子空间的交与定理5：设(b)线性子空间的交与定理5：设1、2为线性空间的子空间，则集1∩{a|a˛V1且a˛V2也为的子空间，称之为1与2的交空间定理6：设1、2为线性空间的子空间，则集1+212也为的子空间，称之为1与2的和(sum)空间的两子空间的并(union)未必是的子空间例如2中的两条直线的并集就不是2的子空间。定理：设1、2为线性空间的子空间，则有：dim1定理：设1、2为线性空间的子空间，则有：dim1+2dim12dim1dim2dim1+2dim1dim2dim12子空间和的维数不大于各子空间的维数的和dim1+2dim1dim2dim1∩2)>此时V1∩V2必包含非零向量dim1+2dim1dim2dim1∩2)=此时V1∩2只包含零向量，即1∩2={0}定义：设1、2为线性空间的子空间，若定义：设1、2为线性空间的子空间，若和空V1+V2中的每个向量的分解x=1+x21˛V1,x2是唯一的，则称和1+2为直和(directsum)，1¯。(1)分解式唯一是指：若x=1+=1+y21,1˛V1,x2,2˛V21=1，2=2(2)分解式唯一，不是在任意两个子空间的和中成立设2×2的两个子空间为例AA=,x-xx设2×2的两个子空间为例AA=,x-xx3=014x 4=0,=V=LB,B,121212把V1+V2表示成生成子空间求1+2的基和维数求1∩2的基和维数试举例分解不唯一定理：设1、2的子空间，则下面定理：设1、2的子空间，则下面五个条件等价：1+2是直和零向量的分解式唯一(3)1∩2={0}；dim12)=di1+di21,2,…,1，1,2,…,212,…,12,…r12(2)(3)(4)⇕定义：设V1,V2,…定义：设V1,V2,…,是线性空间的子空间，若和1+2+…+x=1+