辽宁沈阳市二十中学2023年高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

辽宁沈阳市二十中学2023年高一数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为A. B.C. D.2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是A. B.C. D.3．计算的值为A. B.C. D.4．下列各组函数与的图象相同的是（）A. B.C. D.5．已知集合，集合为整数集，则A. B.C. D.6．函数的单调递增区间是A. B.C. D.7．已知点，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为A.（－3，0，0） B.（0，－3，0）C.（0，0，3） D.（0，0，－3）8．定义运算：，将函数的图象向左平移的单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B.C. D.9．函数的定义城为（）A B.C. D.10．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A.6 B.9C.12 D.18二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则__________12．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），，均恒成立；（2）当时，，则_____，函数在区间中的所有零点之和为_______.13．=________14．已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是______15．若、是方程的两个根，则__________.16．不等式x2-5x+6≤0的解集为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．过圆内一点P（3，1）作弦AB，当|AB|最短时,求弦长|AB|.18．已知函数（1）求函数的最小正周期、单调区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.19．已知正方体ABCD-的棱长为2.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：.20．已知集合，集合.（1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.21．已知函数（1）求出该函数最小正周期；（2）当时，的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；所以球的体积为：故答案选：A点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2、B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3、D【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.4、B【解析】根据相等函数的定义即可得出结果.【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B5、A【解析】，选A.【考点定位】集合的基本运算.6、D【解析】，选D.7、D【解析】设点，根据点到两点距离相等，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，可设点，因为点到两点的距离相等，可得，即，解得，所以整理得点的坐标为.故选：D.8、C【解析】由题意可得，再根据平移得到的函数为偶函数，利用对称轴即可解出.【详解】因为，所以，其图象向左平移个单位，得到函数的图象，而图象关于轴对称，所以其为偶函数，于是，即，又，所以的最小值是故选：C.9、C【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.【详解】由题意可得解得，所以原函数的定义域为，故选：C10、C【解析】根据题意可得，代入面积公式，配方即可求出最大值.【详解】由，，则，所以，当时，取得最大值，此时.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】由题意可知故答案为312、①.1②.42【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，由可知，，则周期，即，函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数图象的交点的横坐标之和，当时，为单调递增函数，，，且区间关于对称，又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，同理，…，，∴.故答案为：，.13、【解析】利用两角差的正切公式直接求值即可.【详解】=故答案为【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，特殊角的三角函数值，属于基础题.14、【解析】先判断函数奇偶性，再判断函数的单调性，从而把条件不等式转化为简单不等式.【详解】由函数定义域为R，且，可知函数为奇函数.，令则，令则即在定义域R上单调递增，又，由此可知，当时，即，函数即为减函数；当时，即，函数即为增函数，故函数在R上的最小值为，可知函数在定义域为R上为增函数.根据以上两个性质，不等式可化为，不等式等价于即解之得或故答案为15、【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由

，运算求得结果【详解】、是方程的两个根，，，，，故答案为：16、【解析】根据二次函数的特点即可求解.【详解】由x2-5x+6≤0，可以看作抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为，∴，即原不等式的解集为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解析】考虑直线AB的斜率不存在时，求出A,B坐标，得到，当直线AB的斜率存在时，圆的圆心（4,2），半径r=3，圆心（4,2）到直线AB的距离为：，利用勾股定理基本不不等式即可求出圆的最短的弦长【详解】(1)当直线AB的斜率不存在时，，所以（2）当直线AB的斜率存在时，圆心（4,2）到直线AB的距离为：，即，当时取得最小值7，弦长的最小值为.综上弦长的最小值为.【点睛】本题考查圆的最短弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用18、(1),增区间是，减区间是(2)，【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值【详解】（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）将问题转化为求即可；（2）根据线面垂直证明线线垂直.【小问1详解】在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，∴.【小问2详解】证明：在正方体中，易知，∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.又∵，、平面，∴BD⊥平面.又平面，∴20、（1）；（2）【解析】（1）根据集合交集的定义，结合一元二次不等式解法进行求解即可；（