新高考数学一轮复习讲练测专题7.6数学归纳法（讲）解析版

专题7.6数学归纳法新课程考试要求1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等.考向预测1.数学归纳法原理；2．数学归纳法的简单应用.3．利用数学归纳法证明数列相关问题.【知识清单】知识点一．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【考点分类剖析】考点一利用数学归纳法证明不等式【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中项，数列SKIPIF1<0满足：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式；（2）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列SKIPIF1<0的通项公式，再由数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0的通项公式；（2）把SKIPIF1<0的通项公式代入SKIPIF1<0，首先利用数学归纳法证得SKIPIF1<0，再利用放缩法及等差数列的前SKIPIF1<0项和，即可证明.【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中项，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）先用数学归纳法证明当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，左式>右式，不等式成立；②假设SKIPIF1<0时，不等式成立，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不等式也成立.由①②得证当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列满足.(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；(2)求证:.【答案】(1);猜想;(2)证明见解析【解析】(1)猜想(2)所以(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；(2)假设时，不等式成立，即，那么当时，只要证明成立，只要证明即证只要证明即证，即证只要证明，显然成立，所以时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范围（2）若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)（3）在（2）的条件下，证明：SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据函数SKIPIF1<0的表达式，再结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0取任意正整数，所以SKIPIF1<0；（2）先用导数进行研究，可到函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；（3）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，变形得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，再通过放缩得SKIPIF1<0，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.【详解】（1）由题得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在(1，SKIPIF1<0)上是单调递增函数.下面用数学归纳法证明：SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0成立.②假设当SKIPIF1<0时，结论成立.即：SKIPIF1<0那么当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0这表明当SKIPIF1<0时不等式也成立，综合①②可知：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0成立（3）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增SKIPIF1<0由（2）知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0左边SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2021·浙江高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0证明：当SKIPIF1<0时，（I）SKIPIF1<0；（II）SKIPIF1<0；（III）SKIPIF1<0.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（I）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，递推可得SKIPIF1<0.【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．假设SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，矛盾，故SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（Ⅱ）由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0．记函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（Ⅲ）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0．2.（2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以，.（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得，.，.法2：由（Ⅰ）可得，.我们用数学归纳法证明.（1）当时，，不等式成立；（2）假设（）时不等式成立，即.那么，当时，，即当时不等式也成立.根据（1）和（2），不等式，对任意成立.3.（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，，成等比数列．（1）求通项公式；（2）求证：（）；【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）记为的公差，则对任意，，即为等比数列，公比.由，，成等比数列，得，即，解得，即.所以，即；（2）由（1），即证：.下面用数学归纳法证明上述不等式.①当时，不等式显然成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.因，故.于是，即当时，不等式仍成立.综合①②，得.所以考点二归纳、猜想、证明【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通项公式并加以证明；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0，证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）计算得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0，然后利用数学归纳法可证明出猜想成立；（2）计算得出SKIPIF1<0，然后利用错位相减法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0，下面利用数学归纳法加以证明：当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，猜想成立；假设当SKIPIF1<0时，猜想成立，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这说明当SKIPIF1<0时，猜想也成立，由上可知，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，上式SKIPIF1<0下式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导数，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0的表达式，并证明你的结论．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，证明见解析【解析】SKIPIF1<0对函数SKIPIF1<0进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得SKIPIF1<0的表达式,对函数SKIPIF1<0再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得SKIPIF1<0的表达式;SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下面用数学归纳法证明：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，②假设SKIPIF1<0时，猜想成立即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，猜想成立由①②SKIPIF1<0对SKIPIF1<0成立【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．【变式探究】1.（2019·浙江高二期末）数列的前项和为，且满足．(Ⅰ)求，，，的值；(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）当时，∵，∴，又，∴，同理，；（Ⅱ）猜想下面用数学归纳法证明这个结论.①当时，结论成立.②假设时结论成立，即，当时，，∴，∴即当时结论成立.由①②知对任意的正整数n都成立.2.给出下列不等式：1>11+11+11+11+1（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）1+1【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：1=2……猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为所以，不等式的一般结论为：1+1（2）证明：①当n=1,2②假设n=k时结论成立，即：1+当n=k>即当n=k+1考点三利用数学归纳法证明等式【典例6】已知a，b，c，使等式1⋅22+2⋅（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）a=3,b=11,c=10；（2）见解析【解析】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【典例7】证明：eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(n,2n＋1)．(n∈N*)【答案】见解析【解析】【思路分析】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2k－12k＋1)＝eq\f(k,2k＋1)成立，并以此作为条件来推证等式eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2k－12k＋1)＋eq\f(1,2k＋12k＋3)＝eq\f(k＋1,2k＋1＋1)成立．【证明】(1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,1×3)＝eq\f(1,3)，右边＝eq\f(1,2×1＋1)＝eq\f(1,3)，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2k－12k＋1)＝eq\f(k,2k＋1)，则当n＝k＋1时，eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2k－12k＋1)＋eq\f(1,2k＋12k＋3)＝eq\f(k,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋12k＋3)＝eq\f(k2k＋3＋1,2k＋12k＋3)＝eq\f(2k2＋3k＋1,2k＋12k＋3)＝eq\f(k＋1,2k＋3)＝eq\f(k＋1,2k＋1＋1)．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切