2023学年完整公开课版补充

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:复习:2、二面角的表示方法AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0

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二面角的大小用它的平面角的大小来度量

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1一、几何法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法:ABOaPABCD过E作ED⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BD，过B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC为正△，∴BE=在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=∴∠BDE=arctan例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂线法:几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。ABCDA1B1C1D1EEFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。练习3：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。PABCDE例4如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[分析]

(1)要证明DE＝DA，只需证明Rt△DFE≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA，又DM⊂平面DEA.∴平面DEA⊥平面ECA.[点评]

本题涉及线面垂直，面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键．5.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．证明：(1)在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD.(2)连结PG，由△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，∴EF∥平面PBG.在菱形ABCD中，GB∥DE，∴DE∥平面PBG，FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得：PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1上一点.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求证：BE=B1E.4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1上一点.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求证：BE=B1E.证明：在平面A1EC内过点E作EG⊥A1C，垂足为G.因为平面A1EC⊥平面AA1C1C，所以EG⊥平面AA1C1C.取AC的中点F，连结BF.因为AB=BC，所以BF⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，所以BF⊥平面AA1C1C.于是BF∥EG.连结FG.因为BE∥平面AA1C1C，所以BE∥FG.又BE∥AA1，所以FG∥AA1.因为F为AC的中点，所以G为A1C的中点，