线面角和面面角

线面角和面面角如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面的垂线段pQ

过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；

这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ一、直线和平面所成的角（2）斜线

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．

斜线和平面的交点叫做斜足。

从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR说明：平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？PRQST如图：＿＿＿＿是斜线AC在内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在内的射影ACBFE说明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。2.直线和平面所成角的定义ABO①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0

的角。说明：③直线和平面所成角的范围是[0，]AlBOD

l是平面

的斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是平面

的垂线，B是垂足，直线OB是l在

内的射影，∠AOB

(记作θ）是l与平面

所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？COD是

内不同于OB的任一直线，过点A引AC垂直于OD，垂足为C.AlBODθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD

拓展：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。例1.如图，AO是平面π的斜线，AB⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=

，∠BOD=

，∠AOD=

，求证：cos

=cos

cos

ABODC

例1

在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC(1)四面体P-ABC中有几个直角三角形(2)指出PB,PC与平面ABC所成的角

AC,PC与平面PAB所成的角ACBP如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1ADCB45o巩固练习AC1DCA1D1BF例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角AC1DCBP变式：（１）求直线AC与平面A1B1CD所成的角（２）E，F分别是BC，CC1的中点，求EF与面ACC1A1所成的角.B1A1D1QB1EO练习1.两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗？2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？二、二面角的平面角:1、二面角的平面角的定义：面角的平面角.

一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二定义二：定义一：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。αβB。OAB1。O1A1αβB。PA小结：

(1).二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。

(2).二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。二面角的度量二面角的平面角的三个特征：3）角的边都要垂直于二面角的棱。1）角的顶点在棱上;2）角的两边分别在两个面内;γ讨论1如图，点A在二面角α-a-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-a-β的平面角？----“定义法”讨论2讨论3----“三垂线法”----“垂面法”OBB

lA

lA过A作AB⊥β交于B

，再过A作AO⊥a交于O连结OB，则∠AOB为所求的角。O由定义知：过A作AO⊥

交于O，在面β内作OB⊥则∠ＡＯＢ为所求的角。过A作平面γ

⊥

分别交α、β于OA、OB，则∠AOB为所求的角。2、二面角的平面角的作法:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’寻找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.例2