抛物线的几何性质

抛物线的几何性质1精选课件

前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回忆：2精选课件图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px〔p>0〕y2=-2px〔p>0〕x2=2py〔p>0〕x2=-2py〔p>0〕3精选课件二、练习：填空〔顶点在原点，焦点在坐标轴上〕方程焦点准线开口方向开口向右开口向左开口向上开口向下4精选课件P(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px〔p>0〕而所以抛物线的范围为5精选课件关于x轴对称

由于点也满足，故抛物线(p>0)关于x轴对称.y2=2pxy2=2px2、对称性P(x,y)6精选课件定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点。P(x,y)由y2=2px〔p>0〕当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点〔0，0〕。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点7精选课件4、开口方向P(x,y)抛物线y2=2px〔p>0〕的开口方向向右。+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下8精选课件5、离心率P(x,y)

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。

下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。9精选课件〔二〕归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px〔p>0〕y2=-2px〔p>0〕x2=2py〔p>0〕x2=-2py〔p>0〕x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴110精选课件特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)11精选课件补充〔1〕通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔〔2〕焦半径：

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：〔标准方程中2p的几何意义〕利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线根本特征的草图。12精选课件例１：抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M〔２，〕，求它的标准方程，并用描点法画出图形。

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），解：所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：〔三〕、例题讲解：13精选课件作图：(1)列表〔在第一象限内列表〕x01234…y…(2)描点：(3)连线：11xyO14精选课件课堂练习：求适合以下条件的抛物线的方程：〔1〕顶点在原点，焦点F为〔0，5〕;〔2〕顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).15精选课件探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。16精选课件例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一局部，光源位于抛物线的焦点处，灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如下图，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB

设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得所求的标准方程为焦点坐标为17精选课件24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA〔2,－2〕x2=－2yB〔1，y〕y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能平安通过y=－3代入得例题318精选课件例3、P是抛物线y2=4x上的任意一点，点A(2,0)，试求|PA|的最小值及|PA|取得最小值时的P点的坐标.练习、抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值是()(A)(B)(C)(D)19精选课件(三〕、课堂练习：1、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，那么这个三角形的面积为。20精选课件5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.BC21精选课件例2：已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为相交的公共弦等于，求这条抛物线的方程22精选课件