高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 概率与统计 突破点6 古典概型与几何概型教师用书 理-人教版高三数学试题

专题三概率与统计建知识网络明内在联系[高考点拨]本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说话，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“随机变量及其分布列”“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导，强化突破．突破点6古典概型与几何概型(对应学生用书第167页)提炼1古典概型问题的求解技巧(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解．(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.提炼2几何度量法求解几何概型准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.提炼3求概率的两种常用方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．回访1古典概型1．(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)C[从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)D[4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).]3．(2013·全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为eq\f(1,14)，则n＝________.8[由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝eq\f(2,C\o\al(2,n))＝eq\f(1,14)，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.]4．(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．eq\f(2,3)[两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]回访2几何概型5．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)B[如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故选B.]6．(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)C[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).]7．(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．eq\f(3,4)[由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).由几何概型的概率计算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4).]

(对应学生用书第167页)热点题型1古典概型题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度较小.(1)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，先从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(6,25)(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是()【导学号：67722027】A.eq\f(9,16) B.eq\f(7,16)C.eq\f(4,16) D.eq\f(3,16)(1)B(2)A[(1)设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).故选B.(2)记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.因为函数f(x)在R上为增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq\f(b2,3).所以当b＝1时，有a≥eq\f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4个数；当b＝2时，有a≥eq\f(4,3)，故a可取2,3,4，共3个数；当b＝3时，有a≥3，故a可取3,4，共2个数；当b＝4时，有a≥eq\f(16,3)，故a无可取值．综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)．又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(种)．故所求事件A的概率为P(A)＝eq\f(9,16).故选A.]利用古典概型求事件概率的关键及注意点1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数．2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．[变式训练1](2016·广州二模)从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)C[从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，共有20种不同结果．其中这个两位数大于30的共有12种不同结果，故所求事件的概率P＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).]热点题型2几何概型题型分析：高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型.求解几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积等，难度较小.(1)(2016·东营模拟)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)(1)A(2)eq\f(9,32)[(1)由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，所以事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4)，故选A.

(2)设小张和小王到校的时间分别为x和y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30≤x≤50，,30≤y≤50，,y－x≥5，))则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×15×15,20×20)＝eq\f(9,32).]判断几何概型中的几何度量形式的方法1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关．2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)．提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、直观．[变式训练2](1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)(2)如图6­1，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝eq\f(π,3)，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为()图6­1A．100 B．200C．400 D．450(1)B(2)C[(1)如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故选B.(2)如图，设OA与圆C相切于点D，连接OC，CD，∠AOB＝eq\f(π,3)，则∠COD＝eq\f(π,6)，设圆C的半径为1，可得OC＝2，所以扇形的半径为3，由几何概型可得点在圆C内的概率为P＝eq\f(S圆C,S扇形AOB)＝eq\f(π×12,\f(1,6)×π×32)＝eq\f(2,3)，故向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计为eq\f(2,3)×600＝400(个)．]热点题型3互斥事件与对立事件的概率题型分析：互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.(2016·南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．[解]甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：文学社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16种情形，即有16个基本事件.6分(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，故所求概率为eq\f(14,16)＝eq\f(7,8).9分(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，故所求概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).12分1．直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．2．间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便．提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥．[变式训练3](名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解]记事件A为“该车主购买甲种保险”，事件B为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D为“该车主甲、乙两种保险都不购买”.4分(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.8分(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分专题限时集训(六)古典概型与几何概型[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.eq\f(8,15) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).]2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,10) D.eq\f(2,5)D[由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故选D.]3．(2016·临沂模拟)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)D[sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，由1≤eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，结合x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))得0≤x≤eq\f(π,2)，所以所求概率为eq\f(\f(π,2),\f(π,2)＋\f(π,6))＝eq\f(3,4).]4．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(10,27) D.eq\f(17,27)B[依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)，其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)，因此甲、乙两人被分到不同社区的概率等于1－eq\f(C\o\al(2,2)·A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)·A\o\al(3,3))＝eq\f(5,6).]5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)C[如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,|x－y|≤2，))所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).]二、填空题6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝__________.eq\f(2,3)[将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，且P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(2,3).]7．(2016·河南市联考)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，6，8))，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号：67722028】eq\f(2,3)[要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).]8．如图6­2，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝eq\f(9,4)，则黄豆落入阴影部分的概率为________．图6­21－eq\f(9π,64)[由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为eq\f(22－\f(1,4)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,22)＝1－eq\f(9π,64).]三、解答题9.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图6­3所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图6­3乙商场：从装有3个白球，3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外，不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？[解]如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为eq\f(4×15πR2,360)＝eq\f(πR2,6).所以，在甲商场中奖的概率为P1＝eq\f(\f(πR2,6),πR2)＝eq\f(1,6).4分如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，8分摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3个，所以在乙商场中奖的概率为P2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10分由于P1<P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大.12分10．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y∈R，且1≤x≤6,1≤y≤6，求满足a·b>0的概率；(2)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率．[解](1)用B表示事件“a·b>0”，即x－2y>0.1分试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，2分构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，3分如图所示．所以所求的概率为P(B)＝eq\f(\f(1,2)×4×2,5×5)＝eq\f(4,25).6分(2)设(x，y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个.11分∴P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).12分[B组名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)A[基本事件的总数为10，其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为eq\f(3,10).]2．已知P是△ABC所在平面内一点，eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＋2eq\o(PA,\s\up8(→))＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()【导学号：67722029】A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)C[如图所示，取边BC上的中点D，由eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＋2eq\o(PA,\s\up8(→))＝0，得eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→)).又eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PD,\s\up8(→))，故eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故选C.]3．(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3－eq\f(1,2)bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f′(x)在x＝1处取得最值的概率是()A.eq\f(1,36) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)C[由题意得f′(x)＝ax2－bx＋1，因为f′(x)在x＝1处取得最值，所以eq\f(b,2a)＝1，符合的点数(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a，b)共有36种情况，所以所求概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故选C.]4．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，则()A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1B[满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2<p3<p1.]二、填空题5．曲线C的方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝__________.eq\f(5,12)[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).]6．如图6­4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________．图6­4eq\f(2,e2)[∵y＝ex与y＝lnx互为反函数，故直线y＝x两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可．如图，S1＝∫eq\o\al(1,0)exdx＝exeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝e1－e0＝e－1.∴S总阴影＝2S阴影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2，故所求概率为P＝eq\f(2,e2).]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．[解](1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1