第5章 平面直角坐标系（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第5章平面直角坐标系（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图是某时刻卫星云图的示意图，每相邻两个圆之间的距离是10千米，以台风中心为观测点，岛屿A在（

）．

A．北偏西方向30千米处 B．北偏东方向30千米处C．西偏北方向20千米处 D．北偏西方向30千米处2．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（

）A．30 B．15 C．10 D．3．已知，点P的坐标为，点Q的坐标为，O为坐标原点，则满足（）A．大于135小于180° B．等于135°C．大于90°小于135° D．大于0°小于90°4．已知，则下面结论中正确的是（）A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3C．点B到x轴距离是1 D．轴5．在平面直接坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法错误的是（

）A．当，点是线段的中点B．当，点一定在线段上C．存在唯一一个的值，使得D．存在唯一一个的值，使得6．在平面直角坐标系中有，，三点，且点，点，点，若的立方根是，的算术平方根为，是比小的最大整数，则下列结论：①；②的平方根为；③；④c是关于的方程的解；⑤若线段，且，则点的坐标为或．其中正确的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个7．如图，中的与x轴重合，将绕原点O顺时针旋转后得到，将绕原点O顺时针旋转得到，…，如此继续下去，连续旋转2023次得到，则点的坐标是（

）A． B． C． D．8．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，过点A作轴于点B，过点A作轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，同时，点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为，当时，则t应满足（

）A． B． C．或 D．或9．中山公园位于天安门西侧，原为辽、金时的兴国寺，元代改名万寿兴国寺．明成祖朱棣兴建北京宫殿时，按照“左祖右社”的制度，改建为社稷坛．这里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟为中央公园．为纪念孙中山先生，1928年改名中山公园．如图是中山公园平面图，其中点是孙中山先生像，点是来今雨轩，点是中山堂．分别以水平向右、竖直向上的方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，下列对各景点位置描述：

若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为：若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为；若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为；若的坐标为，的坐标为，则的坐标约为．其中正确的描述有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（

）

A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．点在第一象限，且到y轴的距离为3，直线轴，且．（1）点A的坐标为；（2）点C的坐标为．12．在平面直角坐标系中，点，，，，若，，平分交线段于点E．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是．13．点满足，称点为幸福点，若点满足，则称点为师一点，若点既是幸福点又是师一点，则点的坐标为：若点既是幸福点又是师一点，且在第二象限内，则当整数a取最大值时，点的坐标为．14．已知，，…，，…，（k为正整数），且满足，，则A2022的坐标为.15．已知，直线m经过点A，且轴于点M，点B从点M出发，沿直线m以2个单位/秒的速度向上运动，记的面积为S，运动时间为t，若，则t的取值范围是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，交y轴于B，且，，则点B坐标为．17．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．（1）三角形ABC的面积为；（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为．18．若点的坐标满足方程组，若在轴上方且在轴左侧，当是整点时，到轴距离最远的点坐标是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知点，解答下列各题．（1）点在轴上，求出点的坐标．（2）点的坐标为，直线轴，求出点的坐标．（3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值．20．（8分）已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”．（1）当时，写出“如意点”：______；（2）判断点是否为“如意点”，并说明理由；（3）若点是“如意点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、，经一次平移后得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，其中的坐标为．（1）平移的距离为______；（2）请画出平移后的；（3）若为边上的一个点，平移后点的对应点的坐标为______；（4）平移过程中，边扫过的面积为______；22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a、b满足，现同时将点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，．（1）___________，____________；（2）点C的坐标是_____________，点D的坐标是_______________；（3）如图2，若点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动（不与B，D重合）请判断，，之间存在的数量关系，并说明理由．23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点、、．（1）求的面积；（2）将线段向右平移m个单位，使的面积大于17，求m的取值范围；（3）若点，连接，将线段向右平移个单位．若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接是轴上一动点．（1）点的坐标是________，点的坐标是________；与的关系是________；（2）当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点的坐标；（3）若，，，判断，，之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明．参考答案1．D【分析】根据平面图形上方向的辨别上北下南，左西右东，以台风中心为观测点，即可确定A点的方向；根据每相邻两个圆之间的距离表示10千米，可计算实际距离，据此解答即可．解：∵每相邻两个圆之间的距离是10千米，∴岛屿A在距离台风中心千米处，据图所示，以台风中心为观测点，岛屿A在北偏西方向30千米处或西偏北方向30千米处，故选：D．【点拨】此题考查的是位置与方向，分清东、南、西、北、东北、东南、西北、西南，是解决问题的关键，结合题意分析解答即可．2．B【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为（2,-2），则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．解：∵C点坐标（x,-2），∴C点在直线y=-2上，∴B点坐标（-3,-2），∵B点在直线y=-2上，根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，∵A点坐标（2,4），AC⊥BC，∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，∴C点坐标（2,-2），∴AC=4-（-2）=6，BC=2-（-3）=5，∵AC⊥BC，∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，故选：B．【点拨】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．3．C【分析】先判断出，则点P在第三象限，再证明，即点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案．解：∵，∴，，∴点P在第三象限，∵，，∴，∵，，

∴，，∴，∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，∴点P在第三象限的平分线的上方，且在x轴的下方，∵，∴，故选C．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线的上方，在x轴的下方是解题的关键．4．D【分析】直接利用点的坐标意义结合两个点的横坐标相同，纵坐标符号不同，进而分析得出答案．解：A．两点关于x轴对称，故选项错误，不符合题意；B．点A到y轴距离是1，故选项错误，不符合题意；C．点B到x轴距离是3，故选项错误，不符合题意；D．轴，故选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，点到坐标轴的距离等知识，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．5．D【分析】根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，进而判断C，D选项．解：∵点，，，当，则，，，∵，即点是线段的中点，故A选项正确；∵点，，，当，则，则点在点的右侧，又，即点在店的左侧，∴当，点一定在线段上，故B选项正确；∵轴，点的纵坐标为，∴，∵，，当时，则（无解）或解得：，故C选项正确；当时，则或解得：或，故D选项错误，符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．6．D【分析】根据题意分别求出、、的值，然后判断各个结论即可．解：∵的立方根是，的算术平方根为，是比小的最大整数，∴，，，∴，，①，结论正确；②，的平方根是，结论错误；③由，则结论错误；④由已知关于的方程的解为，结论错误；⑤若线段，且，则点的坐标为或，结论正确，故选：D．【点拨】本题主要考查立方根、算术平方根的知识、平面直角坐标系和解一元一次方程，熟练掌握立方根和算术平方根的知识是解题的关键．7．A【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．解：∴由放置得，将绕原点O顺时针旋转后得到，相当于将线段绕点O顺时针旋转，依次得到发现是8次循环，所以，∴点的坐标是故选：A【点拨】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．8．D【分析】分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求解，即可得出结论．解：∵点A坐标为（6，4），轴于B，轴于C，∠COB=90°，∴四边形ABOC为矩形，∴AC=OB=6，AB=OC=4，由运动知，，，当点D在OB上时，即，则，∴，．∵，∴，∴，即；当点D在BO的延长线上时，即，则，∴，．∵，∴，∴．综上所述，t应满足或．故选：D．【点拨】本题主要考查了动点问题，点的坐标，三角形的面积，理解利用了坐标系中点的坐标与图形的线段长度的关系来求解是解答关键．9．C【分析】对于，每个格子距离为1，对于④，每个格子距离为2，再平移点即可得出结论．解：点与点水平距离为6格，竖直距离为格，点与点水平距离为2格，竖直距离为格，对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确；对于，若，每个格子距离为1时，则的坐标为，故正确；对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为；故错误；对于，若，每个格子距离为2时，则的坐标约为．故正确．一共有3个正确．故选：C．【点拨】本题主要考查坐标轴的识别问题，关键是以所给点，确定坐标轴，考虑间距问题，即可求解．10．B【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到；第3圈有16个点，即到，；依次类推，第n圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；是在第23圈上，且，即，故B选项正确；第n圈，，所以，故C、D选项不正确；故选B．【点拨】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．11．（3，4）；（3，7）或（3，1）/（3,1）或（3,7）；【分析】（1）由点到坐标轴的距离，以及点在第一象限的符号特征，即可求出答案；（2）结合点A的坐标，以及轴，，即可求出答案；解：（1）∵点在第一象限，∴，∵点A到y轴的距离为3，∴，∴点A的坐标为（3，4）；（2）∵直线轴，∴点C的横坐标为3，∵，∴点C的坐标为：（3，7）或（3，1）；故答案为：（3，4）；（3，7）或（3，1）；【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离，点在象限的符号特征等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．12．①②③【分析】①根据坐标特点可得轴、轴，即可判定①；先说明，可得可判定③；先确定D点坐标，可得轴，进而得到可判定②；由①②③可得四边形是矩形，可得,；然后再说明，即为等腰直角三角形，进而求得即可判定④．解：∵点，，，，∴轴，轴∴，故①正确；若，，则A、B、C、D都在第一象限，∴，即，故③正确；∴∴轴∵轴∴，即②正确；∴四边形是长方形∴,∵平分交线段于点E∴在为等腰直角三角形∴∴∴,故④错误．综上，正确结论是①②③．故答案为【点拨】本题主要考查了坐标与图形、长方形的性质、角平分线的定义等知识点，掌握坐标与图形的关系是解答本题的关键．13．【分析】根据幸福点和师一点的定义得到，据此求解即可；根据幸福点和师一点的定义得到则，再根据第二象限内点的坐标特点求出a的值即可得到答案．解：若点既是幸福点又是师一点，则，∴，∴点的坐标为；若点既是幸福点又是师一点，则，∴，∵在第二象限内，∴，∴，∴满足题意的a的值为3，∴，∴点的坐标为；故答案为：；．【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，根据点所在的象限求参数，求不等式的整数解等等，正确理解题意得到二元一次方程组是解题的关键．14．/（0.5，0）【分析】根据，yk＝1﹣yk﹣1，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，根据规律求解即可．解：∵A1（2，1），A2（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k为正整数），且满足，yk＝1﹣yk﹣1，∴A3（，1），A4（2，0），A5（﹣1，1），A6（，0），A7（2，1），A8（﹣1，0），通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，∵2022＝6×337，∴A2022的坐标为（，0）．故答案为：（，0）．【点拨】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．15．或【分析】画出图形，求出AB的表达式，利用三角形的面积公式求值即可．解：如图所示：依题意得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴或，∴或，∵，∴或．故答案为：或．【点拨】本题考查三角形的面积，解不等式组，关键是能根据题意列出不等式组，并进行解答．16．【分析】由立方根及算术平方根、完全平方式求出，的值，得出，两点的坐标，连接，设，根据三角形的面积可求出的值，则答案可求出．解：（1），，，，，，，．如图，连接，设，，，，，，点的坐标为，故答案是：．【点拨】本题考查了立方根及算术平方根、完全平方公式、三角形的面积、坐标与图形的性质，解题的关键是利用分割的思想解答．17．5/【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，∵A（，4），B（，3），C（1，0），∴，，，∴，，，故答案为：5；（2），设，则，∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，如图，过点作轴，于点，则，过点作轴交于点，∵，∴，∴，根据题意是沿方向平移得到的，∴，∵，解得：，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．18．【分析】根据题意，解得，由在轴上方且在轴左侧，可知点P在第二象限，即x<0，y>0，进而求得0<m<3，再根据题意求出满足要求的点P即可．解：解方程组，得，∵在轴上方且在轴左侧，∴点P在第二象限，即x<0，y>0，∴，解得0<m<3，∵是整点，∴m可取1，2，又P到轴距离最远，∴2m-6最小时，P到轴距离最远，∴m=1，∴点P的坐标为．故答案为：．【点拨】本题考查了二元一次方程组的含参问题，涉及的知识点有平面直角坐标系中点坐标特征，解不等式组求整数解，正确地计算能力是解决问题的关键．19．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为0，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案．（2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案．（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可．（1）解：（1）点在轴上，，，，点的坐标为．（2）点的坐标为，直线轴，，，，点的坐标为．（3）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，，，，．的值为．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．20．（1）；（2）点是“如意点”．理由见分析；（3）点M在第一象限．理由见分析【分析】（1）根据“如意点”的定义解答即可；（2）根据“如意点”的定义计算判断即可；（3）根据“如意点”的定义可得，，结合满足的条件可求出a，进而可得答案．解：（1）当时，，解得，∴，∴“如意点”为；故答案为：；（2）点是“如意点”．理由如下：当时，．将代入，解得，∴，∴点是“如意点”．（3）点M在第一象限．理由如下：∵点是“如意点”，∴，，∴，．又∵，即，解得，∴点M的坐标为，∴点M在第一象限．【点拨】本题考查了点的坐标，正确理解“如意点”的定义是解题的关键．21．（1）；（2）见分析；（3）；（4）7【分析】（1）根据对应点的坐标即可求出平移的距离，根据勾股定理求解即可；（2）根据平移的规律，确定对应点，连接即可；（3）根据平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”，即可求得；（4）利用一个矩形的面积减去4个三角形的面积计算即可．（1）解：，，即：，，平移距离为：，故答案为：；（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：∵先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，又∵，∴平移后点P的对应点Q的坐标为，故答案为：；（4）解：平移过程中，边AB扫过的面积为：，故答案为：7．【点拨】本题主要考查作图—平移变换，平移的坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，并据此得出变换后的对应点．22．（1），5；（2），；（3）【分析】（1）根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出a和n（2）首先得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位长度，则纵坐标加4，向右平移3个单位长度，则横坐标加3，求出点C、D的坐标即可；（3）根据平移的性质可得，再过点P作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，内错角相等可得，，即可得出结论．解：（1）∵∴，，∴，；（2）∵，∴，∵点，分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，∴点，；（3）；理由如下：由平移的性质得：，过点作，交于，如图所示：

则，∴，，∴．【点拨】本题是坐标与图形，考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度适中．23．（1）9；（2）；（3）【分析】（1）根据、，求出，判断出轴，到的距离是，进而用三角形的面积公式即可得出结论；（2）延长交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，设线段向右平移个单位得到，再分两种情况，得出平移后的（即）的面积，再用平移后的的面积大于17列出不等式，即可得出结论；（3）先得出当平移后得点C在线段上时，平移距离最小，当平移后得点B在线段上时，平移距离最大、即（点位置见分析），再分别求出即可得出结论．（1）解：∵、，∴，轴又∵，∴到的距离是，∴的面积是：；（2）如图，延长交x轴于H，

∵，，∴点B向下平移4个单位，再向左平移3到点C，又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位，∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移个单位到点H，∴∵，，，设线段向右平移个单位得到，则，，当点在点G左边时，作图

，∵线段向右平移m个单位到达处，的面积大于17，∴，解得：，（m为正数，故舍去）当点在点G右边时，

，∵线段向右平移m个单位到达处，的面积大于17，∴，∴，综上所述：m的取值范围是；（3）；补充求