新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.3函数模型的应用学案新人教A版必修第一册

4.5.3函数模型的应用学习目标1．会利用已知函数模型解决实际问题．2．能建立函数模型解决实际问题．3．了解拟合函数模型并解决实际问题．核心素养通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.知识点指数函数与对数函数模型指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)练一练：1．某厂2011年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2023年的产值(单位：万元)是(B)A．a(1＋n%)13 B．a(1＋n%)12C．a(1＋n%)11 D．a(1－n%)12[解析]2011年的产值为a万元，2012年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2013年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2023年的产值为a(1＋n%)12.2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝_2ln_2_，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为_1_024_.[解析]由题意知，当t＝eq\f(1,2)时，y＝2，即2＝，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e2×5×ln2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到_300_只．[解析]由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)，所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.题型探究题型一一次函数、二次函数、分段函数模型典例1某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．[解析](1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8(0<x≤2)，,8＋1.9(x－2)(2<x≤10)，,8＋1.9×8＋2.85(x－10)(10<x≤60)，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8(0<x≤2)，,4.2＋1.9x(2<x≤10)，,2.85x－5.3(10<x≤60).))(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘2辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．因此40.3>38.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．[归纳提升]利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．对点练习❶某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40000，x>200，x∈N，))其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)[解析](1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，,30000－100x，x>200，x∈N.))(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以当x＝150时，有最大值12500；当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数，f(x)<30000－100×200<12500.所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元．题型二指数函数模型的应用典例2一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB.(1)求y关于x的函数解析式；(2)如果病毒占据内存不超过1GB(1GB＝210MB，1MB＝210KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．[解析](1)因为在刚开机时它占据内存2KB，然后每3分钟后所占的内存是原来的2倍，所以，一个三分钟后它占据的内存为2×2＝22KB；两个三分钟后它占据的内存为2×2×2＝23KB；三个三分钟后它占据的内存为23×2＝24KB；…所以，x分钟后它占据的内存为KB，所以y＝；(2)由＝210·210＝220，得eq\f(x,3)＋1＝20，解得x＝57.所以，本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．[归纳提升]指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对点练习❷已知f(x)＝eq\f(5,1＋4－x＋1)(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，则该果树的高度超过4.8m，至少需要(B)A．3年 B．4年C．5年 D．6年[解析]因为f(x)＝eq\f(5,1＋4－x＋1)＝eq\f(5,1＋\f(4,4x))，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝eq\f(5,1＋4－2)＝eq\f(80,17)<4.8，f(4)＝eq\f(5,1＋4－3)＝eq\f(320,65)>4.8，故该果树的高度超过4.8m，至少需要4年．题型三对数函数模型的应用典例3有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg2＝0.30,31.2＝3.74，31.4＝4.66)．(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？[分析](1)将x0，x代入解析式求速度．(2)利用候鸟休息的速度为0解题．(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．[解析](1)由题意，x0＝2，x＝8100，得v＝eq\f(1,2)log3eq\f(8100,100)－lg2＝1.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lg5，即log3eq\f(x,100)＝2lg5，解得：x＝466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2.5＝\f(1,2)log3\f(x1,100)－lgx0，,1.5＝\f(1,2)log3\f(x2,100)－lgx0，))两式相减可得1＝eq\f(1,2)log3eq\f(x1,x2)，解得：eq\f(x1,x2)＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．[归纳提升]对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．对点练习❸大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v＝klog3eq\f(Q,100)＋b，其中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5m/s时，其耗氧量为2700个单位．(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．[解析](1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝k·log3\f(100,100)＋b，,1.5＝k·log3\f(2700,100)＋b，))解得k＝eq\f(1,2)，b＝0，所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)由题意，有eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)≤2.5，即log3eq\f(Q,100)≤5，所以log3eq\f(Q,100)≤log335，由对数函数的单调性有0<eq\f(Q,100)≤35，解得0<Q≤24300，故当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时，其耗氧量至多需要24300个单位．1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(A)x45678910y18212427303336A.一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型[解析]随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(A)[解析]设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95eq\f(x,50)·m.3．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(C)A．600元 B．50%C.eq\r(3,2)－1 D．eq\r(3,2)＋1[解析]设6年间平均年增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1.故选C.4．某工厂生产某种产品固定成本为20