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文档简介
湖南省衡阳市衡阳县六中2024届数学高一上期末联考试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.函数是奇函数,则的值为()A.1 B.C.0 D.2.如果直线和同时平行于直线x-2y+3=0,则a,b的值为A.a= B.a=C.a= D.a=3.若关于的方程有且仅有一个实根,则实数的值为()A3或-1 B.3C.3或-2 D.-14.下列说法中,正确的是()A.锐角是第一象限的角 B.终边相同的角必相等C.小于的角一定为锐角 D.第二象限的角必大于第一象限的角5.函数的定义域为()A.(0,2] B.[0,2]C.[0,2) D.(0,2)6.已知函数为偶函数,则A.2 B.C. D.7.如图,某池塘里浮萍的面积(单位:)与时间t(单位:月)的关系为,关于下列说法不正确的是()A.浮萍每月的增长率为2B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时,浮萍面积超过D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是,、,则8.设函数的定义域为.则“在上严格递增”是“在上严格递增”的()条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要9.缪天荣,浙江人,著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代,我国使用“国际标准视力表”检测视力,采用“小数记录法”记录视力数据,缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究,年,他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统,使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角(单位:)设定为对数关系:.如图,标准对数视力表中最大视标的视角为,则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的(相应的视角为),取,则其视力用“分记录法”记录()A. B.C. D.10.已知集合,,则()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.有下列四个说法:①已知向量,,若与的夹角为钝角,则;②若函数的图象关于直线对称,则;③函数在上单调递减,在上单调递增;④当时,函数有四个零点其中正确的是___________(填上所有正确说法的序号)12.函数(且)的图象必经过点___________.13.下面四个命题:①定义域上单调递增;②若锐角,满足,则;③是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若,则;④函数的一个对称中心是;其中真命题的序号为______.14.已知,且,则实数的取值范围为__________15.已知函数(且)在上单调递减,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_____16.若三棱锥中,,其余各棱长均为5,则三棱锥内切球的表面积为_____三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在四棱锥中,,是以为斜边的等腰直角三角形,且.(1)证明:平面平面.(2)若四棱锥的体积为4,求四面体的表面积.18.已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数,的值域19.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,(1)画出函数的图象;(2)根据图象写出的单调区间,并写出函数的值域.20.已知函数(1)若在区间上有最小值为,求实数m的值;(2)若时,对任意的,总有,求实数m的取值范围21.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位:)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数,其中为常数,已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位;而当它的游速为时,其耗氧量为2700个单位.(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式;(2)求当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量至多需要多少个单位?
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据奇函数的定义可得,代入表达式利用对数的运算即可求解.【详解】函数是奇函数,则,即,从而可得,解得.当时,,即定义域为,所以时,是奇函数故选:D【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,需掌握函数奇偶性的定义,同时本题也考查了对数的运算,属于基础题.2、A【解析】由两直线平行时满足的条件,列出关于方程,求出方程的解即可得到的值.【详解】直线和同时平行于直线,,解得,故选A.【点睛】本题主要考查两条直线平行的充要条件,意在考查对基础知识的理解与应用,属于基础题.3、B【解析】令,根据定义,可得的奇偶性,根据题意,可得,可求得值,分析讨论,即可得答案.【详解】令,则,所以为偶函数,图象关于y轴对称,因为原方程仅有一个实根,所以有且仅有一个根,即,所以,解得或-1,当时,,,,不满足仅有一个实数根,故舍去,当时,,当时,由复合函数的单调性知是增函数,所以,当时,,所以,所以仅有,满足题意,综上:.故选:B4、A【解析】根据锐角的定义,可判定A正确;利用反例可分别判定B、C、D错误,即可求解.【详解】对于A中,根据锐角的定义,可得锐角满足是第一象限角,所以A正确;对于B中,例如:与的终边相同,但,所以B不正确;对于C中,例如:满足,但不是锐角,所以C不正确;对于D中,例如:为第一象限角,为第二象限角,此时,所以D不正确.故选:A.5、A【解析】根据对数函数的定义域,结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知:,故选:A6、A【解析】由偶函数的定义,求得的解析式,再由对数的恒等式,可得所求,得到答案【详解】由题意,函数为偶函数,可得时,,,则,,可得,故选A【点睛】本题主要考查了分段函数的运用,函数的奇偶性的运用,其中解答中熟练应用对数的运算性质,正确求解集合A,再根据集合的运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7、B【解析】先利用特殊点求出函数解析式为,再利用指数函数的性质即可判断出正误【详解】解:图象可知,函数过点,,函数解析式为,浮萍每月的增长率为,故选项A正确,函数是指数函数,是曲线型函数,浮萍每月增加的面积不相等,故选项B错误,当时,,故选项C正确,对于D选项,,,,,又,,故选项D正确,故选:B8、A【解析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数在上严格递增,对任意的、且,,由不等式的性质可得,即,所以,在上严格递增,所以,“在上严格递增”“在上严格递增”;若在上严格递增,不妨取,则函数在上严格递增,但函数在上严格递减,所以,“在上严格递增”“在上严格递增”.因此,“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.故选:A.9、C【解析】将代入,求出的值,即可得解.【详解】将代入函数解析式可得.故选:C.10、D【解析】先求出集合B,再求出两集合的交集即可【详解】由,得,所以,因为,所以,故选:D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、②③【解析】①:根据平面向量夹角的性质进行求解判断;②:利用函数的对称性,结合两角和(差)的正余弦公式进行求解判断即可;③:利用导数的性质、函数的奇偶性进行求解判断即可.④:根据对数函数的性质,结合零点的定义进行求解判断即可【详解】①:因为与的夹角为钝角,所以有且与不能反向共线,因此有,当与反向共线时,,所以有且,因此本说法不正确;②:因为函数的图象关于直线对称,所以有,即,于是有:,化简,得,因为,所以,因此本说法正确;③:因为,所以函数偶函数,,当时,单调递增,即在上单调递增,又因为该函数是偶函数,所以该在上单调递减,因此本说法正确;④:,问题转化为函数与函数的交点个数问题,如图所示:当时,,此时有四个交点,当时,,所以交点的个数不是四个,因此本说法不正确,故答案为:②③12、【解析】令得,把代入函数的解析式得,即得解.【详解】解:因为函数,其中,,令得,把代入函数的解析式得,所以函数(且)的图像必经过点的坐标为.故答案为:13、②③④【解析】由正切函数的单调性,可以判断①真假;根据正弦函数的单调性,结合诱导公式,可以判断②的真假;根据函数奇偶性与单调性的综合应用,可以判断③的真假;根据正弦型函数的对称性,我们可以判断④的真假,进而得到答案【详解】解:由正切函数的单调性可得①“在定义域上单调递增”为假命题;若锐角、满足,即,即,则,故②为真命题;若是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则函数在上为减函数,若,则,则,故③为真命题;由函数则当时,故可得是函数的一个对称中心,故④为真命题;故答案为:②③④【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,函数单调性的性质,偶函数,正弦函数的对称性,是对函数性质的综合考查,熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键14、【解析】,该函数的定义域为,又,故为上的奇函数,所以等价于,又为上的单调减函数,,也即是,解得,填点睛:解函数不等式时,要注意挖掘函数的奇偶性和单调性15、【解析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围,再根据为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围【详解】函数(且),在上单调递减,则:;解得,由图象可知,在上,有且仅有一个解,故在上,同样有且仅有一个解,当即时,联立,则,解得或1(舍去),当时由图象可知,符合条件,综上:的取值范围为.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点;复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.16、【解析】由题意得,易知内切球球心到各面的距离相等,设为的中点,则在上且为的中点,在中,,所以三棱锥内切球的表面积为三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)9【解析】(1)由已知可得,根据线面垂直的判定得平面,进而可得平面,由面面垂直的判定可得证.(2)根据四棱锥的体积可得.过作于,连接,可证得平面,.可求得,可求得四面体的表面积.【详解】(1)证明:∵是以为斜边的等腰直角三角形,∴,又,∴平面,则.又,∴平面.又平面,∴平面平面.(2)解:∵,且,∴.∴.过作于,连接,∵.∴平面,则.∵.∴.∴.故四面体的表面积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,四棱锥的体积和表面积的计算,关键在于熟记各线面平行、垂直,面面平行、垂直的判定定理,严格地满足所需的条件,属于中档题.18、(1),单调递减区间(2)【解析】(1)先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得,从而可求出函数的周期,由可求出函数的减区间,(2)由,得,然后利用正弦函数的性质可求出函数的值域【小问1详解】∴令,,解得,函数的单调递减区间为【小问2详解】∵,∴故有,则的值域为19、(1)见解析;(2)单调区间为:上是增函数,上是减函数,值域【解析】(1)由偶函数的图象关于y轴对称可知,要画出函数的图象,只须作出当时的图象,然后关于y轴对称即可;(2)观察图象,结合函数单调性和值域的定义,写出的单调区间及值域.【详解】(1)函数的图象如图所示
(2)由图象得,的单调区间为:上是增函数,上是减函数,值域为.【点睛】本题考查了偶函数的性质:图象关于y轴对称和数形结合思想,函数的图象可直观反映其性质,利用函数的图象可以解答函数的值域(最值),单调性,奇偶性等问题,也可用来解答不等式的有关题目.20、(1)或;(2).【解析】(1)可知的对称轴为,讨论对称轴的范围求出最小值即可得出;(2)不等式等价于,求出最大值和最小值即可解出.【详解】(1)可
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