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文档简介
河南省南阳市2023-2024学年高一上数学期末考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1.和函数是同一函数的是()A. B.C. D.2.下列函数中,在上单调递增的是()A. B.C. D.3.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则A. B.C. D.4.函数f(x)=ln(-x)-x-2的零点所在区间为()A.(-3,-e) B.(-4,-3)C.(-e,-2) D.(-2,-1)5.函数的部分图像如图所示,则的值为()A. B.C. D.6.向量,若,则k的值是()A.1 B.C.4 D.7.满足的集合的个数为()A. B.C. D.8.下列各组函数中,表示为同一个函数的是A.与 B.与C.与 D.与且9.已知,若,则m的值为()A.1 B.C.2 D.410.若函数y=f(x)图象上存在不同的两点A,B关于y轴对称,则称点对[A,B]是函数y=f(x)的一对“黄金点对”(注:点对[A,B]与[B,A]可看作同一对“黄金点对”).已知函数f(x)=,则此函数的“黄金点对“有()A.0对 B.1对C.2对 D.3对11.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为,三角形的面积S可由公式求得,其中为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦----秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为()A.6 B.9C.12 D.1812.已知为圆的两条互相垂直的弦,且垂足为,则四边形面积的最大值为()A.10 B.13C.15 D.20二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)13.______.14.请写出一个最小正周期为,且在上单调递增的函数__________15.已知扇形的弧长为,且半径为,则扇形的面积是__________.16.在直三棱柱中,若,则异面直线与所成的角等于_________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知集合.(1)当时.求;(2)若是的充分条件,求实数的取值范围.18.定义在D上的函数,如果满足:存在常数,对任意,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.(1)证明:在上有界函数;(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.19.已知关于的不等式(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间的长度为,若,求该不等式解集表示的区间长度的最大值20.设,函数在上单调递减.(1)求;(2)若函数在区间上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.21.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最小值和最大值.22.已知函数(1)求的对称轴方程;(2)若在上,函数最小值为且有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围
参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1、D【解析】根据相同的函数定义域,对应法则,值域都相同可知ABC不符合要求,D满足.【详解】的定义域为,值域为,对于A,与的对应法则不同,故不是同一个函数;对于B,的值域为,故不是同一个函数;对于C,的定义域为,故不是同一个函数;对于D,,故与是同一个函数.故选:D2、B【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数、、在上均为减函数,函数在上为增函数.故选:B.3、D【解析】由函数是定义在上的偶函数,借助奇偶性,将问题转化到已知区间上,再求函数值【详解】因为是定义在上的偶函数,且当时,,所以,选择D【点睛】已知函数的奇偶性问题,常根据函数的奇偶性,将问题进行转化,转化到条件给出的范围再进行求解4、A【解析】先计算,,根据函数的零点存在性定理可得函数的零点所在的区间【详解】函数,时函数是连续函数,,,故有,根据函数零点存在性定理可得,函数的零点所在的区间为,故选:【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理的应用,不等式的性质,属于基础题5、C【解析】根据的最值得出,根据周期得出,利用特殊点计算,从而得出的解析式,再计算.【详解】由函数的最小值可知:,函数的周期:,则,当时,,据此可得:,令可得:,则函数的解析式为:,.故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,属于中档题.6、B【解析】首先算出的坐标,然后根据建立方程求解即可.【详解】因为所以,因为,所以,所以故选:B7、B【解析】列举出符合条件的集合,即可得出答案.【详解】满足的集合有:、、.因此,满足的集合的个数为.故选:B.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算,只需列举出符合条件的集合即可,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.8、D【解析】A,B两选项定义域不同,C选项对应法则不同,D选项定义域和对应法则均相同,即可得选项.【详解】A.,,两个函数的定义域不同,不是同一函数,B.,,两个函数的定义域不同,不是同一函数,C.,两个的对应法则不相同,不是同一函数D.,,两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数,故选D【点睛】此题是个基础题.本题考查函数的三要素:定义域、值域、对应关系,相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系.要使数与的同一函数,必须满足定义域和对应法则完全相同即可,注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同,通常的先后顺序为先比较定义域是否相同,其次看对应关系或值域..9、B【解析】依题意可得,列方程解出【详解】解:,,故选:10、D【解析】根据“黄金点对“,只需要先求出当x<0时函数f(x)关于y轴对称的函数的解析式,再作出函数的图象,利用两个图象交点个数进行求解即可【详解】由题意知函数f(x)=2x,x<0关于y轴对称的函数为,x>0,作出函数f(x)和,x>0的图象,由图象知当x>0时,f(x)和y=()x,x>0的图象有3个交点所以函数f(x)的““黄金点对“有3对故选D【点睛】本题主要考查分段函数的应用,结合“黄金点对“的定义,求出当x<0时函数f(x)关于y轴对称的函数的解析式,作出函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键11、C【解析】根据题意可得,代入面积公式,配方即可求出最大值.【详解】由,,则,所以,当时,取得最大值,此时.故选:C12、B【解析】如图,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,则|OP|2+|OQ|2=|OM|2=5,∴|AC|2+|BD|2=4(9-|OP|2)+4(9-|OQ|2)=52则|AC|·|BD|=,当时,|AC|·|BD|有最大值26,此时S四边形ABCD=|AC|·|BD|=×26=13,∴四边形ABCD面积的最大值为13故选B点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系;(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)13、2【解析】利用两角和的正切公式进行化简求值.【详解】由于,所以,即,所以故答案为:【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式,属于中档题.14、或(不唯一).【解析】根据函数最小正周期为,可构造正弦型、余弦型或者正切型函数,再结合在上单调递增,构造即可.【详解】解:根据函数最小正周期为,可构造正弦型、余弦型或者正切型函数,再结合在上单调递增,构造即可,如或满足题意故答案为:或(不唯一).15、##【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为:.16、【解析】如图以点为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【详解】解:因为三棱柱为直三棱柱,且,所以以点为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,设,则,所以,所以,因为异面直线所成的角在,所以异面直线与所成的角等于,故答案为:【点睛】此题考查异面直线所成角,利用了空间向量进行求解,属于基础题.三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17、(1)或.(2)【解析】(1)解一元二次不等式求集合A、B,再由集合的补、并运算求即可.(2)由充分条件知,则有,进而求的取值范围.【小问1详解】,当时,,或,∴或;【小问2详解】由是的充分条件,知:,∴,解得,∴的取值范围为.18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据,利用求解单调性求解;(2)根据在上是以3为上界的有界函数,令,则,转化,在时恒成立求解.【小问1详解】解:,则在上是严格增函数,故,即,故,故是有界函数;【小问2详解】因为在上是以3为上界的有界函数,所以在上恒成立,令,则,所以在时恒成立,所以,在时恒成立,函数在上严格递减,所以;函数在上严格递增,所以.所以实数a的取值范围是.19、(Ⅰ)当时,原不等式的解为,当或时,原不等式的解集为,当或时,原不等式的解为(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)原不等式化为,根据1<a<2,a=1或a=2分类讨论,能求出原不等式的解集;(Ⅱ)当a≠1且a≠2时,,由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值试题解析:(Ⅰ)原不等式可化为,当,即时,原不等式的解为;当,即或时,原不等式的解集为;当,即或时,原不等式的解为综上所述,当时,原不等式的解为,当或时,原不等式的解集为,当或时,原不等式的解为(Ⅱ)显然当或时,该不等式解集表示的区间长度不可能最大当且时,,设,,则当时,,当时,,当时,,∴当时,考点:一元二次不等式的解法20、(1);(2).【解析】(1)分析得到关于的不等式,解不等式即得解;(2)等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点,再对分类讨论得解.【小问1详解】解:因为,在上单调递减,所以,解得.又,且,解得.综上,.【小问2详解】解:由(1)知,所以.由于函数在区间上有且只有一个零点,等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.①当即时,函数单调递增,,于是有,解得;②当即时,函数先增后减有最大值,于是有即,解得.故k的取值范围为.21、(1);(2)最大值为,最小值为..【解析】(1)根据最小正周期的计算公式求解出的最小正周期;(2)先求解出的取值范围,然后根据正弦函
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