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第十二章常微分方程

7、8、9节重修线性微分方程的解得结构齐次线性常系数微分方程求解非齐次线性常系数微分方程求解应用问题一、线性微分方程解的结构〔1〕二阶齐次方程解的结构:注.

y1(x),y2(x)线性无关〔2〕二阶非齐次线性方程的解的结构:例1.微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三常数,那么该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例2.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)二、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：

阶常系数齐次线性方程解法根本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解例5.解:特征方程:即其根为方程通解:练习1.解:

特征方程:特征根为那么方程通解:练习2

求方程的通解.答案:通解为通解为通解为练习3为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法例1.的一个特解.解:此题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例2.的通解.

解:此题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例3.求解定解问题解:此题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得例4.的一个特解

.解:此题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例6解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得故原方程的通解为由即练习1求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习2.求以下微分方程的通解提示:(1)特征根为：r1=1，r2=2，λ=1，特解形式为：特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为练习3解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设以下高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:四.杂题在

r>0内满足拉普拉斯方程二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为P327题8

设函数解初值问题:那么原方程化为通解:利用初始条件得特解:例1.且满足方程提示:

那么问题化为解初值问题:最后求得思考:

设提示:

对积分换元,那么有解初值问题:答案:的解.例2.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对

x

求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为例3设函数f(x)∈c[1,∞)，由y=f(x)，x=1，x=t〔t>1)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的体积为V(t)=π[t2f(t)-f(1)]/3试求y=f(x)所满足的微分方程，并求满足y|x=2=2/9的解。考研题例4假设对平面上任何简单闭曲线L，恒有其中f(x)∈C1(-∞,+∞)，且f(0)=2，试求f(x)。五、微分方程的应用

1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义解例1那么由牛顿第二定律得解此方程得代入上式得思考:假设摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?例2.设河边点O

的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点

A游向点为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如下图建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸那么则鸭子游速b为定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P273例3)(齐次方程)P327题6.某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入

t时刻车间空气中含那么在内车间内两端除以并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为t=30

时解定解问题因此每分钟应至少输入250新鲜空气.初始条件得k=?例4从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度

y

与下沉速度v

之间的函数关系.

设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为

m,体积为B,海水比重为

,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v

所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(考研题)提示:建立坐标系如图.质量m体