2023年高考数学第13讲 椭圆的标准方程和几何性质

第13讲椭圆的标准方程和几何性质

一、知识概要

椭圆的标准方程和几何性质如下：

平面上到两定点用耳的距离之和等于定长2a的点的轨迹，叫作椭

圆，归用+归国=加＞勿=忻用

定义统一定义：平面内到一定点的距离与到一定直线（不过定点）的距离之比

等于常数e,当OVe＜l时，动点的轨迹为椭圆，定点为椭圆的焦点，

定直线为相应的准线.

y

y

4

耳力

图形-X工

4go/J___

Fx

B,

2

x=-fl尤L

cx=-cT

2

22V丫2

标准方程:七1（心心。）

范围H融,|y|b限h|x|b

对称性x轴，y轴为对称轴；。为对称中心.

焦点、顶点F（±c,O）,A（土砌,5（0,土b）F（0,±c）,A（0,±a）,B（±Z?,O）

焦距、两轴焦距闺周=2c,b2=a2-c2,长轴|A4|=2a,短轴陶马=必

焦半径t[=a+ey,r1=a-ey

准线方程77

离心率e=工且0Ve<I

a

%）＞1=点P（X（），九）在椭圆外；

点与曲线R（%%）=lo点P（Xo，%）在椭圆上；

E（%，％）＜1O点「（不，%）在椭圆内

二、题型精析

【例1】

（1）已知椭圆的中心在原点且过点P（3,2）,焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆

的方程；

2

⑵已知椭圆与Y+有相同的焦点，且经过点P（3,—3）,求该椭圆的标准方程；

O1

⑶求经过两点网4,-@，山2在3）的椭圆的标准方程；

%2y~

⑷椭圆§+（=1的焦点为耳外，点P为其上的动点，当/片尸耳为钝角时，求点尸横坐

标的取值范围.

【解题策略】

第⑴问，由于焦点所在的坐标轴末定，需要分焦点在x轴和y轴上讨论.当然如果设所求椭圆

方程为A?+为2=1（40,BK）,A#8）,则可避免讨论，使解题过程变得简捷，读者可以

一试.第⑵问，采用共焦点椭圆方程比较简捷，当然若采用椭圆的定义末解也可以.第⑶问，

同样可采用上述设法，即Ar2+8y2=i（A>0,B>0,Ah8）这种设法避免了对焦点位置的讨

论.第⑷问，横圆中的焦点三角形，可以运用焦半径及余弦定理求解.

【解】

（1）由题设可知，椭圆的方程是标准方程.

22

①当焦点在X轴上时，设椭圆方程为*■+方=1（。>）>0）.

2。=3,2bc2Ac?2

a=45rv

则9,4,解得2此时所求的椭圆方程是）+3=1.

—+—=1h~=5.455

22

②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为'方>0）.

x22

2a=32b,"=85，9xy

则＜9,4解得〈,85此时所求的椭圆方程是工+2=1

+Ub=——.8585

9

2

故所求的椭圆方x~程为V方或9三r~+^v"=L

（2）-/+5=1的焦点坐标为（。，4方），（。，一46）,

工22

以此为焦点的椭圆方程可设为^^+4v=1（片-80>0）

a*-80a~\'

椭圆过点P（3,-3）,

._2_+2=]

"a2-80a2

解方程得/=90或/=8（舍去）,

故所求椭圆方程为总=1.

1090

⑶设椭圆方程为4?+的=1（4，B＞0）,则由椭圆经过点《（4,一百），P2（272,3）,

(164+35=1,20，%2,y2

则有8A+98=[解得1故所求椭圆的方程为三+古=1・

[，B——.

15

⑷已知42=9,6=4,

c="

\PF'\=a-ex=3-^-

iX,\PF2\=3+1X

\PF.f+\PF2f-\FyF2f疗T

2

由余弦定理得cos/f；P6=L^~I12I=9

2x|p/P用9_5/

9

52,

-X-133

是钝角，cos/片尸乙<0,即9<°，解得一看

9-5X2

9

[例2]

⑴在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点耳，鸟在x轴上，离心率为

与.过大的直线/交C于AB两点,且.AB外的周长为16,则C的方程为

（2）已知尸是椭圆C的一个焦点，8是短轴的一个端点，线段BE的延长线交椭圆C于点

D,且BF=2FD,则椭圆C的离心率为；

工2V2

（3）如图2—31所示，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆三+会=1（。＞。＞0）的右焦点,

b

直线y=］与椭圆交于BC两点，且/3尸。=90,则该椭圆的离心率是.

y

【策略点击】

对于（1）问，扣住椭圆的定义可以轻松得解.对于⑵问，扣住椭圆的第二定义转化为关于。与

C的方程进一步变形得e的方程求解.对于⑶问，由/B/O90得8尸C户=0,结合

6="一C2从而得出。与c的关系式求解，若抓住椭圆的对称性结合椭圆定义可得一种简便解

法.

A38的周长为|知+|4闾+[8闾=|然|+|坐|+忸用+忸用=4«=16,

Cy/2

a—4.又离心率e=-=——，

a2

c=2>/2.

/.b2=a2-C2=8.

X~2V2

椭圆C的方程为；7+3=1.

168

如图2—33所示，忸用="2+c2=a,作轴于点2,则由8广=2式。，得

\OF\_\BF\_2

|DDJ|BE)|3'

•口*1=/可=5。

a'〃2a»、

KPxD=—,由椭圆的第二定义得|FQ|=c-------——a———,

2yc2j2a

又由忸q=2|FD|,得a=2a-千，

整理得3/=3,2,解得e=£=1g.

a3

(3)【解法一】

如图2-31所示，由题意F(c,O),直线y=g与椭圆方程联立，解得

J6afb、

I22J122J

NBFC=90,

.pCP—(\R/7—f\rp—(gab

..BRr-Cr—0.[ftBF—c-r——a,——,CF—c--------,——

\227\227

:.c2--a2+-b2=0,

44

由〃=/一。2,可得3c2=!/,

42

【解法二】

如图2-34所示，图中O尸是一条焦半径，若E'是椭圆的左焦点，联结CF',

y

图2-34

根据对称性，有忸F|=|CF[

设|C尸|=不忸同=|。户]=任

有卜二”，­2①

,+弓=3〃

又由BEC面积的等积法得弓弓=百。・3.

代人①，得6ab=a1=a=\f3b=>a2=3^a2-c2)=>2a2=3c2.

2_c2_2,,_V6

一e-----z——.故e---—.

a233

【例3】

X2y2

如图2-35所示，椭圆^+彳~=1的左、右焦点分别为耳，入，点尸在椭圆上.

⑴若|尸甲=g,则点尸的位置确定吗?此外还可以求出哪些量？

⑵若点尸是椭圆上一个动点，点P的位置变化会引起哪些量的改变?设立"PE=e,试用。表

示“F'PF?的面积S,并研究其单调性.

图2-35

【策略点击】

这是一道开放型试题.第⑴问，已知归用=|,则点尸的位置已经确定，则归闾.点P的

坐标、/耳「鸟的大小、耳「外的面积、月尸外的周长等都可以求出.第(2)问，实质是推

,0

导一种计算桶圆上一点与两焦点构成的三角形面积公式，即S«%=/tan5(其中

NF\PFL®)

【解】

⑴由已知。=2,b=BC=l,e=£=?，点尸的位置确定，由椭圆定义可以求以下量：

a2

53

0|P^|=4--=-.

②设点p(x,y),则由，

X2

、了

解得3故尸(1，±=]

卜=±了3

-4

3

③COSNF[PF2=

5

।313

④闺用•%>=]或SG%=2|PK||P段sin/耳.

(2)点尸的位置变化会弓I起点尸的坐标、俨耳I、/百尸月、2开6的改变，但是耳PK的周长

为定值.

设/6p鸟=氏在KP<中,设俨用=加,归周=〃，

.,.加+〃=2々=4.

由余弦定理得山引2=归耳广周2一2|尸川P周COS。

即^c1=irr+n1-2mncos0=(nr\-n)2-2mn-2nmcos0=4a2-2mn(l+cos^).

4(/—2)4〃

/.2mn=------------=------------

1+cos。1+cos。

c1•八/sin。.209o\

S=—mnsm0=-----------=btan—=3otan—(0<0<n),

"FP2F1+cos。22、)

故SK”随。的增大而增大.

方法提炼

1.椭圆标准方程的求法

⑴定义法：根据椭圆的定义，确定从的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出。，b；若

焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和丁轴上两种情况讨论，这一方法可归纳为：先定性，

后定理，再定参.特别需要说明的是：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可

22

设二十二«>0,机/〃)，可以避免讨论和烦琐的计算.也可以设为

mn

Ax2+By2=\(A>0,3>0且4/8),这种形式在解题时更简便.

2.椭圆的几何性质在解题中的应用

求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析.即使不画出图形，思考时也要联想到

图形，特别要注意椭圆的对称性与范围的利用.当涉及顶点、焦点、长轴短轴等椭圆的基本量

时，要厘清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

3,椭圆定义在解题中的应用

遇到有关焦点(或准线)问题时，首先应考虑用定义来解题，特别是涉及椭圆的焦点角形，应考虑

椭圆的定义，结合三角形中的边角关系，借助正弦定理余弦定理来解决.

三、易错警示

【例】

22

已知耳，居分别是椭圆3+5=1的左、右焦点，在椭圆上是否存在点尸，使

1615

向，忻方，向成等差数列？若存在’求出的值；若不存在’说明理由.

【错解】

V2尤2

假设存在点P满足题设，则由9+T7=1及题设条件有

1615

|P用+归用=8

•内周=2,

同||P周|西

]P制+|P周=8

即《

.附|照|=8

归耳|=4+2&用=4-2夜

解得《或，

归周二4—2夜一[|Pf；|=4+272

【评析及正解】上述解法似乎完全按照椭圆定义及题设条件解出，解方程组的过程也是正确的,

问题出在没有注意到|P周和|F闾的取值范围.

正确的解法如下：

【解法一】

22

由2-+二=1,得a=4,c=l.

1615

则a-c=3领JP用a+c=5,a-c=3^PF2\a+c=5.

4+2及＞5,4—20V3,.•.不存在满足题设要求的点P.

【解法二】

22

由■^■+■^■=1,得a=4,c=l,贝"耳闻=2c=2.

且a-c=3钏PfJa+c=5,a-c=^^PF-\a+c=5.

-1।1J2

贝lj-；r+；--------j-V—+-------------VI—■：----------j-

归用|P用333巧用

・•.不存在满足题设要求的点尸.

四、难题攻略

【例】

已知椭圆C：x2+3y2=3,过点。(1,0)且不过点£(2,1)的直线与椭圆C交于A,8两点，

直线AE与直线产=3交于点M.

⑴求椭圆C的离心率；

⑵若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

⑶试判断直线5M与直线OE的位置关系，并说明理由.

【破难析疑】

本题知识容量较大，平实中体现解题能力的要求，可先画出示意图，分析几何特征后寻求解题

思路.第⑴问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b,c的值，再利用e=£计算离心

a

率.第⑵问，由直线A8的特殊位置，设出A,8两点坐标，并设出直线AE的方程.由于直

线AE与直线尸3相交于点所以得到点M坐标，利用点8和点M的坐标，求直线

的斜率.第⑶问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行计论：第一种情况，直

接分析即可得出结论；第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线

A8的方程联立，消参得到玉+々和代入心M-1中，只需计算出心,“T=0即可证

明即M=k0E，进而得到两直线平行•

【解】

2

⑴椭圆C的标准方程为鼻+丁=1,

b=l,C=y/2.

c_V6

故e---------—.

a3

(2)A8过点0(1,0)且垂直于x轴，

可设点A。,X)，8(1，—X),直线AE的方程为y—1=(1—yj(x—2).

令户S,得M(3,2-yj,

二直线BM的斜率原“=2二%”，=1.

⑶直线3M与直线OE平行.证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知怎,“=1.

又直线。E的斜率3F=<=1，

2-1

/.BMDE.

当直线45的斜率存在时，设其方程为y=Z(尤—1)伏。1).

设A(大，y),3(/,%)，则直线AE的方程为>一1=3=(x-2).

再一2

令尸3,得点M(3,y十芯-3

、％-2)

由卜+3：一：得(\+3k2)x2-6k2Mk2-3=0

y=k[x-\)'7

।6k23左2一3

"7用户中2-苗记.

x+%—3

X2一%

直线BM的斜率kBM='~

3-%2

.(一—1)+X]—3—I(—1)(X1—2)—(3-%2)("1-2)

"=(3-X2)(X,-2)

_(1-1)[』2+2&+/卜3]_()

(3-工2)(%-2)

BMDE

综上可知，直线与直线DE平行.

五、举一反三

1.如图2-36所示，耳鸟分别是椭圆反＞0）的左，右焦点，4是椭圆

C的顶点，B是直线人工与椭圆C的另一个交点，/耳4亮=60.

⑴求椭圆C的离心率；

⑵已知,/耳3面积为40石，求a,b的值.

图2-36

【解】

（1）/耳A鸟=60,

鸟是等边三角形，故a=2c.

故椭圆C的离心率e=2=」.

a2

⑵设|明尸见则|%|=2a-〃，

在一姐居中，忸闾=a,/耳64120,

忸周之=\BF2f+|耳用2_2忸玛|忻用cosl20

3

即（2。一加）2=m2+/+。6，解得加=：〃，故

3Q7

\BF^=-a,\BF^\=2a--a=-a.

।1（Q

・••S用sin60=-x«la+-3tzx3

5XT

=40百

解得。=10,则c=—。=5,a~—c~=5^f3.

2

2.（2019年高考数学全国卷〃文科第20题）已知月，F2是椭圆C夕+1=1（心。〉0）的两

个焦点，尸为C上的点，。为坐标原点.

⑴若POK为等边三角形，求c的离心率；

(2)如果存在点P,使得2耳J■尸工，且耳尸外的面积等于16,求人的值和。的取值范围.

⑴联结如图所示，POF2为等边三角形，可知在耳Pg中，

/々PE=90,\PF2\=c,\PFt\=>j3c,于是2a=|尸制+|P用=(G+l)c.

故C的离心率6="—=>/3—1.

a

⑵由题意可知，满足条件的点P(X，y)存在当且仅当g|y|-2c=16,

22心|=16,①

且------=-L又・+4=1,故有[/+>2=。2,②

x+cx-cab.-

Z?4162

由②③及〃=/?2+。2得y2=r，又由①知>2=于，故6=4.

c~c~

2

由②3)得X2——卜2—.

c2..h2,从而a2=b2+c2..2/?2=32.

故a.4夜.当人=4,a.4夜时，存在满足条件的点尸.

即Q4,a的取值范围为［4Ji+e)

3.已知椭圆r：［+y2=i,A是其上顶点，M是x轴正半轴上的一点.

⑴若点尸在「上，且点P在第一象限，|。月=0,求点尸的坐标；

(2)若P(|,|),且..AP似为直角三角形，求点M的坐标；

⑶若点尸是「上一动点，且P不是上顶点，PQ过点”，AQ交椭圆于点

C,PQ=4PM,AQ=2AC,\AM\=\PM\,。是「上一点，求直线AC的方程.

【解】

273

&+),2=血,x=-----，

3

⑴设p(x,y),则，F解得;即P

—+/=1,V6

4-y=——,