唐山市2018高三二模考试文科试卷(含答案)

第6页共7页19．解：（1）应该选择模型① …3分（2）eq\o(6,i＝1,∑)(xi－\o(x,-))(yi－\o(y,-))＝eq\o(6,i＝1,∑)xiyi－6eq\o(x,－)eq\o(y,－)＝1297－6×17×13.5＝－80， …5分eq\o(6,i＝1,∑)(xi－\o(x,-))2＝eq\o(6,i＝1,∑)x\o(2,i)－6eq\o(x,－)2＝1774－6×172＝40， …7分eq\o(b,ˆ)＝eq\f(\o(n,i＝1,∑)(xi－\o(x,-))(yi－\o(y,-)),\o(n,i＝1,∑)(xi－\o(x,-))2)＝eq\f(－80,40)＝－2， …9分eq\o(a,ˆ)＝eq\o(y,-)－eq\o(b,ˆ)eq\o(x,-)＝13.5＋2×17＝47.5． …11分所以y关于x的线性回归方程为：eq\o(y,ˆ)＝－2x＋47.5． …12分20．解：（1）由已知可得F(eq\f(p,2)，0)，因为∠OFA＝120°，所以xA＝eq\f(p,2)＋|AF|cos60°＝eq\f(p,2)＋2． …2分又由抛物线定义可知，|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝p＋2＝4， …4分解得，p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x． …6分（2）由（1）可知，F(1，0)，由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\al(y2＝4x，,y＝k(x－1)，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， …8分x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2) ①x1x2＝1 ②由|AC|＝4|BC|得，x1＝4x2 ③由①②③联立解得，k＝±2eq\r(2)． …11分所以l的方程为2eq\r(2)x＋y－2eq\r(2)＝0或2eq\r(2)x－y－2eq\r(2)＝0． …12分21．解：（1）当a＝1时，g(x)＝f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1，所以g(x)＝2lnx－eq\f(1,x)＋3， …2分因为g(x)为单调递增函数，且g(1)＝2＞0，g(eq\f(1,e))＝1－e＜0，所以存在t∈(eq\f(1,e)，1)，使得g(t)＝0,即x∈(0，t)时，g(x)＜0，g(x)单调递减；x∈(t，＋∞)时，g(x)＞0，g(x)单调递增． …4分因为g(1)＝0，所以1为g(x)的一个零点，又g(eq\f(1,e2))＝1－eq\f(3,e2)＞0，所以g(x)在(eq\f(1,e2)，t)有一个零点，故g(x)有两个零点． …6分

（2）依题意得，f(x)＝a(x2lnx＋1)－xlnx－1，令h(x)＝x2lnx＋1，所以h(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，所以0＜x＜e－eq\s\up5(\f(1,2))时，h(x)＜0，h(x)单调递减；x＞e－eq\s\up5(\f(1,2))时，h(x)＞0，h(x)单调递增，即h(x)的最小值为h(e－eq\s\up5(\f(1,2)))＝1－eq\f(1,2e)＞0，所以h(x)＞0． …9分令t(x)＝(x2lnx＋1)－(xlnx＋1)＝(x2－x)lnx，所以t(x)≥0，即x2lnx＋1≥xlnx＋1． …10分综上，eq\f(xlnx＋1,x2lnx＋1)≤1．又a＞1，所以a＞eq\f(xlnx＋1,x2lnx＋1)，即a(x2lnx＋1)＞xlnx＋1，故f(x)＞0． …12分22．解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2－2y＝0；曲线C2的直角坐标方程为：x＝3． …4分（2）P的直角坐标为(－1，0)，设直线l的倾斜角为α，(0＜α＜eq\f(,2))，则直线l的参数方程为：eq\b\lc\{(\a\al(x＝－1＋tcosα，,y＝tsinα，))(t为参数，0＜α＜eq\f(,2))代入C1的直角坐标方程整理得，t2－2(sinα＋cosα)t＋1＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)直线l的参数方程与x＝3联立解得，t3＝eq\f(4,cosα)， …7分由t的几何意义可知，|PA|＋|PB|＝2(sinα＋cosα)＝λ|PQ|＝eq\f(4λ,cosα)，整理得4λ＝2(sinα＋cosα)cosα＝sin2α＋cos2α＋1＝eq\r(2)sin(2α＋eq\f(,4))＋1，由0＜α＜eq\f(,2)，eq\f(,4)＜2α＋eq\f(,4)＜eq\f(5,4)，所以，当2α＋eq\f(,4)＝eq\f(,2)，即α＝eq\f(,8)时，λ有最大值eq\f(1,4)(eq\r(2)＋1)． …10分23．解：（1）由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3(eq\f(a＋b,2))2＋1，当且仅当a＝b时，取等号．解得(a＋b)2≤4，又a，b＞0，所以，a＋b≤2． …4分（2）不能成立．eq\r(ac)＋eq\r(bd)≤eq\f(a＋c,2)＋eq\f(b＋d,2)，因为a＋b≤2，所以eq\r(ac)＋eq\r(bd)≤1＋eq\f(c＋d,2)， …7分因为