2022年辽宁省锦州市高考数学押题试卷及答案解析

2022年辽宁省锦州市高考数学押题试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上;如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合A={xCZ|-3cx<1},B={4?-4V0},则ACB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.(-3,2)D.(-2,1)

,1-z

2.已知复数z=l+i,2为z的共辗复数,则一=()

z

11111.1.1.

A.一+-iB.---Cr.-2+2lD.

22222l

3.已知等差数列｛即｝满足。2+。4=4,44+410=8,则54=（)

13

A.6B.—C.7D.10

2

4.设小，〃是两条不同的直线，a,0是两个不重合的平面,则下列命题正确的是（）

A.若m_L〃，wca,贝！|B.若m_La,"2U0,则a_L0

C.若"2_La,〃_La,则mD.若mua,a//p,则相〃〃

y-1<0,

5.若变量x,y满足约束条件•-140,则z=x+y的最大值为（）

、2%4-y>0,

A.B.-C.3D.4

32

6.下列函数中是偶函数且在区间（0,+8）上是增函数的是（）

2

A.f(x)=x\x\B./(%)=%3

C.f(x)=x-^D.f(x)=-X4+X2+2

7.己知角a的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（cos75°-sin75°,

第1页共26页

cos75°+sin75°),则角a可以是()

A.60°B.75°C.105°D.120°

8.与圆7+尸=1及圆f+V-Gx+SnO都外切的圆的圆心在()

A.一个圆上B.一个椭圆上

C.一条抛物线上D.双曲线的一支上

9.已知数列借｝为等比数列，且。3=1,47=21,则49=()

A.63B.±63C.81D.±81

10.国际数学教育大会(InternationalCongressonMathematicalEditcation,简称ICME)每四

年召开一次，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，2015年6月6日，国

际数学教育委员会正式宣布，在中国上海、美国檀香山和澳大利亚悉尼三个竞标城市中，

中国上海赢得2020年第14届国际数学教育大会的主办权.后因疫情原因大会延于2021

年7月在上海华东师范大学举办，这是大会首次在中国举办.大会会标设计的基本思想

来自我国古代的“河图”.河图、洛书一般认为是中华文明之始.《易经系辞》曰：''河出

图，洛出书，圣人则之”，后世的太极、八卦、风水等皆可追源至此.河图与洛书包含了

数的奇偶分类、“等差”“等和”的排列、幻方等数学内容，本质上是古人对数与数学的

朴素的认识.这个会标，你看懂了么？请从以下陈述中选出你认为正确的表述.

①会标中位于中心的弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现

在是中国数学会的徽标，也代表会议主办方中国数学会.

②弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈.但会标只突出画了南方(上方)的阴数2

和阳数7的点列.寓意着本届大会的届数.

③主画面右下方标明“/CME-14”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的计数符号写

出的八进制数字3745,换算成10进制就是2020,表示预计开会的年份.

④八进制数字3745,换算成10进制就是2021,表示开会的年份.

⑤从四个“卦”中也可以读出二进制码：(0)11111100101.换算成10进制就是2020,

表示预计开会的年份.

⑥主画面呈“S”型，表示会议举办地在上海(Shanghai),并呈向前的动感，表示中国

张开双臂，欢迎来自世界各地的与会者，也代表中国向世界开放的姿态.

以上陈述中你认为正确的表述的个数是()

第2页共26页

xn

A.2B.3C.4D.5

11.计算5g*6妒=（）

A.3B.4C.5D.6

12.已知尸为抛物线V=2px的焦点，过尸的直线/与抛物线交于4,B两点，以AF、BF

为直径的圆分别与x轴交于异于F的M,N两点，且诂=2加,则直线I的斜率为（）

ir-1L

A.-B.2V2C.±-D.+2V2

33

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.某校课后服务开展社团活动，甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球

4个社团中任选一个社团参加，则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率为

14.已知向量乙b,其中向=1,\b\=2,且6-2小1（3之+7）,则向量2与了的夹角等

于-

15.如图，在正方体ABC。-AiBiCiCi中，直线4B和平面AiOCi所成角的正弦值是,

16.我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南.冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需

要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入.这两

点正是安装遮阳篷需要考虑的.如图，AB是窗户的高度，BC是遮阳篷的安装高度，CD

是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为a,夏至正午时太阳光线

与地面的夹角为。，窗户高度AB^h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至

正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC=.

第3页共26页

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过

程或演算步骤.

17.（12分）许多人认为大学新生在入学后体重会增加，某大学在2020年入学的新生中用

随机抽样的方法抽取了30名大学生跟踪他（她）们的体重（依），得到的数据如下：

男生

入学时体重69

（kg）

1年后体重（依）70

女生

50

50

（II）如果体重的增加不少于2公斤，就说“变胖了”，能否在犯错误的概率不超过0.1

的前提下认为“变胖了”与性别有关.

2

附.K2____"ad—be）_______

PIJ,H-（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）,

P（片》ko）0.500.400.100.010

ko0.4550.7082.7066.635

18.（12分）在△A8C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知asin/l+加inC=bsin8+csinC.

第4页共26页

(I)求A；

(II)若a=2g,NB与/C的角平分线交于点。，求△BC£»周长的取值范围.

19.(12分)如图，在直棱柱ABC。-AIBICIOI中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC,AB

第5页共26页

IBC,AB=3OC=3,BC=6,点P在面AODAi上，过点尸和棱的平面把直棱柱

分成体积相等的两部分.

（I）求截面与直棱柱的侧面BCCiB所成角的正切值；

（II）求棱OC1到截面的距离.

20.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：）2=4x的焦点为八点A是

第6页共26页

第一象限内抛物线C上的一点，点。的坐标为(r,0)(z>0).

(I)若|。川=遍，求点A的坐标；

(2)若为等腰直角三角形，且/砌。=90°,求点。的坐标：

(3)弦4B经过点。，过弦AB上一点P作直线x=的垂线，垂足为点。，求证：“直

线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”.

第7页共26页

21.(12分)已知函数/'(x)=(x—l)e*—+e2(a6R).

(I)讨论函数y=/(x)的单调性；

(II)若函数y=/(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

第8页共26页

选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为卜=3CO：9-4,为参数)，

(V=sind

f1

=-

I,2

将Ci通过伸缩变换《I%-3得到曲线C2.

,=-x/y

ky2

(I)求C2的普通方程；

(II)过点0(0,0)作直线/交曲线C2于M,N两点、,|MN|=1,以坐标原点为极点,

以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线/的极坐标方程.

第9页共26页

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数,f(x)=|x+l|+k-1|.g(x)=a|x-H+2k+l|.

(I)解不等式/(x)W4；

(II)当xe[-1,1],时，f(x)Wg(x),求a的最小值.

第10页共26页

2022年辽宁省锦州市高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合A={x€Z|-3cx<1},B={x\x2-4<0},则ACB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.(-3,2)D.(-2,1)

【解答】解：集合A={x€Z|-3Vx<1}={-2,-1,0),

B={小2-4<0}={x|-2<x<2},

；.AnB={-1,0}.

故选：A.

2.已知复数z=l+i,2为z的共轨复数，则上=()

Z

11111111

A.一+-iB.---iC.+D.一白一十

22222222

【解答】解：,・•复数z=l+i,彳为z的共规复数，

：.z=1-i,

.r-z_1-(1)___i______i(l-i)_11.

-z-1+i-1+i-(l-i)(l+i)-2+2"

故选：A.

3.已知等差数列{〃〃}满足〃2+〃4=4,〃4+mo=8,则S4=()

13

A.6B.—C.7D.10

2

【解答】解：设等差数列{板}的公差为d,

则窗解得一:,

(2%+12d=8(d=2

4v7

所以—4。1H—-d=4+3=7.

故选：C.

4.设团，〃是两条不同的直线，a,0是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（

A.若加_L〃，〃ua,贝I〃z_LaB.若mJ_a,次u0,贝！Ja_L0

C.若加_La,〃_La,则机D.若mua,a〃仇则相〃〃

【解答】解：m,〃是两条不同的直线，a,0是两个不重合的平面,

对于A,若"z_L〃，〃ua,则m与a相交、平行或mua,故A错误;

第11页共26页

对于3,若加_La,则由面面垂直的判定定理得a_L0,故3正确；

对于C,若m_La,n±a,则由线面垂直的性质得相〃〃，故C错误；

对于£),若〃?ua,a〃0,则“与〃平行或异面，故。错误.

故选：B.

fy-1<0,

5.若变量x,y满足约束条件—y—140,则z=x+y的最大值为()

\2x+y>0,

11

A.-4B.-C.3D.4

32

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立忆，1=0,解得A(2,1),

由z=x+y,得y=-%+z,由图可知，当直线y=-x+z过点A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3.

故选：C.

6.下列函数中是偶函数且在区间(0,+8)上是增函数的是()

2

A.f(x)=x\x\B.f(x)=%，

C./(x)=x-iD.f(x)=-X4+X2+2

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

%2%0

二",是奇函数不是偶函数，不符合题意；

{-x2,%<0

2_

对于B,f(x)=%3=V%2»是基函数，是偶函数且在(0,+°°)上是增函数，符合题

品、,

对于C,/(x)其定义域为{xjxWO},f(-X)--f(x),是奇函数不是偶函数，

不符合题意;

第12页共26页

对于£>,/(x)=-X4+?+2,/(1)=2,f(2)=70,在区间(0,+8)上不是增函

数，不符合题意；

故选：B.

7.己知角a的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos75°-sin75°,

cos75°+sin75°),则角a可以是()

A.60°B.75°C.105°D.120°

【解型】解•tana-皿75。+§»7175。_1+t即75。_tan450+ta/i75。_120»

L用牛口/腓.tana-cos750_sin75。l-tan75°l-tan45℃an75°-taniZU'

角a可以是120°.

故选：D.

8.与圆/+歹=1及圆/+，-6x+5=0都外切的圆的圆心在()

A.一个圆上B.一个椭圆上

C.一条抛物线上D.双曲线的一支上

【解答】解：设动圆的圆心为P,半径为r,

圆/+y2=l的圆心为O(0,0),半径为1,圆/+)2-6x+5=0的圆心为尸(3,0),半

径为2,

由题意可得，\PF]=3+r,|PO|=1+r,

则|尸月-|尸0|=(3+r)-(1+r)=2<|FO|,

所以点P的轨迹是双曲线的一支上.

故选：D.

9.已知数歹U｛黑｝为等比数列，且43=1,47=21,则49=()

A.63B.±63C.81D.±81

【解答】解：•.•数列｛詈｝为等比数列，设公比为4,且。3=1,47=21,

a7

・,.q4=7^=9,即夕2=3,

T

・・・〃9=9X9=81.

故选：C.

10.国际数学教育大会(IrUeuiatioruilCongressonMathematicalEducation,简称ICME)每四

第13页共26页

年召开一次，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，2015年6月6日，国

际数学教育委员会正式宣布，在中国上海、美国檀香山和澳大利亚悉尼三个竞标城市中，

中国上海赢得2020年第14届国际数学教育大会的主办权.后因疫情原因大会延于2021

年7月在上海华东师范大学举办，这是大会首次在中国举办.大会会标设计的基本思想

来自我国古代的“河图河图、洛书一般认为是中华文明之始.《易经系辞》曰：“河出

图，洛出书，圣人则之”，后世的太极、八卦、风水等皆可追源至此.河图与洛书包含了

数的奇偶分类、''等差”“等和”的排列、幻方等数学内容，本质上是古人对数与数学的

朴素的认识.这个会标，你看懂了么？请从以下陈述中选出你认为正确的表述.

①会标中位于中心的弦图是三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，现

在是中国数学会的徽标，也代表会议主办方中国数学会.

②弦图外的圆圈表示河图中的带十个点的圈.但会标只突出画了南方(上方)的阴数2

和阳数7的点列.寓意着本届大会的届数.

③主画面右下方标明“/CME-14”，它下方的“卦”是用中国古代八进制的计数符号写

出的八进制数字3745,换算成10进制就是2020,表示预计开会的年份.

④八进制数字3745,换算成10进制就是2021,表示开会的年份.

⑤从四个“卦”中也可以读出二进制码:(0)11111100101.换算成10进制就是2020,

表示预计开会的年份.

⑥主画面呈“S”型，表示会议举办地在上海(Shanghai),并呈向前的动感，表示中国

张开双臂，欢迎来自世界各地的与会者，也代表中国向世界开放的姿态.

以上陈述中你认为正确的表述的个数是()

K8S

4,也

【解答】解：①三国时期的数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明，此说法正确;

②2X7-14,即表示第14届，此说法正确：

③八进制数字3745,需要将其转化为十进制，

第14页共26页

八进制数字3745=3X83+7X82+4X8'+5X80=3X512+7X64+4><8+5X1=

1536+448+32+5=2021,

则③正确，④错误；

⑤二进制数字11111100101需要将其转化为十进制，

11111100101=1X210+1X29+1X28+lX27+1X26+1X25+0X24+0X23+lX22+0X2'+1X

2°=1024+512+256+128+64+32+0+0+4+0+1=2021,

则⑤错误；

⑥易知⑥正确；

综上所述①②③⑥正确.

故选：C.

11.计算5妙*6妒=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：设5好义6以=£,

两边取以10为底的对数可得/g（5好义6k2）=他3

即3妒+/m妒=侬,

可得/g5*/g6+/g2”g6=/g6«/g2+/g5）—Ig6=lgt,

即t=6,

所以5如义63=6,

故选：D.

12.已知F为抛物线y2=2px的焦点，过尸的直线/与抛物线交于A,B两点，以AF、BF

为直径的圆分别与x轴交于异于F的M,N两点，且麻=2俞，则直线/的斜率为（）

A.-B.2A/2C.+—D.+2^2

33

【解答】解：如图所示，

第15页共26页

p、

y2),F(—,0),

所以3（匕

yz

,—),O\(-----

2222

作01PLV轴于P,。2。-1》轴于。,

X2+^

贝ijP(——0),Q(------,0),

22

因为O\N=O\F,

所以「为NF的中点，则俞=2而,

同理，MF=2QF,

因为麻=2品,

所以2QF=2・2”,即凝=2FP,

x2+7p、

即（匕一—,0）=2(-0),

2222

P.

n；十v%1

所以5--y-=x2+n^-p,

整理得Xl+2X2=¥，(*)

设直线/的方程为尸“（X-分,

y=-%,消),整理得FW-(0必+20)什些=o,

联立

y2=2px4

第16页共26页

所以Xl+X2=吸¥卫,X\X2=9,

]C4

结合（*）式可得X2=今—空，X1=与+与，代入XLX2=

乙kLk

即（卜第"邛

因为pWO,

“，12141

所以（5一后）（5+后）=

4'

即经=8,

所以4=土2鱼,

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.某校课后服务开展社团活动，甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球

3

4个社团中任选一个社团参加，则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率为-.

-8-

【解答】解：甲、乙、丙三个同学独立地从乒乓球、篮球、足球、排球4个社团中任选

一个社团参加，

基本事件总数“=43=64,

其中甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同包含的基本事件个数m=4：=24,

则甲、乙、丙三个同学所选社团互不相同的概率2=£=卷=看

3

故答案为:

8

14.已知向量乙b,其中向=1,\b\=2,且G-2b）_L（3展+b）,则向量[与b的夹角等

2n

于—•

-3—

【解答】解：向量七.其中向=1,荷=2,且G—2办上说+1），

A(a—2b)•(3a+b)=3a2—5a-b—2b2=3-5a-b-8=0,

.TT

/.a-h=—1,

..cosVa,b>=石高=9=一力

\a\-\b\

TTTT27r

V<a,b>&[Q,TT],向量a与b的夹角为三■.

第17页共26页

故答案为：—

V6

15.如图，在正方体ABC。-AIBICIQ中，直线4B和平面4。。所成角的正弦值是一

-3-

【解答】解：设正方体A8C£>-4BiCbDi中棱长为1,建立如图所示空间直角坐标系,

y

则4(1,0,I),Ci(0,1,1),B(1,1,0),

=(0,1,-1),

设平面Al。。的法向量为n=(x,y,z),

则任0%=x+z=。，取『I,得屋(7,_i,i),

(n-0cl=y+z=0

设直线A\B和平面A\DC\所成角为6,

则直线AiB和平面AiDd所成角的正弦值为：

小(]_而_2一行

|n|.H>r^-3-

V6

故答案为：—.

16.我国地处北半球，房屋的窗户大部分朝南.冬至正午太阳高度最小，在寒冷的冬天，需

第18页共26页

要温暖的阳光射入；在夏天，夏至正午太阳高度最大，则要避免炙热的阳光射入.这两

点正是安装遮阳篷需要考虑的.如图，AB是窗户的高度，是遮阳篷的安装高度，CD

是遮阳篷的安装长度，设冬至正午时太阳光线与地面的夹角为a,夏至正午时太阳光线

与地面的夹角为P，窗户高度AB=h.为保证冬至正午太阳光刚好全部射入室内，夏至

htana

正午太阳光刚好不射入室内，则遮阳篷的安装高度BC=

—tan/?-tana一

（冬至）

【解答】解：由题意可得，NAQC=B，NBDC=a,AB=h,

4,AC

在RtAADC中，—=tan。,

CD

,人qBC

在RtABDC中，—=tana,

CD

又AC-BC=h,

BC+hBChtana

所以•,解得BC=

tanptanatanp—tana

htana

故答案为:

tanp-tana

三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过

程或演算步骤.

17.（12分）许多人认为大学新生在入学后体重会增加，某大学在2020年入学的新生中用

随机抽样的方法抽取了30名大学生跟踪他（她）们的体重（依），得到的数据如下:

男生

入学时体重

（kg）

1年后体重（kg）

女生

入学时体重546066495358516155586056575350

（kg）

第19页共26页

1年后体重(依)576368515460545957606258585650

(I)根据上述资料，估计入学新生平均增加了多少体重；

(II)如果体重的增加不少于2公斤，就说“变胖了”，能否在犯错误的概率不超过0.1

的前提下认为“变胖了”与性别有关.

2

附.K2=_____丛出㈣______

叩."(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

P(犬2依)0.500.400.100.010

ko0.4550.7082.7066.635

【解答】解：(/)设入学新生平均增加体重为吞=

2+6+(-1)+3+0+(-2)+3+2+(-5)+2+3+2+3+0+1+3+3+2+2+1+2+3+(-2)+2+2+2+2+1+3+0

30

1.5,

所以入学新生平均增加了15kg.

(II)男生中“变胖了”的人数为9人，没有“变胖”的人数为6人,

女生中“变胖了”的人数为11人，没有“变胖”的人数为4人，

根据题意可以得到如下列联表：

变胖了没有变胖总计

男生9615

女生11415

总计201030

2

根据列联表，计算得K2的观测值为K2=黑胃工心？=0.6<2.706,

因此不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“变胖了”与性别有关.

18.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+bsmC^bsinB+csinC.

(I)求A；

(II)若a=2e，/B与NC的角平分线交于点。，求△BCQ周长的取值范围.

【解答】解：(/)由正弦定理可得：J+儿=必+。2,

1Z?2+c2—a2i

整理得：-=---------1由余弦定理可得：cosA=1

22bc2

：.A=J.

(//)由题意可得：乙BDC=",

第20页共26页

2点

则△8C£)的外接圆直径2R4,

sin^n

设N£)BC=a,

贝此DCB-a,

则△BC£)的周长2=4sina+4sin(J-a)+2^3=4sin(a+5)+2同

VaG(O,J),

：.lG(4V3,4+2拘.

19.(12分)如图，在直棱柱4BC。-4181cl£)i中，底面ABC。是直角梯形，AB//DC,AB

±BC,AB=3DC=3,BC=6,点P在面ADD\A\上，过点P和棱BB\的平面把直棱柱

分成体积相等的两部分.

(I)求截面与直棱柱的侧面8CG81所成角的正切值；

(II)求棱。。1到截面的距离.

【解答】解：(/)如图所示，过尸作PQ〃QQi,交A。于。，截面为BB1PQ,

'JABCD-A\B\C\D\为直棱柱，，平面AiBiCiQi,

：.BB\LPB\,BB\LB\C\,

二NPBiCi为截面与直棱柱的侧面BCC\B\所成角的平面角，

过P作垂足为“，

'：AiB\±B\Ci,：.PH//B\C\,：.ZPB\C\=ZB\PH,

由题意可得遇

S&B1C1D1=2SA41B1P=12s41cHi=2s“iBiP=12，

45B、H5

：.PH=4,4m=?,啊=玄,r.tanZPBiCi=tanZBiPH=

DO111J.4

(II)•.•881_1_平面4劭。。1,二平面B8iP0_L平面AiBiCiZh,交线为BiP,

过小作£>i兀LBiP,垂足为7,...Oi兀L平面BB1PQ,

则O1T的长度为棱DD\到截面所在平面的距离，连结BiDi,

-10jO

S/kPBiDi=SpBiQDi_S^BIQDI=3,•B1P=>・・D]T=官，

第21页共26页

所以棱DD\到截面所在平面的距离为7T.

20.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：V=4x的焦点为凡点A是

第一象限内抛物线C上的一点，点。的坐标为(30)(f>0).

(1)若|0川=石，求点A的坐标；

(2)若△AFD为等腰直角三角形，且/办0=90°,求点。的坐标；

(3)弦AB经过点D,过弦4B上一点P作直线x=—的垂线，垂足为点Q,求证：“直

线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦A3的中点”.

【解答】解：(1)抛物线C：«=4x的焦点为尸，点A是第一象限内抛物线C上的一点,

可设A(m,n),即"2=4机，m>0,n>0,又|。川=遍，可得m2+〃2=5,

解得〃?=1,n=2,即4(1,2)；

(2)设A(x,y),由F(1,0),D(.t,0),

ZFAD=90°^AF-AD=(1-x,-y)<t-x,-y)=(1-x)(t-x)+y2^0,①

由尸。为等腰三角形，可得4在x轴上的投影为尸。的中点，

即有x=竽，且y2=4x,代入①解得r=5±4&,由r>0,可得。(5+4或，0)；

(3)先证由"P为弦AB的中点”可得“直线QA与抛物线相切”.

设直线AB的方程为x=ay+f,联立抛物线方程/=以，可得y-4ay-4f=0,

设A(xi,yi),B(x2,y2),可得yi+)2=4a,

AS的中点P(f+加2,2a),Q(-32a),

第22页共26页

直线04的斜率为《=省等，又xi=a)，i+r,可得及=急嗡，

又/=以两边对x求导，可得2R=4,即＜=p

2

则在A处的切线的斜率为一,

71

由貂月2y…2-4a小y-，4)t

11=0,可得QA为抛物线的切线;

再证由“直线QA与抛物线相切”可得“尸为弦4B的中点”.

设。(7,s),即P的纵坐标为s,可得切线QA的方程为y-s=2(x+f),

力

cy2

联立抛物线方程『=4x可得R-)，+/+s=0，

,12t

由△=l-4・----•(-4-5)=0,

2ylyi

整理可得yJ-2syi-4f=0,②

由y\为尸-4肛-4/=0的根,可得y3-4ayi-4f=0,③

由②③为同一方程，可得2s=4”，即5-=2。="及,

可得P为AB的中点，

综上可得“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“P为弦AB的中点”.

21.(12分)已知函数/'0)=(无一1)靖一打2+e2(aeR).

(1)讨论函数y=/(x)的单调性；

(II)若函数y=/(x)有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

【解答】解：(/)/(x)=xex-ax=x

①当“WO时，由/(x)=0,可得x=0,

f(x),/(x)随x的变化情况如下：

(-8,0)0(0,+8)

第23页共26页

f(x)-0+

/(x)单调递减极小值单调递增

②当0<a<l时;由/(x)=0,可得x=0或x=/〃a<0,

f(x),f(x)随x的变化情况如下：

(-°°,Ina)InaUna,0)0(0,+8)

f(X)+0-0-

/(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

③当〃=1时，/(x)20恒成立，所以/(x)在R上单调递增,

④当时，由/'(%)=0,可得x=0或X=/"4>0,

f(x),/(X)随X的变化情况如下：

(-8,0)0(0,Ina)Ina(Ina,+°°)

f(X)+0-0-

f(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

综上可得：当“W0时，f(x)在(-8,0)上单调递减，(0,+8)上单调递增，

当0<a<l时，/(x)在(-8,Ina)上单调递增，(Jna,0)上单调递减，(0,+<>=>)

上单调递增，

当”=1时，/(x)在R上为增函数，

当°>1时，/(x)在(-8,0)单调递增，(0,Ina)上单调递减，(Ina,+°°)上单调

递增，…

(II)由(/)可知：①③两种情况显然不符合题意，

当0Va<l时，/(0)1>0,不符合题意，

当”>1时，

(x)在区间(-8,0】上单调递增，•.•/(-噜)=(一噜_I"嚼<0,/(0)=