六年级数学上册奥数培优 第08讲 数字谜综合（教师版）

第第8讲数字谜综合六年级秋季知识点知识点数字谜综合二（六上）

备注备注课堂例题课堂例题单位分数的分拆1、把表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．【答案】

【解析】

设，则，变形得．而，故、或，进而共3种．2、把拆成三个单位分数的和，请给出2种拆法．【答案】

【解析】

先将拆成两个单位分数之和，再将其中一个进一步分拆．例如，，等．3、求方程的所有正整数解．【答案】

，，，【解析】

显然，因此；等式两边同时乘上，得；整理得，将写成两个数的乘积，有5种不同的写法：，每种方法对应了一个二元一次方程：，，，，；每个二元一次方程的解分别是：，，，，；其中不合题意，舍去．4、在算式中，a，b，c分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是__________．【答案】

14【解析】

若，则；因此，；若，则，因此3或4；若，则，；若，则，，不是整除．综上，，，，．与数字和相关问题5、在竖式中的方框内分别填入0到9这10个数字中的9个，使得竖式成立．□□□□□□+□□□□2012【答案】

答案不唯一，如【解析】

和的数字和为5，根据“进位减9”，所有加数的数字和被9除也应余5，故未用数字为4，进位次数为．易知千位为1，简单试验可得其中一个答案为．6、从1至9中选出8个数字填入算式“”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问：（1）没有被选出的数字是多少？（2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？【答案】

（1）2（2）最小7184，最大9865【解析】

（1）不妨设（）为一种合适的填法，到是1到9中的8个不同数字，没用上的数字为．在加法的计算过程中，左边的数字和与右边的数字和的差是9的倍数，所以到这8个数字的和数与除以9的余数相同．到的数字和等于，25除以9的余数是7．所以除以9余7，只能是2；（2）要使较大数尽量大，令，，看看有没有合适的填法．此时只能是9，只能是7，只能是15，只能是12．所以，，最大是6，相应的是1，最大是5，只能是4．所以较大数最大是9865，相应的填法是；要使较大数尽量小，令，，看看有没有合适的填法．由于等式左边数字和是43，右边数字和是25，差是18，说明加法运算中有两次进位．此时与都是没有进位的，因而，，．要使较大数尽量小，只能，，，，，．所以较大数最小是，相应的填法是．7、在图中的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多少？【答案】

最小1026；最大1602【解析】

设原竖式为，则，因为除以9的余数等于除以9的余数，是0，所以是9的倍数，所以的数字和是9的倍数，可以是9或18．（1）因为g只能为1，所以有2种可能：和．最小可能是1026，最大可能是1620，下面看能否凑出相应答案．因为，所以最小确实为1026．在中，因为加数数字和为36，和的数字和为9，所以个位、十位、百位相加时均有进位，所以，，．而15只能由7和8凑出，但此时十位的11无法由3、4、5、9凑出，所以1620凑不出．那么最大值只能为1602，而它可以由凑出，所以最大为1602．（2）因为g为1，且加数数字和为27，所以相加时进位一次，且在百位，如右图．此时0不能在加数的个位和十位，不然会有数字相同，同时也不能在加数的百位，那么它只能在四位数中，且只能在百位（如果在十位或个位，那么加数相加要进位，但原式中只有百位相加进位）．于是，i、j只能为8、9，此时和可以是1089或1098，都比上面的答案小．所以最大为1602，最小为1026．11数阵图8、将1~10这十个自然数填入下图五角星的10个圆圈内，使得外面五个三角形中的数等于其所在三角形三个顶点内数的和．【答案】

如下图【解析】

里面5个数之和为，只能为．这样，最上方只能填5或7．若为7，左侧三角之和最多为，矛盾，故最上方只能为5，进而得到答案．9、图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．请问：（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．【答案】

（1）不能，8个三角形顶点上数字的和为60，且相等，不成立（2）能，填法见解析【解析】

（1）解答：8个和数相加，相当于24个数相加，恰好把大正方形的每个顶点加了一次，中正方形的每个顶点加了3次，小正方形的每个顶点加了2次，因而8个和数的总和是．但60不是8的倍数，所以不能使8个三角形顶点上数字之和都相等；（2）解答：和数最小可以是，最大可以是，而4、5、6、7、8、9、10、11恰好是8个数，所以要使8个和数互不相同，则8个和数恰好分别是4、5、6、7、8、9、10、11，一种合适的填法如图所示．112341234432110、将1至9填入图中的圆圈内，使图中所有三角形（共7个）的3个顶点之和都相等．【答案】

见解析【解析】

先确定每个三角形3个顶点的和数．如图1，用虚框把顶点分成三组，每组三个顶点恰好构成一个三角形．所以每个虚框内所填的3个数之和是一样的．但9个数总和是，所以每个虚框内三个数字之和是，即每个三角形3个顶点的和数都是15．

现在考虑重数．一方面，每个外围（共6个）圆圈都出现在两个三角形中，每个里面的圆圈都出现在三个三角形中．另一方面，，在把15分成1到9中的3个数的和数时，共有8种方法，而数字1、3、7、9都出现在其中两种方法．说明1、3、7、9只能填在外围6个圆圈里．同时由对称性，我们可以先把1填在任一个圆圈上．然后填5、9，本质上只有两种填法，如图2．进一步地，由1所在另一个三角形待填的两数是6、8，9所在的另一个三角形待填的两数是2、4，各能补充出两种填法，如图3．图1 图1159159图21159684273186592734159862437168594372图311、图中方框里不同的汉字代表互不相同的数字，已知每个正方形的顶点方框内的四个数之和都相等，这个和的最小值是多少？【答案】

16【解析】

设每个正方形和为n，则，故，，．而16可以构造，如．因此，和的最小值是16．利用数论解决相关问题12、在图中所示的除法竖式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少？003【答案】

16【解析】

设除法算式为，则有，于是999和有公因数，可以约分，且约分后分母为27或37（如果约分后分母为9，那原数不是三位循环小数），所以等于或，所以是27或37的倍数，可能是27、54、81、37、74．把这5种情况代回原竖式中检验，只有37符合题意，此时算式为．所以被除数是16．13、图中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字．且是5的倍数，是4的倍数，求的所有可能值是____________________．FFIVE+FOURNINE

【答案】

3235，3435，3835【解析】

由末位可知，且个位没向十位进位，再根据是5的倍数可以确定；再看百位可知，，且十位向百位进1；因此有，其中V、U互不相同且不能为9，则，又知，因此；再看首位可知，因此N是奇数，且；进而可以确定，，；此时尚未确定的字母有I、V、U，还没用到的数字有2、4、6、7、8，满足的只有6和7，再由是4的倍数知，；因此I可以从2、4、8中任选．有3个答案，分别是3235、3435、3835．

随堂练习随堂练习1、把表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．【答案】

【解析】

设，则，变形得．而，故可得所有解为，共5种．2、两个正整数的乘积是它们的和的6倍，求这两个数．【答案】

共5组解：7、42；8、24；9、18；10、15；12、12【解析】

设两数分别为a、b（），则，变形得．而，故可得所有解为、、、、．3、在竖式中填入0至9各一次，使竖式成立．□□□□+□□□□□□□【答案】

答案不唯一，如【解析】

设．显然，估算得，，进而和的数字和小于18．所有数字和为且加数的数字和与和的数字和相差9的倍数，故只可能分别为36、9，共进位次，只能是个、十、百各进位1次．，可能为2、6或3、5，由此易得答案，如等．aabc+defghij4、（2014年金帆五升六）如下表，在的正方形网格中已经填写了4个数：0、66、103、144．已知每行每列的数都是正数，每行每列均组成等差数列，则___________．BABA144C661030【答案】

110.5【解析】

根据等差数列性质，第二行公差是，推得，第一列公差是，推得，第一行公差是，．5、（2012迎春杯高年级组复赛）在下图的乘法算式中，两个乘数的和是__________．【答案】

730【解析】

由第2行与第3行倍数不同，得D=1；那么B=1；末位分析：C=1或6，若C=1，则E=4，验证积的十位不是2，舍去；那么C=6，则E=4或9，同上，验证积的十位，得E=4，通过第1行百位为0，得A=5，即．课后作业课后作业1、把表示成2个自然数的倒数之和，共有______种方法．【答案】

4【解析】

设，则，变形得．而，故其有个约数，原问题共种方法．2、两个自然数的乘积比这两个自然数的和大1，这两个自然数之和是______．【答案】

5【解析】

设两数分别为a、b（），则，变形得，故，．3、从1到9中选出8个数字填入算式“”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．则没有被选出的数字是______．【答案】

8【解析】

设a未使用．根据“进位数字和减9”这一性质，，．4、在右边的加法算式中，若每个方框均表示0到9中的一个数字，任意两个方框内的数字都不相同，则最下面的那个方框内的数是______．【答案】

6【解析】

设最下面的方框为a．根据“进位数字和减9”这一性质，，化简得，．5、如图所示的竖式中，除数是______．【答案】

16【解析】

由“黄金倒三角”可知中间部分的减法为，故除数只能为15或16．经验证，除数为16．6、将20以内质数填入图中的八个圈内，使A到B的三条线上的四个数的和相等，则这个和是_______．【答案】

29【解析】

设两端分别为p、q．20以内质数为2、3、5、7、11、13、17、19，由奇偶性易知2在两端，不妨设．这样，，由此得，因此，进而和为．7、将l～8这8个自然数填入右图中的8个方框中，______（填：能或否）使得同一边上三个数的和等于它旁边所标注的数．【答案】

能【解析】

若能填出，则角上四个数之和为．而11的拆法只有1种：．简单