2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列之第五单元扇形篇（解析版）人教版

2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列之第五单元扇形篇（解析版）编者的话：《2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。本专题是第五单元扇形篇。本部分内容是第五单元扇形部分，包括扇形的认识、扇形的弧长、周长、面积以及部分重难点，部分考点综合性较强强，建议作为本章重点内容进行讲解，一共划分为七个考点，欢迎使用。【考点一】扇形的认识。【方法点拨】1.圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。2.同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。3.同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。【典型例题1】认识扇形。如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做（

），由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是（

），这一部分面积是圆面积的。解析：弧；扇形；【对应练习】如下图，圆上A、B两点之间的部分叫做()，读作()，图中涂色的部分叫做()形。解析：弧；弧AB；扇【典型例题2】认识圆心角。下面图形中哪些角是圆心角？在（

）里画“√”。解析：根据圆心角的定义判断如下：【对应练习】下列各圆中，阴影部分是不是扇形？是的在括号里画“√”。解析：由分析可知：【对应练习2】在同一个圆中，扇形的大小与()有关，以圆为弧的扇形圆心角是()度。解析：圆心角的大小；60【对应练习3】一个扇形的圆心角是80°，扇形的面积占它所在圆的面积的()。解析：【考点二】扇形的弧长和周长。【方法点拨】1.扇形弧长：扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。2.扇形周长：扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。【典型例题1】下图是直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是()厘米，圆心角是()度，弧AB长()cm。解析：直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是3厘米，圆心角是360÷4＝90°，弧AB长：3.14×6×＝18.84×＝4.71（厘米）【典型例题2】已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为（）厘米，周长是（）厘米，解析：弧长：＝12.56（厘米）周长：12.56＋2×6＝12.56＋12＝24.56（厘米）【对应练习1】在一个半径是2厘米的圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的周长是()厘米，解析：90°÷360°＝这个扇形的周长：2×3.14×2×＋2×2＝6.28×2×＋4＝12.56×＋4＝7.14（厘米）【对应练习2】如图中圆的半径是4cm，那么阴影部分的周长是()cm。解析：3.14×4×2÷4＋4×2＝6.28＋8＝14.28（cm）【考点三】扇形的面积。【方法点拨】在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。扇形面积=（其中n表示圆心角的度数）。【典型例题】圆心角为45度，半径是8厘米的扇形，它的面积是()。解析：3.14×8²×＝200.96×＝25.12（平方厘米）【对应练习1】如图，一个圆的半径是4cm，它的直径是()cm，周长是()cm，面积是()cm2。在这个圆中有一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的面积是()cm2。解析：4×2＝8（cm）3.14×8＝25.12（cm）3.14×42＝50.24（平方厘米）50.24×＝12.56（平方厘米）【对应练习2】一个扇形的半径是6cm，圆心角是90°，这个扇形的面积是()cm2。解析：（3.14×6²）÷360°×90°＝113.04÷360°×90°＝28.26（平方厘米）【对应练习3】一个扇形的圆心角是90°，半径是2cm，它的面积是()cm2。解析：3.14×22×＝3.14×4×＝3.14（平方厘米）【考点四】扇环的面积。【方法点拨】1.扇环：扇环是一个圆环被扇形截得的一部分2.扇环面积=大扇形的面积-小扇形的面积。【典型例题】如图，一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为（）平方厘米。解析：观察图形可知，扇面的面积等于圆心角是135°、半径30厘米的扇形的面积与圆心角是135°，半径30－20＝10厘米的扇形的面积之差，据此利用扇形的面积＝，代入数据计算即可解答问题。30－20＝10（厘米）－＝－＝1059.75－117.75＝942（平方厘米）【对应练习1】下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。解析：3.14×[（18＋12）2－122]×＝3.14×[302－122]×＝3.14×756×＝2373.84×＝593.46（cm2）【对应练习2】你能求出下面阴影部分的面积吗？（单位：dm）解析：3.14×[52－（5－2）2]×＝3.14×16×＝3.14×4＝12.56（平方分米）【对应练习3】求阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：＝＝＝＝28.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。【考点五】扇形面积的实际问题。【方法点拨】解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。【典型例题】在比赛中，铅球投掷的落点区域是一个圆，某运动员最远投掷距离为16米，铅球可能的落点区域面积是多少？解析：＝50.24×16×＝803.84×＝200.96（平方米）答：铅球可能的落点区域面积是200.96平方米。【对应练习1】一个挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从中午12时到下午3时，分针尖端“走了”多少厘米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？解析：2×3.14×8×3＝150.72（厘米）3.14×5²×＝19.625（平方厘米）答：分针尖端“走了”150.72厘米，时针“扫过”的面积是19.625平方厘米。【对应练习2】一个石英钟的分针长10cm，分针旋转扫过的面积是157cm。求分针走了多少分钟？解析：转一圈面积＝3.14×10×10＝314（平方厘米）157÷314×60＝30（分钟）答：分针走了30分钟。【对应练习3】张大爷用一条长15.7米的篱笆，要在墙角围成一个菜园，张大爷应该怎么围（画出示意图）？这样围菜地可以有多少面积？（如果除不尽，保留2位小数）解析：如果围墙角围成一个圆形的菜园，则篱笆的长度，就是这个圆的弧长，利用圆的周长公式即可求出这个圆的半径是：15.7×4÷3.14÷2=10米，再利用圆的面积公式即可求出这个菜地的面积。解：根据题干分析可得：如果围墙角围成一个圆形的菜园，如上图所示，则这个圆的半径是：15.7×4÷3.14÷2=62.8÷3.14÷2=10（米）菜地的面积是：3.14×102×=314×=78.5（平方米）答：这样围成的菜地的面积是78.5平方米。【考点六】利用多边形内角和求扇形的面积。【方法点拨】1.扇形的拼接：一个扇形可以分割成若干个半径相等的小扇形，反之若干个半径相等的小扇形也可以拼成一个大扇形，并且这些小扇形的圆心角之和正好等于大扇形的圆心角。2.思路：计算与多边形内角和结合的扇形面积时，将若干个半径相等的小扇形拼成一个大扇形，大扇形的圆心角等于各小扇形的圆心角之和，然后根据圆心角与周角的倍数关系计算出大扇形的面积，也就计算出了多个小扇形总共的面积。【典型例题1】如图两个圆的半径都是4厘米，涂色部分的面积之和是（）平方厘米。解析：从图中看出，涂色部分的角的度数和是90°，所以涂色部分的面积之和＝πr2×涂色部分占整个圆的几分之几，其中，涂色部分占整个圆的几分之几＝涂色部分的角的度数和÷360°。3.14×42×＝12.56平方厘米，所以涂色部分的面积之和是12.56平方厘米。【典型例题2】图形探索：根据情境完成填空。情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以四边形的四个顶点为圆心画了4个半径是3cm的扇形，再给这4个扇形涂上阴影，如图，画完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。”如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这4个扇形剪下来正好可以拼成一个()，因为()，所以阴影部分的面积()cm2。解析：圆；四边形的内角和是360°；28.26【对应练习1】图中阴影部分的面积之和是()cm2。解析：3.14×22÷2＝3.14×4÷2＝12.56÷2＝6.28（cm2）【对应练习2】三个半径2cm的圆的圆心正好在三角形的三个顶点上，你能算出涂色部分的面积吗？（提示：三角形的内角和是180°）解析：3.14×22×3－3.14×22÷2＝37.68－6.28＝31.4（cm2）答：涂色部分的面积是31.4cm2。【对应练习3】如图，四个圆的直径都是10cm，阴影部分的面积是()cm2。（π≈3）解析：3×（10÷2）2＝3×25＝75（cm2）【考点七】与扇形有关的不规则图形和阴影部分图形的面积。【方法点拨】解决与扇形有关的不规则图形或阴影部分面积，关键在于熟练掌握常见平面图形的面积公式，本考点具体拓展部分请参考《圆的面积提高篇》。【典型例题】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）解析：阴影部分面积为：（平方厘米）答：阴影部分的面积为19.44平方厘米。【对应练习1】如下图，在直角梯形ABCO中，OA是圆的半径，，，求阴影部分的面积。（单位：厘米，取3.14）解析：（4＋8）×4÷2－3.14×42×＝12×2－3.14×16×＝24－12.56＝11.44（平方厘米）答：阴影部分的面积是11.44平方厘米。【对应练习2】如图，四边形ABCD是周长为80厘米的正方形，在以C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取3.14）解析：80÷4＝20（厘米）20×20×＝200（平方厘米）3.14×20×20×＝314（平方厘米）200＋