2023届福建省永安市高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设向量;7,方满足同=2,忖=1,k内=60,则卜+4的取值范围是

2.如图，在棱长为4的正方体A3C。一中，E,F,G分别为棱AB,BC,CG的中点，M为棱AO的中点,

设尸，。为底面A8CZ）内的两个动点，满足AP//平面E尸G,°。=J万，则PM+PQ的最小值为（)

A.372-1B.372-2C.275-1D.2石一2

3.已知直线y=x—2/是曲线y=lnx-a的切线，则4=（）

-111

A.-2或1B.-1或2C.一1或一D.——或1

22

4.已知尸为圆C：(x—5『+y2=36上任意一点，A(-5,0),若线段PA的垂直平分线交直线PC于点。，则。点

的轨迹方程为（）

fJ/r22

A.-------1--------=1B.——乙=1

916916

3=1(%<0)

D.亡=1(x〉0)

916916

5.集合A={-2,-1,1},8={4,6,8},M={x\x=a+b,b^B,x^B}，则集合M的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

6.M是抛物线V=4x上一点，N是圆（x—iy+（y—2）2=1关于直线x-y-l=O的对称圆上的一点，贝!）］也叫最

小值是（）

A.乎-1B.>/3-1C.2&一1D.1

7.正方形ABCD的边长为2,E是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且AE-AC=2,贝”AE+AC『的最小

值为（）

232：

A.—B.12C.一D.13

22

8.等比数列{〃〃},若。3=4,%5=9则=（）

13

A.±6B.6C.-6D.—

2

9.已知抛物线y2=2px（p>0）上的点M到其焦点尸的距离比点M到N轴的距离大;，则抛物线的标准方程为（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y1=8x

10.设a,6,c分别是AA8C中NA,QB,NC所对边的边长，则直线sinA-x-t（y-c=O与bx+siny+sinC=0

的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

5

11.已知COS（2019万+。）=--—>贝！|sin（］-2a）=（）

7557

A.-B.-C.一一D.

9999

12.函数/（尤）=2x3-0?+［在（o,+。）内有且只有一个零点，则a的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知正数a,6满足a+b=L则的最小值等于,此时a=.

14.若奇函数/(x)满足〃x+2)=-/(x),g(x)为R上的单调函数，对任意实数xeR都有g[g(x)—2'+2]=l,

当XG[0,1]时,〃x)=g(x),则/。幅12)=_______,

15.已知复数z=(17>(a+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数”的值为

16.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则

抽取学生的人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

.6

X=-2H----1

2

psin20=2acos/a>0）.过点P（—2,-4）的直线/:a为参数)与曲线C相交于N两点.

V=-4d---1

2

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程;

⑵若\扁MN=\扁|P,N求|实数a的值.

18.（12分）若">0*>0,且！+,=而

ab

(1)求/+3的最小值;

(2)是否存在。力，使得2a+3h=6?并说明理由.

19.(12分)已知函数"£)=必'+%2+公+》，曲线y=在点(OJ(O))处的切线方程为4x—2y—3=0

(1)求a,力的值；

(2)证明:/(x)>lnx.

20.(12分)如图，在四棱锥M—ABC。中，ABVAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2-42.

(D证明：A〃_L平面A8CQ；

(2)若CD"AB,2CD=AB,E为线段BM上一点，且BE=2EM,求直线EC与平面BDW所成角的正弦值.

21.(12分)如图，已知三棱柱A6C-4耳J中，ABC与d8C是全等的等边三角形.

(D求证：BC1AB.；

(2)若cosNB]BA=：,求二面角3——A的余弦值.

22.(10分)如图，在直三棱柱—中，CA=CB,点P,。分别为4月，CG的中点.求证:

(1)P。//平面ABC；

(2)平面

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

卜+力|=J(a+%)2=4a^+2a-bt+t2b2=44+2，+产=，/+1)2+32省,

当f=T时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

2.C

【解析】

把截面EFG画完整，可得P在AC上，由万知。在以O为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+PQ的最小值.

【详解】

如图，分别取GA，R4，AA的中点H,/，，连接易证E,居共面，即平面EEG为截面

EFGH1J,连接AA，"C,AC,由中位线定理可得AC//£R,ACz平面EFG,EFu平面EFG,则AC7/平

面EFG,同理可得AD|//平面EFG,由ACIA。=A可得平面ARC//平面EFG,又平面E尸G,P在

平面ABCZ)上，，尸£AC.

正方体中DR_L平面ABC。，从而有:.DQ=JDQ-DD：=1,Q在以。为圆心1为半径的四

分之一圆(圆在正方形ABC。内的部分)上，

显然M关于直线AC的对称点为E，

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2逐一1，当且仅当E,P,。共线时取等号，

.••所求最小值为2逐-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

3.D

【解析】

求得直线y=x-2/的斜率，利用曲线y=lnx-a的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得。的值.

【详解】

直线y=的斜率为1,

对于y=lnx-a,令«=J=1,解得x=l,故切点为（1,一。），代入直线方程得—a=1—2/,解得。=一;或L

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.

4.B

【解析】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,||。。|-|。山|=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,

故||QC|一|例|=|依1-1。4|=1尸1=6<10,故轨迹为双曲线，

22

2a=6,a=3,c=5,故b=4,故轨迹方程为——=1.

916

故选：B.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

5.B

【解析】

由题意，结合集合A3,求得集合“，得到集合“中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={-2,-1,1}乃={4,6,8},xeA,

贝！IM-{x\x=a+b,xA,b&B,x&B}=[4,6],

所以集合M的真子集的个数为22-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M，再由真子集个数

的公式2"-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

6.C

【解析】

求出点（1,2）关于直线x-y-l=O的对称点。的坐标，进而可得出圆（x—1丫+（y—2）2=1关于直线x-y-l=O的

对称圆C的方程，利用二次函数的基本性质求出|困的最小值，由此可得出|M^|m,n=|MC|m.n-1,即可得解.

【详解】

如下图所示:

设点(1,2)关于直线x-y-1=0的对称点为点C(a,b),

〃+1b+2

1=0

2a—b—3=0。=3/、

则,整理得＜解得L八，即点C(3,0),

b-2。+。-3=0b=0

、。一1

所以，圆(x—iy+(y—2)2=l关于直线x-yT=0的对称圆C的方程为(x—3p+y2=i,

设点M,则=—3+/=

当丁=±2时，|困取最小值2夜，因此，|“V|“加=四。/一1=2正一1.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

题.

【解析】

分别以直线为％轴，直线AD为丁轴建立平面直角坐标系，设E(x,y),根据AE-AC=2,可求x+y=l,而

UllUUUIU

(AE+AC)2=(X+2)2+(y+2)2,化简求解.

【详解】

解：建立以A为原点，以直线A3为％轴，直线A。为＞轴的平面直角坐标系.设£(x,y),xe(0,2),ye(0,2),则

AE=(x,y),AC=(2,2),由AE-AC=2，即2x+2y=2,得x+y=l.所以

ULIUuuui

(AE+AC)2=(x+2)2+(y+2)2=x2+/+4(x+y)+8

1c251uuuuuti25

=2x2-2x+13=2(x--)2+y,所以当x=5时，(AE+ACf的最小值为百.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.

8.B

【解析】

根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.

【详解】

由等比数列中等比中项性质可知，a3-ai5=a^,

所以q=±屈・小=±^36=±6,

而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以为=6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.

9.B

【解析】

由抛物线的定义转化，列出方程求出p,即可得到抛物线方程.

【详解】

由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大g,根据抛物线的定义可得

・•・"=1,所以抛物线的标准方程为：y2=2x.

故选B.

【点睛】

本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题.

10.C

【解析】

试题分析：由已知直线sin4x—ay—c=0的斜率为"d,直线bx+sinBy+sinC=O的斜率为,又由正

asinB

弦定理得电/上।=吧不热三后，故吧sinw4*穆।♦*»sinf*—二海|=A_儿两直线垂直

翎；演aV：如拷。：?t.：沏邺J

考点：直线与直线的位置关系

11.C

【解析】

TT

利用诱导公式得cos（2019万+a）=-cosa,sin（--2a）=cos2a,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【详解】

由cos（2019万+a）=可得cos（乃+a）=••cosa=，

:.sin（----2df）—cos2a=2cos-a-1=2x—1=—.

299

故选：c.

【点睛】

本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时

注意三角函数的符号.

12.A

【解析】

求出/。）=6/-2依，对。分类讨论，求出（0,+8）单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

【详解】

若a<0,xe(0,+oo),J"(x)>0,

/(x)在(0,+8)单调递增，且/(0)=1〉0,

/(X)在((),+8)不存在零点；

若a>0,xe(0,•!),/(x)<0,xe(0,+oo),f'(x)>0,

/(x)=2x3-ar2+1在(0,+。)内有且只有一个零点，

=——a5+1=0,.'.a=3.

27

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.3—

2

【解析】

根据题意，分析可得2+,=2+乎=夕+/+1,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，正数a、b满足=

m,ib1ba+bba.一

abababNab

当且仅当a=〃时，等号成立，

2

故2+工的最小值为3,此时a=」.

ab2

故答案为：3；—.

2

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

1

14.—

3

【解析】

根据〃x+2)=-/(力可得，函数”X)是以4为周期的函数，令g(x)-2'+2=h可求g(x)=2*-l,从而可得

/(X)=g(x)=2'-1,/(log,12)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)-2、+2=3则g(x)=Z+2,-2,

由g[g(x)-2*+2]=1,则g(A)=l,

所以g㈤=%+2*-2=1,解得％=1,

所以g(x)=2T,

由xw[0,l]时，/(x)=g(x),

所以XG[0,1]时，/(x)=2'-l；

由/(x+2)=-/W,所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的函数，

/(log?12)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

所以“log?12)=-〃2-log?3)=-[22-'^3-l]=-1.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

15.-1

【解析】

利用复数的乘法求解？再根据纯虚数的定义求解即可.

【详解】

解：复数z=(l-i>(a+i)=a+l+(l-a)i为纯虚数，

a+1=0,1-a#0,

解得a=T.

故答案为：T.

【点睛】

本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.

16.1

【解析】

直接根据分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

分层抽样的抽取比例为其=—，，抽取学生的人数为600X—=1.

16002020

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y2=2ax(a>0),x-y-2=0；(2)a=\.

【解析】

%=-2°+——V2t

2

(1)将x=pcose,y=psin。代入「sin2e=2acos。求解，由<厂(/为参数)消去，即可.

y=-4+1

-2+乌

2。为参数）与V=2必联立得产一2血（4+a），+8（4+a）=0,设M,N两点对应的参数

(2)将<

y=-4+—t

2

\MN\\PN\,,,

局=涡'BPIM12=\PM\H\PN\,利用韦达定理求

为4,t2,则4+L=2夜（4+a）,不2=8（4+。），再根据

【详解】

X=OCOS0。

（1）把《代入psin20=2acos。,

y=psin0

得V=2ax(^a>0),

x=-2-\---1

2

由<「。为参数),

广-4+g

-2

消去/得X-y-2=0,

曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程分别是7=2ax（a>0）,x—y—2=0.

X=-2°H--V-21

2

（2）将〈（/为参数）代入丁=2奴得产—20（4+a）t+8（4+a）=O,

/及

y=-4+1

设M，N两点对应的参数为八，t2,则a+q=2&（4+a）,42=8（4+“）,

MM\PN\,,,,,

由局=祸得用科1=2归根归科

所以（G_»2）2=小2，即（4+22）2=5印2，

所以8(4+a)-=5x8(4+a),而a>(),

解得a=l.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.

18.(1)4&；(2)不存在.

【解析】

(1)由已知L+'=J茄，利用基本不等式的和积转化可求必22,利用基本不等式可将转化为由不

ab

等式的传递性，可求/+3的最小值；(2)由基本不等式可求2。+3》的最小值为4百，而46〉6,故不存在.

【详解】

(1)由而=：+"之痂，得ab22,且当“=b=亚时取等号.

故片+//22yla'b'>4^2,且当a=b=时取等号・

所以/+犷的最小值为40；

(2)由(1)知，2a+3b>2yf6>/ab>4y/3.

由于4g>6,从而不存在。乃，使得2"+3人=6成立.

【考点定位】

基本不等式.

3

19.(1)a=l,b=—；(2)见解析

2

【解析】

分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于。口的等量关系式，从而求得结

果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用

中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.

尸(0)=1+。=2

详解：⑴解：/'(x)=(x+l)e*+2x+a,由题意有

〃/0、)=以己3，解得a=1,0=——2

a

x2x2

(2)证明：(方法一)由(1)知，/(%)=XC+X+X—5•设&(力=xe+x+x-lnx

3

则只需证明/7(x)>/

"(x)=(x+l)e^+2x+l——=(x+l)f^-v+2--j,设g(x)=ev4-2--

X\XJx

则g，(x)=e，+5>0,g(x)在(0,+8)上单调递增

-g(；)-e^+2-4<0,g(；)=e^+2-3>0

使得g(「0

〈43；x0

且当X€(0,%)时，g(x)<o,当X€(Xo，”)时，g(x)>。

，当xe(O,不)时，〃'(x)<0,网力单调递减

当xe(毛,+。。)时，〃'(x)>0,〃(x)单调递增

・••MHmin=〃(Xo)=/2跖+/+%-成0，由*+2—J=0,得"—2,

A0X。

IXJQQQ

/./(0)=)-----2+X+x0-lnx0=X-x0+1-lax0,

\xo)

设—x+l—lnx,xef—,^z(x)=2x-l-—二(2x+l)(xQ

[43)xx

当x时，”(x)<0,0(x)在单调递减,

(]、|—；+；〉|,因此

•■•〃(毛)=。(%)>。-fllTn()=(+ln3

75

33

(方法二)先证当x»0时，f(x)=xex+x2+x-->2x--,即证xe'+d—xzo

设8(%)=比*+*2一%,x20则g'(x)=(x+l)e*+2x-l,且g'(O)=O

g〈x)=(x+2)e*+2>0,.•.g〈x)在[0,+co)单调递增，g,(x)>g,(O)=O

...g'(x)在[0,+8)单调递增，则当x»0时，g(x)=^*+x2_xNg(O)=O

33

(也可直接分析加+/+%-二22%-二=xex+x2-x>0Oe'+x-120显然成立)

22

3

再证2x——>Inx

2

设=2x-g-1nx，则力'(x)=J,令〃'(x)=0,得光=；

且当时，//(x)<0,〃(力单调递减；

当X£(g,+8]时，//(%)>0,"(X)单调递增.

,、3<1A13

〃(x)=2x-]-lnx2J=-]+ln2>0,即2x_]>hix

33

又/(x)—xc'+x~+x——>2x-~f(x)>Inx

点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关

切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性,

借助中间量来完成.

20.(1)证明见解析

⑵返

53

【解析】

(1)利用线段长度得到AM与AB，AT)间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；

(2)以AD、40、A3为x轴、)'轴、z轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦

值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.

【详解】

(1)VAB=AM=AD=2,MB=MD=26，

•••AM2+AD2^MD2，AM2+AB2=MB2

AMLAD,AMLAB

VABr\AD=A,ADu平面ABC。，

二AM_L平面A8CO

(2)由(1)知ABLA。，AMLAD.AMLAB

又A为坐标原点，分别以A。、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,M（0,2,0）,£>（2,0,0）,B（0,0,2）,C（2,0,l）,BD=（2,0-2）,DM=（-2,2,0）,

，•,丽=2丽'.,•《og'l)欧=12导一目

设〃=(x,y,z)是平面BDM的一个法向量

r

n-BD=Qr_)7—n

则即3+2；=。'取户】得〃二(】」」)

n-DM=Q

\n-CE\_-2+3~1_>A59

\n\-\CE\~

^xV53

直线EC与平面BDM所成的正弦值为'叵

53

【点睛】

本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方

向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.

21.(1)证明见解析；(2)好.

5

【解析】

(D取3c的中点0,则与。_L8C,由ABC是等边三角形，得从而得到3CJ_平面8小。，由此能

证明BC±AB}

(2)以Q4,0B,。片所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结

果.

【详解】

(1)取8C的中点0,连接AO,BQ,

由于ABC与B/C是等边三角形，所以有AOLBC,B,01BC,

且AOBQ=O,

所以8C_L平面&A。，4片匚