子集、全集、补集+高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第1章集合1.2子集、全集、补集观察下列各组集合：(1)A＝{－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；(2)A＝N，B＝R；(3)A＝{x∣x

为正方形}，B＝{x∣x为四边形}.●集合A与B之间具有怎样的关系?●如何用数学语言来表述这种关系?观察(1)，可以发现，集合A中的每个元素都是集合B的元素观察(2)(3)，它们也有同样的特征.(1)A＝{－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；(2)A＝N，B＝R；(3)A＝{x∣x

为正方形}，B＝{x∣x为四边形}.这时称A是B的子集.一、子集定义如果集合A的_______一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.任意A是B的子集Venn图：

或符号表示：_________或_________读法：集合A_______集合B或集合B________集ABAA(B)包含于包含A

⊆BB

⊇A例如，{1，2，3}

⊆

N，N

⊆

R，{x∣x

为正方形}⊆{x∣x为四边形}等.A⊆B可以用Venn图来表示.BA根据子集的定义，我们知道A⊆A也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集.【思考】符号“∈”与“⊆”有什么区别?提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，

比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，

比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}.③“∈”的左边是元素，右边是集合，

而“⊆”的两边均为集合.例1判断下列各组集合中，A是否为B的子集.(1)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；解：因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集.解：因为1∈A，但1∉B，

所以A不是B的子集.(2)A＝{0，1}，B＝{x∣x＝2k，k∈N}恩考A⊆B与B⊆A能否同时成立?能；A是B的子集；同时B也是A的子集；

此时A＝B；就是两集合相等的定义.例2写出集合{a，b}的所有子集.解：集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}.集合{al，a2，a3，a4}有多少个子集?二、真子集定义如果集合A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集.A是B的真子集Venn图：符号表示：_________或_________读法：集合A________集合B或集合B________集ABAA⫋BB⫌A真包含于真包含【思考】集合M，N是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种?提示：有以下五种关系12345

例3下列各组的3个集合中

，哪2个集合之间具有包含关系?(1)S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；(2)S＝R，A＝{x∣x≤0，B＝{x∣x＞0)；(3)S＝{x∣x为整数}，A＝{x∣x

为奇数}，B＝{x∣x

为偶数}.解：在(1)(2)(3)中都有A⫋S，B⫋S可以用图1-2-2来表示.三、集合间关系的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即_______.(2)对于空集，我们规定⌀⊆A，即空集是任何集合的子集.A⊆A【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)任何一个集合都有子集. (

)(2)空集是任何集合的真子集. (

)(3)A⊆B的含义是A⫋B或A＝B. (

)✔✘✔解析提示：(1)✔.任何一个集合都是其本身的子集.

(2)✘.空集是任何非空集合的真子集.(3)

✔.若A是B的子集，则说明这两个集合的关系

有以下两种可能：A是B的真子集或A与B相等.2.用适当的符号填空：(1)2________{x∣x2＝2x}.

(2){3，4，8}________Z.

(3){x∣x是平行四边形}______{x∣x

是中心对称图形}.

(4){x∣x＜1}__________{x∣x＜2}.

∈⫋⫋⫋3.已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的真子

集为________________________________.

{0}，{0，1}，{0，

－1}解析：根据题意，含有元素0的A的真子集为{0}，{0，1}，{0，－1}.解析【跟踪训练】1.下列集合中与{1，9}是同一集合的是(

).

A.{{1}，{9}} B.{(1，9)}C.{(9，1)} D.{9，1}D解析：与{1，9}是同一集合的是{9，1}.故选D解析2.设A，B是集合I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，

则满足A⊆B的B的个数是(

)A.5 B.4 C.3 D.2B解析：满足条件的集合B可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.解析

A

解析4.设集合A＝{x∣x2＋x－1＝0}，B＝{x∣x2－x＋1＝0}，

则集合A，B之间的关系是____________.A⫋B

解析5.已知集合A＝{x∣1≤x≤2}，B＝{x∣1≤x≤a，a≥1}.(1)若A⫋B，求a的取值范围.解：若A⫋B，由图可知，a

＞2.(2)若B⊆A，求a的取值范围.解：若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.恩考观察例3中每一组的3个集合，它们之间还有什么关系?在例3中，观察(1)，可以发现，A⊆S，S中的元素－2，－1，1，2去掉A中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是B.观察(2)(3)，它们也有同样的特征这时称B是A在S中的补集.四、补集1.定义文字语言设A⊆S，由_____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作CsA，读作“_________________”.S中不属于AA在S中的补集符号语言CsA＝______________________{x∣x∈S，且x∉A}图形语言2.本质补集既是集合之间的一种关系，也是集合的基本运算之一.3.作用①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围；③补集思想的应用.五、全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.所有例4设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及∁UA，并把它们分别表示在数轴上.2x－1＞03x－6≤0

注意实心点与空心点的区别.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”)(1)同一个集合在不同的全集中补集不同. (

)(2)不同集合在同一个全集中的补集也不同. (

)(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一. (

)✔✔✔2.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5}，

则∁UB＝________________.

{1，2，6}解析：根据补集的定义∁UB＝{x∣x∈U且∉B}＝{1，2，6}.解析3.已知U＝R，A＝{x∣x＞2}，则∁UA＝___________.

{x∣x

≤2}解析：因为A＝{x∣x＞2}，所有∁UA＝{x∣x

≤2}.解析【跟踪训练】1.已知集合A＝{x∣3≤x≤7，x∈N}，B＝{x∣4＜x≤7，x∈N}，则∁AB＝

(

)A.{3} B.{3，4} C.{3，7} D.{3，4，7}B解析：A＝{3，4，5，6，7}，B＝{5，6，7}，所以∁AB＝{3，4}.解析2.已知全集U＝R，集合A＝{x∣－1≤x＜0}的补集

∁UA＝(

)A.{x∣x＜－1或x≥0}B.{x∣x

≤－1或x＞0}C.{x∣－1＜x≤0}D.{x∣0＜x≤1}A3.已知全集U＝R，A＝{x∣1≤x＜b}，∁UA＝{x∣x＜1

或x≥2}，则实数b＝___________.

2解析：因为∁UA＝{x∣x＜1或x≥2}，

所以A＝{x∣1≤x＜2}，所以b＝2.解析4.设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及∁UA，并把它们分别表示在数轴上.解析：A＝{x∣x＋1≥0且3x－6≤0}＝{x∣－1≤x≤2}，所以∁UA＝{x∣x＜－1或x＞2}，在数轴上分别表示如图.解析练习1.写出下列集合的所有子集：(1){1}；(2){1，2}；(3){1，2，3}.(1)∅，{1}；(2)∅，{1}，{2}，{1，2}；(3)∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}.2.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，分别根据下

列条件求∁UA.(1)A＝{0，2，4，6}；(2)A＝{0，1，2，3，4，5，6}；(3)A＝∅.{1，3，5}∅{0，1，2，3，4，5，6}3.判断下列表述是否正确：(1)a⊆

{a}；(2){a}

∈

{a，b}；(3){a，b}

⊆

{b，a}；(4){－1，1}

⫋

{－1，0，1}；(5)0∈∅；(6){0}

＝

∅；(7)∅⊆{0}；(8)∅

⫋{－1，1}.✘✘✔✔✘✘✔✔4.若U＝Z，A＝{x∣x＝2k，k∈Z，B＝{x∣x＝2k＋l，k∈Z}，则∁UA＝______________________，

∁UB＝______________________.BA5.∁U(∁UA)＝____________________.

A6.已知U＝R，A＝{x∣x＜0}，求∁UA.解：∁UA＝{x∣x

≥0}.提示：可利用数轴以及补集定义求解，注意补集中包含0.提示习题1.2感受·理解1.如图，试说明集合A，B，C

之间有什么包含关系.A⫋B⫋C2.指出下列各组集合A

与B

之间的关系：(1)

A

＝{－1，1}，B＝Z；(2)

A

＝{－1，0，1}，B＝{

x∣x2－1＝0}；(3)

A

＝{1，3，5，15}，B＝{

x∣x是15的正约数}；(4)

A

＝

N*，B

＝

N.A⫋BB⫋AA＝BA⫋B3.已知U＝{x∣x

是至少有一组对边平行的四边形}，

A＝{x∣x

是平行四边形}，求∁UA.解：因为U＝{是平行四边形或x是梯形}，A＝{x∣x

是平行四边形}，

所以∁UA＝{x∣x

是梯形}.4.(1)已知U

＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，求∁UA；(2)已知U

＝{1，3}，A＝{1，3}，求∁UA；∁UA＝{2，4}∁UA＝∅(3)已知U

＝R，A＝{x∣x

≥

2}，求∁UA；(4)已知U

＝R，A＝{x∣－2≤

x

＜

2}，求∁UA；∁UA＝{x∣x

＜2}∁UA＝{x∣x

＜－2或x

≥2}思考·运用5.设A是一个集合，下列关系是否成立?(1)A＝{A}；(2)A⊆{A}；(3)A∈{A}.解：(1)A是一个集合，{A}是一个只含有一个元素A

的集合，故A＝{A}不成立.(2)A⊆{A}；(3)A∈{A}.

解：(2){A}是一个只含有一个元素A的集合，其所

有子集为∅，{A}，故A⊆{A}不成立.(3){A}是一个只含有一个元素A的集合，

故