空间向量及其运算（第2课时+空间向量的数量积）同步练习 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积一、必备知识基础练1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是()A.AB与A1CC.AB与A1D2.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于()A.12 B.8+13 C.4 D.133.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-34.[2023山东潍坊高二阶段练习](多选题)下列说法一定正确的是()A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面B.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面C.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·aD.设a,b,c是三个空间向量,则(a·b)c=a(b·c)5.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=.6.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是π3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=7.如图,已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形,且∠C'CB=∠C'CD=∠BCD=π3(1)DD'·DA;(2)DD'·(CD二、关键能力提升练8.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB−A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为()A.-13 B.-5 C.5 D.1310.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°11.已知空间向量a,b,|a|=32,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,则λ的值为.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则B1C与A1P的夹角的大小为13.已知a,b是空间中相互垂直的单位向量,且|c|=5,c·a=c·b=22,则|c-ma-nb|的最小值是.14.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a.(1)求A'B和B'C所成的角;(2)求证:A'B⊥AC'.参考答案一、必备知识基础练1.A2.D(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos120°=2×4-2×5×(-12)=13.故选D3.B由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.4.AC对于A,两个空间向量一定共面,故A正确;对于B,三个空间向量可能共面也可能不共面,故B错误;对于C,因为a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,故C正确;对于D,因为a,b,c是三个空间向量,则a(b·c)与向量a共线,(a·b)c与向量c共线,两向量不一定相等,故D错误.故选AC.5.22∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.6.10∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π3∴|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos<a,b>+2|a||c|·cos<a,c>+2|b||c|·cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.7.解(1)因为∠D'DA=∠C'CB=π3所以DD'·DA=|DD'||DA(2)因为DD'而CC'·CD=|CC'||CD|cos∠C'CD=1,CC'·CB所以DD'·(CD−CB)=(3)|CB+=(=CB=11.二、关键能力提升练8.B因为DB+DC-2DA=(DB−DA)+(所以(DB+DC-2DA)·(AB−AC)=(AB+AC)·(AB−AC)=|AB|2-|AC|2=0,所以|AB9.A∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-32+1210.C设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cosθ+4=7,解得cosθ=12.又θ∈[0,π],所以θ=60°故选C.11.-3340因为m⊥n,所以m·n=0,故(a+b)·(a+λb所以a2+(λ+1)a·b+λb2=0,即18+(λ+1)×152×(-22)+25λ=0,故λ=-3312.60°1连接A1D(图略),则∠PA1D就是B1C与A1P的夹角.连接PD(图略),在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=2,即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即13.3因为a,b互相垂直,所以a·b=0,所以|c-ma-nb|2=c2+m2a2+n2b2-2ma·c-2nb·c+2mna·b=25+m2+n2-42m-42n=(m当且仅当m=n=22时,|c-ma-nb|2取得最小值,最小值为9,则|c-ma-nb|的最小值为3.14.(1)解设AB=a,AD=b,AA'=c∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,∴|a|=|b|=|c|=a,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=π2∵A'B=AB−AA'=a-c∴A'B·B'C=(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c又|A'B|=2a,|B'∴cos